局部同胚和同胚的本質區別在哪裡？

拓撲空間X，Y是同胚要求映射f是一一對應並且f和f的逆都是連續的，X和Y局部同胚要求X中每一點存在鄰域和Y中對應的像點的鄰域，比如單位圓和實數軸局部同胚，那麼這種從部分推廣到整體的過程中問題到底出現在哪？添加什麼條件能保證局部同胚推出整體同胚？數學中還有很多類似的情況，部分推不到整體的情況，最關鍵的問題在哪？

從層論的觀點來討論一下。

先扯點稍離題的話，局部同胚有個非常高大上的名字：若 是局部同胚，則E叫做B的espace étalé，略不裝X的叫法是étalé space，中文維基似乎翻譯為平展空間。這個術語的其中一個理解方法為，E是「攤平於B上」的空間。

層論和étalé空間的聯繫，是由以下的兩個構造給出的。

1. 給定任意連續映射 ，p的截面的層(sheaf of sections) 是B上的一個層，定義為 。這個構造是函子性的，即我們有 ；其中 是B的over category、對象形如 ， 是B上的層組成的範疇。
2. 給定B上任意層 ，存在一個空間E和連續映射 ，使得 。具體構造如下：空間 取所有莖(stalk)的不交並。固定B中的開集U和U上的截面 ，則對於任意 ，s都確定了 上的元素（芽；germ）s_b；我們規定E中的子集 為開集。這個構造也是函子性的，即我們有函子 。

這兩個函子之間有一些奇妙的性質：

• L實際上取值在更小的範疇 ，即由étalé 空間組成的滿子範疇，也即要求p為局部同胚。此外，滿足 的étalé 空間是唯一的。
• 當且僅當p是局部同胚。
• L是 的左伴隨函子。
• L構成從 到 的範疇等價。

換言之，要研究與B局部同胚的空間，我們只需要考慮B上的層就足夠了。容易算出，真正的同胚 對應於每個截面和莖都是單點集的平凡層。因此，從這個角度看，阻礙從局部同胚升級到同胚的obstruction是整個層範疇 ！

具體計算些小例子。乍看局部同胚，很容易被覆疊空間的直覺帶歪過去，例如因為 是一個萬有覆疊，我們（其實是我）可能就認為不存在到它的非平凡局部同胚。但是考慮到這等價 上不存在非平凡層，這顯然是錯誤的，哪怕考慮不那麼平凡的反例，如取一個非單點集在0點處的skyscraper sheaf（摩天大樓層？？好鬼畜），取étalé 空間後也能得到不那麼cheating的局部同胚。更具體些，如果取的是兩點集，那麼對應的étalé 空間正是line with double origins；更一般地，這樣得到的étalé 空間都是除Hausdorff之外就是流形的空間（第二可數、局部歐氏）。鑒於（私以為） 是平凡範疇的例子相當罕見（B需要足夠簡單、拓撲需要足夠粗糙），局部同胚實際上應該甚少是同胚。

再離題一下，這個例子同時說明局部同胚和覆疊映射的區別。從點集拓撲的角度看，後者還是個纖維叢，而前者往往不滿足Hausdorff條件。從層論的角度看，覆疊空間作為étalé 空間，對應的層都是局部常層(locally constant sheaf)（經評論區 @Saberization 指出）。因此，如果有鏡像問題「覆疊映射和同胚的本質區別在哪裡？」，我的回答會是，存在代數阻礙 ，即由所有局部常層組成的、 的滿子範疇。

繞了一大圈之後，讓我從一個更初等的角度來說明同樣的結論。若 是B的任意開覆蓋，則不交並 是一個局部同胚。因此，只要B有足夠精細的拓撲，很容易就能造出不是同胚的局部同胚來。In case anyone is interested，這樣的局部同胚對應的層是 ，其中：

• 是單點集在U上的常層；
• 是開嵌入 誘導的properly supported (exceptional) direct image函子，是restriction/inverse image函子 的左伴隨；
• 最外面的 是集合的層的上積，為在每個開集上取截面的不交並所得的預層的sheafification（層化？）。

註：編寫本回答時大量參考了nLab和Wiki相關條目下的idea及細節，在此不claim任何 originality。

本質原因是局部上的相似並不能說明整體上的相似，這和盲人摸象是一個道理。生活中不一對的哲學原理到數學中更不可能成立。

呃，由樓主這例子很自然地想到了復迭空間。