「簡併」在物理學中有怎樣的含義？這兩種「簡併」有什麼關係？

01-05

理想費米氣體中，當溫度T處於某個範圍時，每個量子態上的平均粒子數n與能級的關係如下圖：
（圖片來自趙凱華新概念熱學）
我們說這時的氣體是簡併的；

而當氣體中粒子之間的平均距離小於相互作用力程（關聯程度）時，我們也說這時氣體是簡併的。
這兩個簡併有什麼關係？

「簡併」的本意是「幾個不同態具有一樣的能量"。（為什麼要這樣定義？因為一個給定的系統，處於一個態的概率只與能量有關，與其他量無關，所以統計物理不關心其他量）

但我們知道，簡併態的數目越多，系統的量子效應（就是只能用量子力學描述、不能用經典力學描述的效應）越明顯，越「簡併」越「量子」，所以「簡併」又有了衍生義：量子效應強，只能用量子力學刻畫的系統。題中的簡併都是衍生義。

從量子力學裡的簡併態說起。簡單地說，處於同一能級的兩個不同的量子態是簡併的。線性代數學了吧？做了不少特徵值特徵向量的題吧？有些特徵值有不止一個特徵向量。可以把屬於同一個特徵值的不同特徵向量看作簡併的。舉個例子，不考慮電子自旋等精細結構的氫原子可以用三個量子數來描述：主量子數n，角動量量子數l和磁量子數m。但氫原子的能級僅由主量子數決定。當兩個氫原子的兩個量子態的n相同時，它們的能級相同，是簡併態。簡併度為n的平方，意思是這一能級中可以有 $n^2$ 個不同的量子態。這就是最開始許多回答所說的。

來看費米氣體。費米子有一個特點，就是必須遵循泡利不相容原理，這一原理禁止不同的粒子佔據同一個態。費米分布告訴我們，在溫度T時，處在能量為 $varepsilon$ 的一個態上的平均電子數為

$f=frac{1}{e^{frac{varepsilon -mu}{k T}}+1}$ 。當T=0， $varepsilon < mu_0$ 時， $f=1$ ，粒子從最低能級開始一次填充，每個能級上一個電子，排到 $mu_0$ 為止，之後就沒有了。 $mu_0$ 稱為費米能級，即題主那張圖中的 $varepsilon_F$ 。當 $T>0$ 時，費米能級附近每個能級粒子數按指數規律變化。以上全部解釋了題主那幅圖。詳細見統計物理教材。

那麼什麼是費米分布，什麼時候用費米分布呢？統計物理一般用系綜理論研究宏觀量級的粒子，但當忽略粒子間的相互作用的時候，可以用麥克斯韋-玻爾茲曼分布、費米-狄拉克分布或玻色-愛因斯坦分布三種分布描述。第一種是經典分布，後兩種是量子分布。什麼時候用經典分布，什麼時候用量子分布呢？有一個非簡併性條件（經典極限條件）：若任意能級 $varepsilon_l$ 上的粒子數均遠小於該能級的量子態數，費米分布和玻色分布就退化為玻爾茲曼分布。滿足非簡併性條件的稱為非簡併氣體，不滿足的稱為簡併氣體。

回到費米氣體，我們知道了每個能級上的粒子數，便可以求出每個粒子的動量，可以通過積分求得費米氣體的壓強，稱簡併壓： $p=frac{2}{5}(3pi^2)^{3/2}frac{hbar^2}{2m}left( frac{N}{V} ight) ^{5/3}$ 。當體積V很小的時候，簡併壓就很大了（當然此時粒子的動量已經大到必須用相對論來修正了）。這時的物質叫簡併態物質(Degenerate matter)，也叫費米氣體，簡併氣體。白矮星就是這樣的狀態。

最後，說了這麼多「簡併」，名詞使用好像很混亂。因為上面第三段里的用詞來自國內熱統教材，第四段來自Wikipedia (Degenerate matter)。題主了解上面所說的到底是什麼就行了。另外我不太贊同 @pam phy所說，量子力學的簡併和統計力學裡的簡併不同的說法。因為統計力學裡的簡併最初的概念來自於上面第一段所描述的內容，每個能級的簡併度和粒子數。

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自己最早寫的那個答案有問題，回來翻了翻書，重寫了大多數內容。

這裡的簡併不是量子力學中＂一個能量有多個對應的本徵態＂的意思，而是統計物理中的簡併．

在經典統計裏，系統的粒子數按能級的分佈滿足麥克斯韋－玻耳茲曼分佈：

$a_lambda=g_lambda mathrm e^{-alpha-etaepsilon_lambda}$

其中， $epsilon_lambda$ 表示能級， $g_lambda$ 和 $a_lambda$ 分別表示 $epsilon_lambda$ 能級上的簡併度（也就是有 $g_lambda$ 個 $epsilon_lambda$ 能級的態，是我在開頭講的量子力學中的簡併的意思，希望不要弄混）和佔據粒子數．

但是經典統計是在＂微觀粒子可分辨＂的前提下得到的，沒有考慮量子力學中的全同性原理(wiki：全同粒子)．

量子統計在重新考慮了全同性，得到了兩個新的分佈：