厄米流形在物理上的應用？

01-05

最近在學微分幾何，想了解一下厄米流形在物理上的應用。希望不吝賜教

Hermitian 流形性質太弱啦，物理中一般都是 K?hler 起跳；就算沒有 K?haler，也有 bi-Hermitian 結構，比如 $S^3 imes S^1$ 。

給定一個 Hermitian 流形，就可以在其上定義歐幾里得4d $mathcal{N} = 1$ 超對稱理論，大概這是它比較重要的用法了。要在彎曲空間 $M$ 上定義超對稱，有一套系統的方法，叫 Rigid limit，這套方法最後歸結為解一組 $M$ 上旋量方程組，比如

$[egin{gathered} ({ abla _mu } - i{A_mu })zeta + i{V_mu }zeta + i{V^ u }{sigma _{mu u }}zeta = 0 hfill \ ({ abla _mu } + i{A_mu }) ilde zeta - i{V_mu } ilde zeta - i{V^ u }{{ ilde sigma }_{mu u }} ilde zeta = 0 hfill \ end{gathered} ]$

其中 $zeta, ilde zeta$ 為左右手旋量。結論是如果背景度規 $g$ 、 $U(1)_r$ 規範場 $A_mu$ 和矢量場 $V_mu$ 使得方程有解，那麼 $M$ 必然是 Hermitian 的。

另一個類似的結論是 2d $mathcal{N} = (1,1)$ 的 sigma 模型的 target space 必然是 Hermitian 的，可以參看 Ro?ek 的 Introduction to Supersymmetry。