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一個凸五邊形中，已知五條邊邊長，如何求其最大面積？

01-05

舉個例子：邊長為 2，3，4，5，6 的五邊形面積最大能達到多少?

已知五根木棒的長度,擺成面積最大的五邊形, 你能寫出此時的面積公式 $S_{max}(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ 嗎?

這個問題其貌不揚, 看似不過是初中幾何入門練手題.

但事實上,這個公式不存在.

這個結論有點出乎意料,畢竟三角形有赫倫公式,四邊形有布雷特施奈德公式,五邊形怎麼就沒公式了?

會不會和五次方程有點關係呢?

完整證明比較冗長,以圖代證縮短證明.

引理一: 凸多邊形面積必然大於凹多邊形

如果圖形是凹多邊形,那麼通過對稱外翻一個點總能使得面積更大.

引理二: 存在唯一變換 $mathcal{T}$ 使得凸多邊形所有點共圓.

取連續三點確定一個圓:

其他點依次吸附到圓上, 然後可能變成一下結果之一:

通過推拉中間的D點根據中值定理總能使得A F點重合.

且這樣的形狀及其確定的圓是唯一的.

代數證明: 求證：任意多邊形都能不改變邊長，通過推動各邊變形後使其內接於一個圓中？
呵呵, 被威武的小管家幹掉了...

引理三: 所有點共圓時面積最大.

讓紅色部分吸附在邊上,推動各點使其變形.

顯然, 不管怎樣這個圖形周長是不變的.

所有周長相等的圖形中圓面積最大.

注意到紅色部分面積不變,證畢.

原文: Maximum Polygon Area

引理四: 面積最大的多邊形與其邊的排列順序無關.

以上命題顯然,讀者自證不難.

於是根據引理一二三四,以下就是面積最大的五邊形.

設該圓半徑為 $R$ , 已知邊長度 $a_i$ ,設邊對應的角為 $heta_i$ .

根據三角關係有:

$frac{1}{2} heta_i=arcsinfrac{a_i}{2R}$

所有圓心角之和為 $2pi$

$2pi=sum heta_i=sum2arcsinfrac{a_i}{2R}$

逆用歐拉公式有: $arcsin(z)=-iln left(iz+{sqrt {1-z^{2}}} ight)$

$sumln (iz+sqrt{1-z^2})=-frac{pi}{i}=pi i$

兩遍取對數,使用歐拉公式

$prod(iz+sqrt{1-z^2})=e^{pi i}=-1$

也就是說半徑滿足方程:

$prodleft(frac{ia_i}{2R}+sqrt{1-left(frac{a_i}{2R} ight)^2} ight)+1=0$

分析發現這個方程的高度(最高次數)是 $2(n-2)$ ,也就說五邊形時要解六次方程.

當然五次方程以上都沒有通解,因此五邊形邊長求面積的公式也就不存在了.

當然可以通過數值計算求出R

然後使用公式:

$S=sum frac{1}{2}a_isqrt{R^2-frac{1}{4}a_i^2}$

求出面積.

計算機代數推導表明取 $a_i={2,3,4,5,6}$ 時的面積是某個六次方程的根.

數值結果大約是25.6775,這個結果和遺傳演算法的數值結果一致.

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