關於八度相似性，怎麼才能聽出來「相似」，比如C1和C2，除了聽出來音高不同，怎麼才能感覺到「相似」？

01-05

我查了一下資料，說是頻率是二倍關係，C1音的一個周期內，C2剛好振動兩個周期，所以很和諧。
但是我在鍵盤上按下C1，再按下C2，多次比較，也只是發現這兩個相差八度的音的音高不一樣，就像C1、D1、E1之間的關係一樣，他們都是音高不同的音符，但是沒感覺C1和C2哪裡「相似」了？
（我是理科生，自學樂理的）

同時按下C1和C2，看看兩個音是不是神奇的融合在一起了，理論上此時你聽到的是一個音高為C1的高頻更豐富的音。還可以同時按下C1,C2和G2，這時你依然只會聽到一個音高為C1的音。作為理科生，學學傅里葉（Fourier）級數是極好的。

------------------------------4月11日補充-------------------------------------

下面是一段數學的描述：

有固定音高的樂音可以視為周期振動的聲波。任何一個頻率為 $f$ 的零均值周期函數可以寫成一系列正弦函數的和：

$[Fleft( t ight) = sumlimits_{n = 1}^{ + infty } {{A_n}sin left( {2pi nft + {varphi _n}} ight)} ]$ （1）

上面這個式子右端就稱為傅里葉級數，它描述的物理含義是，一段振動頻率為 $f$ 的聲音波動裡邊同時包含了頻率為 $f$ ， $2f$ ， $3f$ ，…等一系列頻率的波動。雖然信號領域習慣上用基波、諧波來稱呼它們，樂理裡面我們會換一個名詞，把頻率為基頻 $f$ 整數倍的諧波分量稱為「泛音」，把這些諧波的集合叫做「泛音列」。泛音列是一個重要的概念，和和弦、律制的產生都有很深的關聯。

相差八度的兩個音的頻率比值為1:2。假設（1）式描述的是較低的那個音的傅里葉級數，那麼比它高八度的音的頻率為 $2f$ ，其傅里葉級數為：

$[Gleft( t ight) = sumlimits_{n = 1}^{ + infty } {{B_n}sin left( {4pi nft + {phi _n}} ight)} ]$ （2）

注意在（1）式和（2）式中，我們均假設式子左端是零均值的，這樣傅里葉級數將不包含直流分量。

所謂八度和聲就是把兩段樂音疊加起來，稍加計算可以發現，

$[Fleft( t ight) + Gleft( t ight) = sumlimits_{n = 1}^{ + infty } {{C_n}sin left( {2pi nft + { heta _n}} ight)} ]$ （3）

並且當 $n$ 為奇數時 $[{C_n} = {A_n}]$ ， $n$ 為偶數時 $[{C_n}]$ 是一個與 $[{A_n}]$ 、 $[{B_n}]$ 、 $[{varphi _n}]$ 、 $[{phi _n}]$ 相關的數字。但不管怎樣，我們會發現八度和聲 $[Fleft( t ight) + Gleft( t ight)]$ 與和聲的根音 $[Fleft( t ight)]$ 具有相似的傅里葉級數展開。區別僅在於前者偶數次泛音和後者不一樣。本質上它們都是音高為 $f$ 的樂音。這就是八度和聲總能融合成一個音高的音的原因。

類似上面的形式我們還可以證明頻率為 $3f$ 的音與前兩者疊加也會有相同的效果：它們產生的和聲僅僅在偶數次、三倍數次的泛音上和根音不同，音高則始終為頻率 $f$ 。如果 $f$ 是C1的頻率，那麼 $2f$ 為C2的頻率， $3f$ 為G2的頻率。如本回答第一段所述，在鋼琴上做一個小小的實驗，我們會發現數學和我們對音樂的感知能夠得到完美的融合。

---------------------------4月12日補充--------------------

傅里葉級數，或者更一般的傅里葉變換，這些數學工具描述了一個信號既可以在時域中描述，也可以在頻域中描述。如果你對「時域」、「頻域」這樣的名詞心存困惑，不妨想想這篇回答的主題音樂。我們的耳朵感知到音高，某些樂感好的人還能感知到每個樂音所對應的的一系列泛音，所謂音高就相當於聲音的頻域信息。然而我們並沒有直接感受聲波的時域波形的能力（很低頻的聲音除外）。這似乎說明大腦自帶著一套傅里葉變換演算法，這套演算法的存在使我們能夠將耳內鼓膜的震動轉化成對音高的感知。

此外我們還發現，人腦對音高的認知不是線性的而是比例關係。我們會覺得頻率相差2倍的兩個音是八度關係。一個100Hz的音，其高八度音的頻率為200Hz，二者相差100Hz；而一個1000Hz的音，其高八度音的頻率為2000Hz，二者相差1000Hz。而在我們的大腦看來，這兩組音之間的音程是相等的。因此在對數坐標系下我們對音高的感知才是線性的。大腦為啥會設計成這樣的特性？也許這有助於我們更敏銳地分辨低頻的差異而不是高頻的差異？

還可以思考一個有趣的問題，我們對色彩的認知其實也是一個從時域到頻域轉換的過程。不同顏色的可見光其實是不同波長（也即不同頻率）的電磁波，我們不可能直接看到光波的波動性，然而我們能夠通過對顏色的感知分辨光波的波長和頻率。而且和聲波不同，我們完成這套認知過程應該不是通過大腦里的「軟體演算法」實現的，而是直接由三種視錐細胞「硬體」實現的。如果非要和計算機類比的話，大概相當於人類對聲波的傅里葉變換是通過CPU，而對光波的傅里葉變換是通過一套專用硬體電路？這麼想想還挺厲害呢。

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問題標籤里加了口琴，姑且認為題主大概是個口琴愛好者。那麼就說點口琴的話題吧。口琴演奏也在不斷追求創造各種各樣的和聲，八度和聲大概是最考驗演奏者嘴巴大小的一種。口琴上演奏八度和聲要求口含跨一個八度音程的吹孔，然後用舌頭堵住中間的音，讓氣流從舌頭左右兩側吹入吹孔，這時就能得到八度和聲了。對布魯斯口琴來說應該還算比較容易做到，半音階口琴稍難，複音口琴則需要嘴巴張得很大才能做到，於是成為不少人學琴的阻礙。以前有前輩為了吹出十度和聲做了開嘴角手術，真是令人敬佩。

為了不那麼費力地演奏八度和聲，於是就有了重音口琴這樣的發明。神奇的是我們小時候常見的綠格子口琴大部分都是重音口琴。重音口琴每個音是上下兩個孔的簧片振動頻率剛好相差一個八度，所以演奏起來所有的音都是八度和聲的效果。另外，合奏用的貝斯口琴也經常在每一個吹孔里設置相差八度的兩個簧片，推測應該是出於改善音色的目的。

方法一：低八度音去處基頻後再與高八度音比較。

C1的頻譜中刪去基頻32.7Hz得到的泛音聽上去會和C2聽起來特別相近。舉個現實中的例子：吉他在第十二品的自然泛音和按12品彈出來的音聽起來幾乎一模一樣（十二品自然泛音相當於去除了基頻的空弦音，而按12品彈出來的音則是比空弦音要高八度的音），只是音色上有細微不同。

荊哲：有個錯誤要指正一下，八度泛音並不僅僅去除了基頻，同時也去除了所有奇數倍泛音。

方法二：感受八度的「循環感」

把鋼琴白鍵從左到右一個一個彈奏，每彈完七個鍵之後，接下去的七個鍵聽上去都像是在更高的音高上循環了前面七個鍵。或者可以聽聽看我專欄文章中的第二條音頻演示。這種「循環」的感覺也是八度的「相似性」的體現。

純八度是極和諧的音程。音樂生入門的時候就應該具有這種聽覺吧？如果你硬是聽不出來。。。。反正學理科也沒什麼所謂啦

ヽ(。_°)ノ

謝邀！相差八度，頻率比為2:1。彈奏的時候可以聽出泛音。在聽覺體驗中，相似性表現在兩音同時發出時候的穩定性。

如果體會不深，可以嘗試聽不協和音程同時發音的時候，兩音極度不穩定。因為不協和音程在泛音列上處於遠端。

機械鋼琴上，你按下C2，等聲音消失，不要放，狂砸幾下C1，鬆開C1，然後你就會聽到C2也在響。這個問題在數學物理方法中有解釋，這種琴弦的波動其實是基波加諧波，而二次諧波就是剛好二倍頻率。

要一起按……

當弦振動時我們聽到的不僅僅是一個單音，而是基頻以及在基頻的基礎上的一系列泛音。在鋼琴上c1這根弦振動的時候，除了c1的基頻，最響的那個泛音就是c2。兩個音的相似性從這兒體現出來。

這兩個音的色彩，在鋼琴上聽起來非常相近，因為泛音列很相近

說簡單點，我拉小提琴，拉八度音就感覺在拉一個音，而拉其他和弦就感覺拉的是不同的音。說複雜點可能還和生物學哲學有關係吧

我覺得Shepard tone是一個最直觀的例子，聽起來像是音調一直在上升。多播放幾遍就會發現相差八度的音其實非常相似。

https://www.physixfan.com/wp-content/files/endless.mp3

音色也是個問題