該如何理解分析力學中的虛位移?

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課本上說虛位移並不是實際發生的，是設想的，不是由時間改變引起的一個無限小的位移變更。有什麼例子能夠幫助理解么？

想像一個小球，飄在太空中，不考慮它的速度和受力，它大可以向任意方向運動，產生的任何位移都叫做「虛位移」，因為這裡沒有「力學」，只有對「自由度」的描述。

現在把小球放在地球上，假設它不會跳起來（約束），那麼在不考慮它的速度和受力的情況下它可以前後左右運動，產生的任何位移都叫做「虛位移」。相比上一種情況，不能上下運動是因為我們假定了一個「約束」。這裡仍然沒有「力學」，只有「自由度」，自由度由於約束的原因減少了一個。

現在把小球放在碗里。具體到我們只考慮重力的情況下，如果它停在碗底（位置碗底，速度0），那麼它會一直停在那裡。但是這是力學結論。拋開力學，如果不考慮它會彈起來，也就是說把它約束在碗面內運動，那麼任何由此產生的位移叫做「虛位移」。

總而言之，虛位移是一種不考慮速度和力學，單純考慮受到給定約束限制下的可能自由度，所有允許的位移。翻譯成數學就是構型流形（已考慮約束）中的任意「位移」，區別於動力學位移在於，動力學位移存在於構型流形直積時間的流形中受哈密頓量（力學因素）控制的唯一可能的位移。

這個概念從數學上來說非常簡單直觀，在理論力學教學中顯得不簡單是因為我們可能要用它分析有複雜約束的系統，對這樣的系統「構型流形」這樣一個簡單明了的數學概念是很難具體想像的。為了便於理解，每次遇到虛位移的問題首先分析系統有哪些約束，明確了約束後虛位移就顯而易見了。

考慮系統的構型流形M。假定約束都是可積的，不可積的情形需考慮M上的一個分布。

如果系統不含時（指拉格朗日函數L或者哈密頓H），那麼就一直看M就行了。虛位移就是M上某點處的切向量。

如果系統含時（意義同上），那麼需考慮M×R，某一點處的切空間可看作M的切空間與R的切空間的直和（Tp(M×R)與TpM⊕TpR的同構，本來全部用p是不對的，但意思是清楚的就不多寫了），僅僅在M的切空間中的那些切向量才被叫做虛位移，也就是一般所謂的「凍結時間」的說法。

類似「無限小的位移」「不是真實的位移」「人們設想出來的位移」這一類的話，多說幾遍自己都不知道在說什麼了。。當然，概念不是最重要的，重要的是與這個概念相關的一些事情。比如，達朗貝爾原理（參見阿諾爾德《經典力學的數學方法》第四章），以及非完整約束的一些個問題，等等。

因為要證明系統走的是一個最佳路徑，如何證明？

假設系統走了另一個路徑，結果pang，所以現在這個是最佳路徑。

簡單來說，虛位移是位移的等時變分。

首先，既然是位移的變分，說明虛位移也是一種位移，也就是需要滿足位移的約束條件。

等時性，說明虛位移只要考慮當前瞬時的狀態即可，與其它時刻毫無關聯。

虛位移實際上是一種數學處理方法，與真實發生的位移無關，所以任何舉出真實位移或者說「看，這就是虛位移」的說法都是耍流氓。

虛位移的很多性質與微分一樣，引入虛位移完全是變分方法處理力學問題的一種很「物理」的手法。其實沒有這個量也可以，虛功就是功的變分，虛位移就是位移的變分，全都放在變分的體系下去做，得到的結果是一樣的。

微分引起的物理學上的一種解釋。

虛位移是一種不需要時間的位移。

假如用Ω(t)表示系統在任意時刻t的位移（真實位形或可能位形），不管該位形是怎麼來的，也不管該位形要到哪裡去，只考察在滿足約束的條件下、在位形Ω(t)附近系統還可以出現的位形Ω*(t)。顯然位形Ω*(t)是完全由約束確定的，或者說是事先存在的，只是需要花時間去發現它，因此位形Ω*(t)和位形Ω(t)是同時出現的。

虛位移就是這兩個位形中同一質點的位移矢量差，也就是說虛位移實際上是一種只滿足瞬時約束的位移。

先別管力學規律，只考慮當前瞬間狀態下質點能發生的所有可能位移