如何用比較初等的方法證明這道幾何題？

01-05

首先聲明不是作業題。
如圖：六點 $A,B,C,D,E,F$ 在一條圓錐曲線上， $G$ 是任意一點，過五點 $A,B,G,E,F$ 做一條圓錐曲線 $a$ ,過另五點 $B,C,G,D,E$ 做一條圓錐曲線 $b$ ，兩條圓錐曲線除了已有交點 $B,G,E$ 外交於另一點 $H$ ，且直線 $AFcap CD=O$ 。
求證： $G,O,H$ 共線。

註：這是pascal定理的某種擴展形式。我知道比較高等的證明方法，比如用Cayley–Bacharach定理。不過總覺得用透視對應交比不變之類的性質可以解出。

題主的問題很不錯，我想了很久，有三種方法，下面依次敘述。

證法一 (高級證法)：

利用題主所說的代數幾何中的Cayley–Bacharach定理。該定理的內容是：

定理(Cayley–Bacharach)：平面上兩條(射影)平面上的三次曲線如果交於9個點，那麼任意通過其中8個交點的三次曲線必定經過第9個點。

下面開始證明。注意到三次曲線的一種退化形式就是一個二次曲線(圓錐曲線)並上一條直線，此時三次曲線齊次坐標方程 $F(x,y,z)=0$ 可以分解為 $G(x,y,z)H(x,y,z)=0$ 的形式，其中 $deg G=2$ ， $deg H=1$ 。圖中由構造可以發現兩個這樣的三次曲線，分別是圓錐曲線 $a$ 並上直線 $COD$ ，另一條是圓錐曲線 $b$ 並上直線 $AOF$ ，他們交於9點 $A,B,C,D,E,F,G,O,H$ 。考慮另一條退化的三次曲線圓錐曲線 $ABCDEF$ 並上直線 $OH$ ，它通過上面9點中的8個點，所以它一定通過第9點 $G$ 。如果 $G$ 在圓錐曲線 $ABCDEF$ 上，則三個圓錐曲線重合，也就無法構造 $H$ ，整個構型失去了意義。所以只有在非退化的條件下題目的結論成立。此時 $G$ 不在圓錐曲線 $ABCDEF$ 上，所以只能有 $Gin OH$ ，從而 $G,O,H$ 共線。 $square$

證法二 (中級證法)：

在復射影平面上，所有的的圓都經過兩個的虛圓點(imaginary circular points)： $(1,i,0)$ 和 $(1,-i,0)$ 。注意到圖中三條圓錐曲線都經過 $B$ 和 $E$ ，我們可以通過復射影變換，把它們變到圓點。變換後，點和線的結合性，以及共線性能得到保持，但是此時三條圓錐曲線都被變換成了圓，圖形如下：

此時，我們發現， $AF$ ， $CD$ 和 $GH$ 都變成了相交兩圓的根軸(radical axis)。根軸是指到兩個圓的冪，或者說切線的平方相等的點的軌跡。可以證明，相交兩圓的根軸就是兩圓相交點連線的弦所在的直線。如果有三個兩兩相交的圓，那它們的根軸交於一點，稱為根心(radical center)。這個很容易證明，以上圖為例， $AF$ 上的點到圓 $AFHG$ 和圓 $AFCD$ 的冪相等，CD上的點到圓 $AFCD$ 和圓 $CDHG$ 的冪相等，所以點 $O=AFcap CD$ 到圓 $AFHG$ 和圓 $CDHG$ 的冪相等，所以 $O$ 在圓 $AFHG$ 和圓 $CDHG$ 的根軸 $GH$ 上，也就是 $G,O,H$ 共線。現在再將整個圖形變換回去，由射影變換保持共線性得知，原圖中 $G,O,H$ 共線成立。 $square$

證法三 (綜合法)：

前面兩種方法一種用了代數幾何的深刻定理，另一種方法用了射影變換，圓點以及根軸的性質，都是比較高的觀點。現在我們來敘述一種直接的綜合證法。

首先，我們需要使用射影對合(involution)的性質。對合，在一般意義上說，是指一種雙射 $f:Amapsto A$ ，並且滿足對任意的 $ain A$ 有 $f(f(a))=a$ ，也就是連續兩次映射會把元素變回自己。這樣，對這個映射來說，每一個元素 $a$ 的軌道包含兩個元素 $a$ 和 $f(a)$ ，它們構成一個對合元素對，每次映射都在這個對之間來回變換。

在射影幾何中，我們要求映射是射影變換，也就是保持交比不變。我們現在考慮射影直線也就是 $mathbb{RP}^1=mathbb{R}cup{infty}$ 上的對合。可以(解析的)證明，任何一個射影直線上的對合變換可以由兩個變換點對完全確定。已知直線上的對合點對 $A,A$ 和 $B,B$ 的情況下，可以用完全四邊形的方法作出直線上任意點 $C$ 的的對合點 $C$ ，如圖（證明略，可以用交比，也可參見 [射影幾何入門（連載八）]）：

對合的一個比較有趣的性質是，經過固定四點的圓錐曲線被任意直線所截的兩個交點是該直線上的對合點（證明略，參見 [射影幾何入門（連載八）]）。如下圖：無論圓錐曲線如何變動，甚至退化為相交直線，只要直線和四點 $A,B,C,D$ 不變，那麼所有的點對，比如下圖中的 $X,X$ , $Y,Y$ , $Z,Z$ 和 $W,W$ 都屬於直線上的同一射影對合變換的對合點。

對合還有一些度量性質。考慮無窮遠點 $p_infty$ 的對合點 $p$ ，考慮到其唯一性，被稱作對合的中心。可以(解析的)證明（或參見[射影幾何入門（連載九）]），對對合點 $a,a$ 和 $b,b$ ，有度量關係 $pa imes pa$ 。也就是說，對任何對合點 $x,x$ ，有 $px imes px$ 為常數。反過來，如果一個點 $p$ ，對對合點有 $px imes px$ 成立，那麼這個點只能是無窮遠點 $p_infty$ 或者是對合的中心。

我們現在知道了一些對合的性質，我們來證明一個引理：

引理：設兩條圓錐曲線均經過 $A,B,C,D$ 四個定點，有一條直線 $ellparallel AB$ 且分別與交兩條圓錐曲線與 $E,F$ 和 $G,H$ 點。如果 $CDcapell=O$ ，則有 $OE imes OF=OG imes OH$ 成立。反之，如果在直線 $ell$ 上有一有窮點 $O$ ，使 $OE imes OF=OG imes OH$ 成立，那麼 $Oin CD$ 。

引理證明：如果連接 $AC,BD$ 交直線 $ell$ 於 $I,J$ ，連接 $AD,BC$ 交直線 $ell$ 於 $K,L$ ，如下圖。

那麼由前面所述的對合的性質，可以得出點對 $E,F$ ， $G,H$ ， $I,J$ 和 $K,L$ 屬於直線 $ell$ 上的同一個對合變換。由作圖發現，在 $I,J$ 和 $K,L$ 決定的對合中， $O$ 點的對合點是無窮遠點(因為 $ellparallel AB$ ，或者說 $ellcap AB=p_infty$ )，所以 $O$ 是 $I,J$ 和 $K,L$ 決定的對合的中心。然而點對 $E,F$ ， $G,H$ 也是同一個對合變換的的對合點，所以由對合中心的性質有 $OE imes OF=OG imes OH$ 成立。

反過來，如果直線上有一有窮點 $O$ 使 $OE imes OF=OG imes OH$ 成立，那麼由前面所述的對合的性質， $O$ 是 $E,F$ 和 $G,H$ 決定的對合的中心。設 $O$ 是 $I,J$ 和 $K,L$ 決定的對合的中心，那麼 $O$ 。然而 $E,F$ ， $G,H$ ， $I,J$ 和 $K,L$ 屬於同一個對合變換，由對合中心的唯一性，有 $O=O$ 。 $square$