橢球一定能割出圓面嗎？

01-05

對於任意一個橢球，是否總能有一種割法割出一個圓面。
話說。。這個問題為啥沒人回答啊。。(只有一個評論說可以 )
這個問題出自高中化學(物理)題，關於單晶體各向異性的，如果在某個錐形向上各向是同性的，應該就可以證明對於某點熱源，某單晶體(片裝)的融化圖形可能是圓形的。
好吧。。我就是來較真的。。坐等回答。。

能。

設橢球的半長軸、半中軸、半短軸分別為a、b、c。

若其中有任意二者相等，則用此二軸確定的平面去截橢球，截面就是圓形。

若三者皆不等，則考察長短二軸確定的平面，用它去截橢球，會得到一個半長軸、半短軸分別為a、c的橢圓。在此橢圓上，一定能找到一點到中心的距離為b。用過此點和橢球半中軸的平面去截橢球，截面就是一個半徑為b的圓形。

abc的橢球～abc依次減小～～舉例～於是有兩截面分別切出ba和bc的橢圓～連續變化～～所以兩面間有bb的橢圓就是圓啦～～

補充 @王贇 Maigo 的答案~

當a &> b &> c的時候這樣的圓面是唯二的。圖中圓球如果縮小一些，相交曲線會分為上下兩支。圖中圓球如果放大一些，相交曲線則會分為左右兩支。

有空再來寫寫怎麼用線性代數解釋這個問題。。

首先應該說明用平面去截一個二次曲面，得到的一定是個二次曲線。這是個簡單的代數問題，很好證明。

二次曲線有幾種可能性，圓，圓錐曲線，或者兩條直線。

橢球是封閉的，只能截出封閉的曲線來，封閉的二次曲線只有圓和橢圓。

考慮繞著中軸旋轉的平面，根據對稱性，半中軸一定是截得橢圓的長軸或短軸，另外一個軸的長度在橢球的長軸和短軸之間連續變化，那麼一定可取得和中軸等長的情況。

古幾米的圖示很贊，很好的體現了唯二性，但是需要說明截得的曲線是個平面圖形。

能，我還可以從另一方面進行解釋，結晶礦物學中把低級晶族和受過外力作用的中高級晶族分為一軸晶和二軸晶，這些晶體的光學性質很不同，會出現雙折射的現象，為了研究這種現象，我們定義了光率體，每個晶體都有一個特定的光率體，這個光率體就是橢球形的，一軸晶的光率體是由橢圓繞長軸或短軸旋轉而成的，所以只有兩個參數Ne和Ng，二軸晶則是完全的橢球體，由三個參數決定Ne，Np和Ng。而這兩種晶體顧名思義分別有一個和兩個主光軸，當光線通過主光軸時不發生雙折射，而這個主光軸就是垂直於橢球切面為圓面時的切面。

暫時寫這麼多吧，有人看再補充。

補充 @古幾米的答案~

證明：

在橢球中以半中軸所在的坐標軸作為中樞軸，旋轉半中軸同半短軸所在的坐標面，形成新的以橢球面和坐標面相交而成的交線橢圓，因為半短軸小於半中軸小於半長軸的橢球曲面處處連續，則必然在橢球曲面上存在一條橢圓半短軸等於橢圓半長軸的封閉交線橢圓，即圓面。

證畢。

設出橢球方程x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1，平面方程z=px+qy，帶入橢球方程，化為標準的二次型，然後使平方項相等的p，q就確定了一個要求的平面。

用純潔的邏輯思考，

能。

無論是橢圓、橢球還是超橢體，

都具有短軸，

而都可以以短軸做半徑作圓、球、超圓體。

且一定包涵在橢圓、橢球還是超橢體內，

所以能。

不要打我，

打我不要打臉，

不要戴指虎，

躲開我眼睛隨便打哪兒，

哦我美麗的鼻樑...