為何玻爾模型剛好只對氫原子與類氫離子有效？

01-05

儘管有關原子的一般理論需要使用量子力學。但對於解釋某些現象來說，為何玻爾模型剛好只對氫原子與類氫離子有效？難道這僅僅是一種巧合？
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因為歷史上玻爾提出他的模型就是為了解決氫原子光譜，不是湊巧。

玻爾模型提出的時候，還沒有完備的量子力學。玻爾是在經典力學框架下，強行加上了軌道能量量子化的條件推導出來的。當時人們測到了氫原子譜，知道里德伯公式，大家就在猜這怎麼會只有幾條線，而不是連續譜。當時量子的概念已經由普朗克在黑體輻射中提出來了，所以玻爾就把這個概念套在電子運動上了，但是玻爾仍舊用的經典力學的圓周運動能量。

為什麼玻爾模型不能處理多電子體系？因為玻爾模型根本沒有考慮多電子之間的相互作用。他甚至沒有考慮單電子的角動量和自旋——當是人們並不知道這些東西。玻爾模型里唯一的量子數是 n

所以，玻爾模型其實連氫原子譜也不能完全解釋。一個套著「量子」面具的經典力學模型，當然解釋不了氫譜的超精細結構。只是，一百年前實驗也沒那麼高解析度，不知道氫譜還有超精細結構

當然，這完全不會否認玻爾模型的歷史地位。

不不跟三體問題一點關係都沒有不要隨便亂類比……

電子軌道並不是真正的軌道，它是電子受到原子核電磁力束縛的條件下能級分立的一種現象，分立的規律剛好與能級假設是一樣的（也是當然的，就是按照實驗結果湊的）。多個電子的情況下，電子之間會互相有影響，最明顯的表現為泡利不相容原理，同一個主量子數、角量子數和自旋量子數只能容納一個電子，所以產生了電子排布，加上這個規則之後許多東西還是可以用玻爾模型解釋的。

玻爾模型對氫原子根本談不上有效，只是算出來的能級恰好和薛定諤方程的解一樣。其它地方沒有一處對的。

比如玻爾的理論認為每個能級對應一個角動量。而根據薛定諤方程，同一能級可以取不同的角動量，每個主量子數可以取不同的角量子數，磁量子數。另外S態的電子是完全沒有角動量的。這些完全不符合玻爾的理論。

玻爾的理論本來就不是完整的量子力學，取得正確結果只能是一種巧合。就像拉普拉斯和施瓦西算出黑洞的直徑相等一樣。如果硬要追究這些巧合背後有什麼物理意義，或許有的確實有更深刻的意義，但大部分純粹是個巧合。

另外，我想問為什麼基態氦原子的能級算不出來？氦原子不是球對稱的嗎？不能約化成常微分方程嗎？

不是玻爾模型剛好對氫原子和類氫離子有效，是玻爾模型剛好在計算氫原子和類氫離子的能級時有效。

玻爾模型的核心是角動量量子化假設，剛好和解薛定諤方程的解碰上了。

量子力學早期的發展，建立在人們對簡單粒子光譜的解釋上。

人們在測定氫原子光譜時，發現用經典力學的那套理論很難解釋。同時Rutherfold的有核模型的提出，也很難用經典理論來解釋其穩定性問題。

Bohr之前，量子的概念已經出現，並被Einstein用於解釋光電效應。這也為Bohr用量子的模型去解釋上面兩個問題埋下了伏筆。

如各位所說Bohr為了解釋氫原子光譜，先是提出了兩條基本假設。（這個就不說了，手機手打，太煩）

我覺得各位可能沒有提到，就是，Bohr在解決這個問題中用到了「對應原理（correspondence principle）」

這個原理是說：在大量子數極限情況下，量子體系的行為應該趨向與經典力學體系相同。根據這個原理得出了一個角動量量子化條件。從這個條件出發可以比較容易求出體系的量子化能級。

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如有錯誤，請及時私信我改正^_^

除了氫原子類氫原子量子力學可以給出誰的嚴格解？三體繞轉問題用經典力學你給我一個嚴格解？！

我想過這個問題，雖然我沒有仔細研究過。這裡同求高人證實。

第一，波爾量子化條件是索末菲量子化條件的一種特殊情況。索末菲量子化條件的物理意義是，粒子的閉合軌道必須能剛好放下該粒子物質波的整數個完整波長。

第二，量子力學發展起來後，求解薛定諤方程有一種方法，叫wkb方法。大家熟悉的wkb方法主要在粒子隧道效應里用到，但其實在求解粒子能級時也用。它是說粒子的半經典閉合軌道應該剛好能放下整數個加上一半的物質波完整波長，作為能級的量子化條件。

第三，wkb方法和索墨菲的量子化條件只差了半個波長，這是由於索末菲量子化條件其實只考慮了粒子在軌道上的物質波，沒有考慮軌道以外的物質波帶來的邊界項目。

第三，巧合的是，諧振子勢的wkb近似能級嚴格地等於薛定諤方程的精確解。這裡可能有更深層的原因，我不清楚。而wkb近似與索末菲量子化條件也只差一個零點能。

第三，其實三維平方反比勢和三維諧振子勢之間存在一個對偶關係。具體關係式在高等量子力學書里應該有。它們的能級其實是一一對應的。既然三維諧振子的wkb近似與薛定諤精確解一樣，那麼平方反比勢的wkb近似與薛定諤精確解也當然一樣。

最後，wkb近似與索末菲效應的結論還差一個零點能，因此能級還差一半。但是波爾和海森堡早期都無法想像角動量為零的電子軌道，因此錯誤地將wkb近似中對應的基態給扔掉了，卻又因為沒考慮零點能的問題恰好與正確能級給對應上了。

這就是我的看法。但我沒真的算過。歡迎大牛回答更具體的情況。