HJM 模型框架（又稱元模型）和一般的利率過程有什麼本質區別？

如題，繼續豐富時間線

這個問題蠻有難度，題主盡量拋出一個能看的磚

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利率過程分為兩種：一個是（瞬時）即期利率框架，一個是遠期利率框架（瞬時遠期利率與遠期即期利率）。

瞬時即期利率也就是短期利率，滿足條件：$T2=T1=t$,即對利率$r(t)equiv F(t;t,t)$的動態進行描述，以確定利率期限結構並對利率產品進行定價

瞬時遠期利率，滿足條件：$T2=T1geq t$,即對利率$f(t,T)equiv F(t;T,T)$的動態進行描述，以確定利率期限結構並對利率產品進行定價,其中的隨機變換是由某個函數空間中取值的隨機過程所驅動的.瞬時遠期利率模型主要是HJM模型

d_{t}f(t,T)=alpha (t,T)dt+sigma(t,T) dW(t),

其中$t
ightarrow alpha (t,T), t
ightarrow sigma(t,T)$是適應過程, T為固定常數.

遠期即期利率模型,滿足條件：$T2-delta=T1geq t$,即對利率$f(t,T)equiv F(t;T,T+delta)$的動態進行描述，以確定利率期限結構並對利率產品進行定價,其中的隨機變換是由某個函數空間中取值的隨機過程所驅動的.遠期即期利率模型主要是BGM模型

d_{t}L(t,T_{i})=gamma_{i}(t)dW^{i}(t).

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這個「一般利率過程」太模糊了...首先最常用的現在還是SABR或shifted SABR（負利率）然後HJM沒有stochastic vol

假設你說的「一般利率過程」是Libor Market Model的話（以下簡稱LLM）

1. LLM一般在forward measure下建模但HJM不是

2. HJM必須滿足drift和volatility在no-arbitrage下滿足一定條件

2. 本質：注意Libor是linearly compounded，不管是forward還是spot。但HJM下我們建模的forward rate是continuously compounded，且在市場中不可測。

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前言：

回答這個問題前，先來一個trivial的問題：為什麼選擇r作為收益對股票期權的無風險組合來說是無套利的？

等於在位為什麼BS里用r，這是個日經問題。說來說去那麼多，如果用風險的角度回答，其實就是因為無風險組合把由於風險帶來的premium給衝掉了，所以這個組合的收益只能r（而且大家都這麼認為，無套利因此而來）

那麼換一個不那麼trivial的問題：收益為r是股票期權的無套利條件，那麼利率模型的無套利條件是啥？

這個問題從風險的角度很難理解，因為r本身隨機的情況下，我們找什麼更基準的rf呢？回答這個問題，需要另一個角度，風險的市場方程，從而引出本題的內容——HJM。在此之前我們先來看沒有框架的時候，我們是如何構建無套利的。

無框架之前：

首先我們知道債券的終值一定是個鞅（等於1），而無套利的要求使我們不準有premium存在（哪怕我們不知道premium是啥），所以在哪怕不知道其他計價單位，我們也可以先進入傳統的Q測度里。

給定計價單位過程：

而我們把貼現率暫時設成假定利率過程的一個函數： (有幾個因子就有幾個過程）

所以我們所謂的無套利在這裡，是要使得SDE：

所對應關於f的PDE，沒有dt項，即為無套利。

可以看出，這麼做非常麻煩，因為只要假定一個過程，我們就得把這些重複一遍。還有一個原因是，這麼人為的構造無套利，似乎脫離了我們需要無套利條件的目標——債券價格本身。比較直觀的來說，我們希望我們的風險市場價格方程本身是由債券價格構成的，而不是這樣用利率貼現後人為欽定得出。

因此我們需要一套框架，這個套框架要滿足：1.對於給定任意利率過程都能構造無套利價格；2.最好直接用市場上可觀測的債券價格構造。那麼完成這個事情的框架就是HJM

框架：

無套利模型的其中一個好處就是，一旦我們驗證了可複製性的存在，並且規定了測度。則無需再次驗證無套利性，即可在規定的測度里建模。

為了說明這個問題， 我們需要用HJM三位最原始的遠期利率過程構造來HJM。於是接下來就是抄書時間：
我們定義一個簡單的高斯遠期利率過程：

現在定義「累計擴散」和「累計漂移」：

之所以這麼定義是因為

里包含了一次積分。

在這一套過程下，最後我們再次利用上面終值在Q下為鞅的條件列出：

現在需要構造風險市場價格我們希望經過如下平移變換之後終值過程為鞅：

換言之，我們需要找到Theta所滿足的風險市場價格方程。把兩個式子聯立我們就得到了Theta的具體表達：

這個表達里，mu和sigma取多少都不重要。因為我們知道在所有流通債券中的任意一個債券，哪怕我們不知道他的所對應的遠期利率過程，都可以確定他在Q下的唯一價格。也就是說我們現在驗證了無套利性，則可以完全在規定測度下建模

現在確定了終值是Q鞅，那麼同理我們也可以確定，債券本身在Q下有確定漂移項：

我們已經可以看到HJM的意義了，在不假定利率模型的情況下，我們可以給出有該債券債券價格自己和其短期利率所表示的必要收益率。而所有債券都應該滿足這一收益率，所以我們欽定了所有債券的測度

應用與拓展：

待更……%%

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