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請問能形象描述並區分歐式空間希爾伯特空間內積空間以及賦范空間嗎？

01-05

最近對空間挺感興趣，你要描述一個事物就必須得先找到一個空間定義一組基，就設計到矩陣以及特徵向量……信息量太大，越往下越發現基礎的空間沒學好

歐式空間 $subseteq$ 希爾伯特空間 $subseteq$ 內積空間 $subseteq$ 賦范空間

越抽象的空間具有的性質越少，在這樣的空間中能得到的結論就越少。不過反過來，如果發現了賦范空間中的某些性質，那麼前面那些空間也都具有這個性質。

我們生活在三維空間，把它拓展到n維空間就是歐式空間，這是我們比較熟悉的空間，具有一切美好的性質。當我們不局限於有限維度，就來到了希爾伯特空間。從有限到無限是一個質變，很多美好的性質消失了，一些非常有悖常識的現象會出現。如果再進一步去掉完備性，就來到了內積空間。如果再進一步去掉"角度"的概念，就來到了賦范空間。在這裡，起碼我們還有「長度」和「距離」的概念。

有一個表述習慣上的問題可能會引起分歧，就是歐式空間的定義。不同的人說歐式空間可能會有不同的含義：

1. 有些人口中的歐式空間就是指 $mathbb{R}^n$

2. 另一些人說歐式空間指的是帶有正定的對稱的雙線性型的實向量空間.

當然第二個定義較第一個更為廣泛一些. 具體指的是哪一個一般可以通過上下文推得.

為區分題所說的空間，我們先給出並區分一些概念.

1. 內積

設V是一個復向量空間，其上的一個埃爾米特內積是指一個型： $V imes V omathbb{C}$ ,滿足

$(alpha w+eta u,v)=alpha(w,v)+eta(u,v)$

$(w,v)=overline{(v,w)}$

$v ot=0implies(v,v)>0$

2. 範數

設V是一個復向量空間，其上的範數是指一個映射| |： $V omathbb{R}$ ，滿足

$|v|=0iff v=0$

$|alpha v|=|alpha||v|$

$|w+v|leq |w|+|v|$

3. 度量

設X是一個集合，其上的一個度量 $d:X imes X o mathbb{R}$ ,滿足

$d(x,y)=0iff x=y$

$d(x,y)=d(y,x)$

$d(x,y)leq d(x,z)+d(y,z)$

我們把帶有內積，範數，度量的空間就分別叫做內積空間，賦范空間，度量空間.

觀察：

1. 設V是一個內積空間，定義 $|v|=sqrt{(v,v)}$ ,檢查得到V成為一個賦范空間.

2. 設V是一個賦范空間，定義 $d(w,v)=|w-v|$ ,檢查得到V成為一個度量空間.

所以內積空間 $subset$ 賦范空間 $subset$ 度量空間

回到題目，我們已經定義了歐式空間，內積空間，賦范空間. 下面定義希爾伯特空間.

一個希爾伯特空間，定義為一個完備的內積空間.

完備是度量空間的一個概念，是指所有柯西列均收斂這一性質.

最形象的辦法當然就是上圖啦~ 祭出早期學習線性空間對我最有幫助的一張圖：

來源：Space (mathematics)

大神如果說細點就更佳了，

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