如何理解熱傳導方程的解?

01-05

觀察方程的解
假設φ在y的某小領域上不為0，那麼不論x離y多遠，時間多麼小，u在y領域上的值都會影響到u在x處的值，這不就是說熱傳導具有無窮的傳播速度嗎?在物理上如何調解這個矛盾?
再有，

解中t小於某個值1/4A，這怎麼解釋?物理上看系統一定可以無限演化下去的啊，為什麼沒有解了?

熱方程隱含假設，系統弛豫時間充分小，也就是說，聲速充分大。因此熱傳播的速度的確是無窮大的，它不違反經典因果律，但違反相對論性因果律；
按照你給的初始分布，系統恐怕不能一直演化下去，因為初始分布給了體系太多的熱量，這些熱量都會使得任何一點的溫度不斷升高直到發散。

修復相對論性因果律可以有很多辦法，不一定非要引入相對論協變性 —— 即使引入協變性也不一定能修復相對論性因果律 (cf. @sneak smile )，當然一個完整的相對論性理論應當可以寫成協變形式，問題是，目前缺乏一個公認的相對論性熱力學 —— 少年你可以在這方面大有作為。從物理上看，相對論性因果律破缺的原因是聲速超過光速。解決的辦法既可以引入一個有限的聲速，另一種解決的辦法是將類空區的熱傳播截斷，換句話說令引起類空區熱傳播的相互作用為零。下面略提幾個方案：

方案一：通過類比擴散方程（cf. @趙永峰、@andrew shen ），可以引入一個有限的聲速 $v_s < c$ ：

$frac{1}{v^2_s}frac{partial^2}{partial t^2}T + frac{1}{alpha}frac{partial} {partial t}T - abla^2 T = 0$

其中 $alpha = kappa/( ho C_p)$ ，這個方程叫做電報方程，一階導數項等效於阻尼項，在 $v_s o infty$ 是變成傅立葉熱傳導方程。為了保持能量守恆，需要重新定義熱流： $m q + frac{alpha}{v_s^2} partial m q/partial t = -kappa abla T$ 。但這個重新定義意味著，如果溫度隨時間改變的速度足夠快的話，熱量將會從低溫流向高溫。

方案二：上面說過，目前缺乏一個自恰的相對論性熱力學。在實踐中，處理在處理多粒子相對論性體系的非平衡演化的問題，一般採用 Boltzmann方程（或其各種近似）。波爾茲曼方程中的變數都是力學量，能夠很方便的改寫成相對論協變的形式。非相對論版本的波爾茲曼方程為，

$frac{partial }{partial t}f + m v cdot abla f = int d^3v$

右手邊的表達式叫做（兩體）碰撞積分項，其中 $w(m v$ 與兩體碰撞微分散射截面有關， $f = f(m r, m v, t)$ 是粒子的分布函數，例如在平衡分布時取波爾茲曼分布： $f_0(m r, m v, t) propto expBig( -frac{varepsilon_{m v}}{kT}Big)$ ，

溫度可以近似定義為 $1/T approx - k partial f(m r, m v, t)/partial varepsilon_{m v}Big|_{m v=0}$ 。

為了修復相對論性因果律，可以令分布函數在超過某一速度時截斷，使用相對論性碰撞積分項，使得兩體微分散射截面 $w$ 在類空區為0，具體可參看朗道卷十。

方案三：如果輸運過程比體系偏離平衡態的影響較小，還可以使用對熱傳輸使用線性響應理論（一階微擾論）。根據格林－久保公式（這裡寫下的是量子理論，經典理論亦類似），

$kappa(t-t$ _{P,T} ; a,b = 1,2,3" eeimg="1">

這樣以來，

$T(t, m x) = T(0, m x) + int_{0}^infty dt$ ，

其中 $alpha(t) = kappa(t)/( ho C_p)$ 。若 $kappa(t)$ 不隨時間改變，兩邊對時間求導可以得到傅立葉熱傳導方程。為了修復相對論性因果律（ $Theta$ 函數已經保持了經典物理的因果律），可以令在相對論性「類空區域」流流關聯函數消失： $left<[q_a(t,x), q_b(t$ = 0" eeimg="1"> 。當然一般情況下，流流關聯函數需要具體建模進行計算，而且 $kappa$ 一般也是溫度 $T$ 的函數。

線性響應理論允許使用相對論性動力學理論：相對論動力學或量子場論 —— 後者一般叫做有限溫量子場論（cf. @sneak smile ）。一般而言，對於強關聯體系，Boltzmann 方程的計算量最小，經典線性響應理論（用分子動力學模擬）次之，量子線性響應理論（做量子分子動力學模擬）再次之，有限溫量子場論（做格點量子場論外加解析延拓）計算量最大。微擾論倒是都可以做。

補充一個角度。雖然題目是熱傳導方程，但這個方程和擴散方程是一致的，所以我們這裡轉而考慮擴散方程。其實我們可以從微觀機制出發來推導和理解擴散方程。

我們知道擴散可以用隨機行走的模型來模擬，其實，擴散方程也可以視作如此推導出來的。考慮一個在格點上的隨機行走，是一個馬爾科夫鏈。如果空間格子的長是 $delta l$ 而時間步長是 $delta t$ ，每個時間步粒子跳到其他格子的概率是 $a$ ，那麼粒子在空間任一個格子上的概率滿足：

$P(x,t+delta t)=aP(x+delta l,t)+aP(x-delta l,t)+(1-2a)P(x,t)$

如果極限

$lim_{delta t o 0, delta l o 0}frac{adelta l^2}{delta t}=D$

存在，那麼將格子和時間步長趨近於0，這個方程應當趨近於連續的隨機行走，得到的Fokker-Planck方程正是擴散方程：

$frac{partial P(x,t)}{partial t}=frac{partial^2}{partial x^2}left(DP(x,t) ight)$

但是，注意到 $delta l/delta t$ 相當於粒子的速度， $delta l^2/delta t$ 的極限存在意味著 $delta l/delta t$ 趨近於無窮，即粒子的速度被假定趨近於無窮了。所以，從根本上講這個方程就是非相對論性的。

那麼考慮粒子速度有限的方程有沒有呢？當然是有的，只要能構造出適當的微觀過程。一般情況下應當對粒子的速度/動量取一個分布，然後寫出主方程。一個特別的情況是粒子速度固定，只是隨機轉向。這個主方程並不難寫，結果是（ $Omega$ 是立體角， $lambda$ 是轉向的概率）

$frac{partial P(m{r},m{v},t)}{partial t}= ablacdot(m{v} P(m{r},m{v},t))-lambda P(m{r},m{v},t)+frac{lambda}{Omega}int P(m{r},m{v$

當然，密度應當是概率分布對所有速度方向進行平均

$ho(m{r},t)=int P(m{r},m{v$

密度滿足的方程沒有直接的形式。如果我們只關心長時間的近似，倒是可以得到一個近似方程（ $n$ 是空間維數）：

$frac{partial ho}{partial t}= ablaleft(frac{v abla(v ho)}{na} ight)$

其實和擴散方程還蠻像的。其實這兩個方程，也正是描述細菌遊動及化學趨向性的方程。順帶一提，密度滿足的精確方程雖然難以找到，但是如果對空間做了傅里葉變換並對時間做拉普拉斯變換，密度的精確解是可以直接得到的。有興趣可以推推看哦，3維空間中的答案是

$ho(m{k},s)=frac{arctanfrac{kv}{lambda+s}}{kv-lambdaarctanfrac{kv}{lambda+s}}$

還有一些其他的模型，更精細地考慮轉向的correlation之類的。比如如果粒子轉向不是完全隨機的，而是與它之前的方向有關，有一個關聯隨機遊走模型會給出含對時間二次導數的telegraph方程（電報方程？）：

$frac{partial^2 ho}{partial t^2}+2lambdafrac{partial ho}{partial t}=v^2frac{partial^2 ho}{partial x^2}$

這個方程中速度也是固定的。

第二個問題已經很多人解釋過了，這裡只回答第一個。

其實這個問題包含兩個部分，第一個是方程的洛侖茲不變性，第二個是因果性。

首先熱傳導方程其實很容易寫成洛侖茲不變的形式。使用本徵時間 $au$ 和projection operator （u是介質的四維速度） $P_{alphaeta} = u_{alpha}u_{eta} - eta_{alphaeta}u^2$ , 熱傳導方程可以變成

$frac{partial T}{partial au} + kappa partial_{alpha} (P^{alphaeta} partial_{eta}T) = 0$

很顯然，這個公式是Lorentz不變的。而且在靜止介質的情況下，這個方程同經典熱傳導方程是一致的。事實上，熱傳導方程甚至可以寫成GR不變的形式。

但是很不幸，這個方程並不保證因果性。事實上，對於任何帶質量的相對論場方程，無論是Klein-Gordon還是Dirac方程，因果性都是有問題的。也就是說，對於一個 $t=t_0$ 時刻局域的擾動，相對論場方程的解在 $t=t_0^+$ 時刻，任何位置都不再為零。為了解決這個問題，必須進行二次量子化，將場理解成算符，而因果性意味著兩個類空間隔時空點的場算符對易或者反對易。

熱傳導方程是有這個問題. 這說明熱傳導方程只是一個非相對論性的近似方程.

從物理上看, 熱傳導方程是通過 Fourier 熱傳導定律得到的. 該定律只適用於溫度分布不變的穩定系統或者溫度變化較慢的系統, 因此得出的熱傳導方程也不適用於溫度變化過快的過程. 但通常來說我們的溫度變化都沒有那麼快的, 溫度變化隨著距離指數衰減, 這個熱傳導方程基本上適用.

為了解決這個問題, 最簡單的修改方法就是將熱傳導方程改成: $varepsilonfrac{partial^2 u}{partial t^2}+frac{partial u}{partial t}-kappafrac{partial^2 u}{partial x^2}=0$ , 其中 $varepsilon>0$ . 這個 $varepsilon$ 保證了熱傳導的速度有限, 體現了帶有阻尼的波動現象. 當然, 如果這種 ad hoc 的方法不能令你滿意, 可以寫一個相對論性的熱傳導方程, 比如參考: http://www.manufacturing.unsw.edu.au/sites/default/files/relativistic_heat_conduction.pdf

其實我想告訴題主一件更有意思的事情. 對於熱傳導方程 $frac{partial u}{partial t}-kappafrac{partial^2 u}{partial x^2}=0$ , 如果我們將 $kappa o ikappa$ , 那麼熱傳導方程就變成了一個非相對論量子力學中的單粒子的 Schrodinger 方程: $frac{partial u}{partial t}-ikappafrac{partial^2 u}{partial x^2}=0$ . 因此, 題主的觀察也表明了: 如果我們在空間中一點對波函數做一個擾動, 那麼按照 Schrodinger 方程, 這個擾動造成的影響在空間中傳播的速度是無窮大! 這也直接和相對論相違背. 因此 Schrodinger 方程也只是描述低速物理的一個近似方程. 後來人們發展出了 Klein-Gordon 方程和 Dirac 方程等相對論性的方程[1], 來解決 Schrodinger 方程的這個問題.

題主的第二個問題我沒有仔細看. 但你的初始條件在無窮遠處是發散的, 本來就不物理. 這樣一個初始條件得到非物理的解也是很正常的.

[1] 有意思的是, Schrodinger 最早寫出的實際上相對論性的 Klein-Gordon 方程. 但這個方程有負能解的問題, 他以為他搞錯了. 最後他又寫出了一個非相對論性方程, 也就是現在熟知的 Schrodinger 方程. 後來 Schrodinger 最初寫出的相對論性方程被 Klein 和 Gordon 再次提出. 他們通過重新詮釋這個方程, 解決了負能解的問題.

前面的人也說了，熱傳導方程亦或是薛定諤方程，本身就不是洛倫茲協變的，所以能得出比光速快並不奇怪，也不會出現什麼矛盾，就像是牛頓運動方程本來就沒有極限速度的限制。這是方程本身就是一個近似的原因。

洛倫茲協變的薛定諤方程按照自旋的來分，有 KG方程，Dirac方程。

補充一下第二個問題。

從數學上看，有定理說（可以參看Evans的PDE），初始條件滿足 $varphi in C(mathbb{R}) cap L^{infty}(mathbb{R})$ ，即連續有界函數時，能保證這個方程解的全局存在性。如果不加上這個限制，就不一定能得到這樣的結論了。

數學上討論偏微分方程解的適定性時，選取適當的函數空間是非常重要的，並非隨意給個初值就能討論適定性。

所以給定這樣的初值下，方程的解沒有全局存在性這件事情，從數學上看也就不奇怪了。

通過看以上的討論，感覺愛因斯坦的相對論，把人都帶到了溝里，也就是說，無論擴散方程還是薛定諤方程，速度超光速是正常的，為什麼害怕速度超光速？就是因為愛因斯坦規定物質的最大速度是光速？不要忘了，除了物質，宇宙間還有非物質的東西，而非物質的東西可以超光速。從這個意義上講，愛因斯坦也沒有錯，就是物質世界的最高速度是光速。

我們現在知道了，除了物質，還有暗物質和暗能量，而按照時空階梯理論，暗物質就是中醫講的氣，而暗能量就是神時空、虛時空和道時空，其中道時空的速度是光速的10的19次方，

這個速度，可以說是無窮大，因為以這個速度為基礎，一個普朗克長度的波弦，在百萬分之一秒，可以形成整個宇宙。這個速度，說明在一秒內，這個波弦已經在整個宇宙內跑了一百萬遍，或者說已經翻新了整個宇宙一百萬遍。假如這個速度降到零，整個宇宙就剩下一個普朗克長度的波弦。佛教說的一切皆空在這裡得到體現，整個宇宙，包括太陽，地球，人類和花草，就在這個波弦停止運動的時候全部消失，只剩下一個孤零零的普朗克長度的波弦。這裡說的不是宇宙的演化，只是說明這個速度的威力。有了這個速度的對照，我們不難理解，道時空的傳播速度。

愛因斯坦是非常偉大，但是他的相對論思想禁錮了很多人的思想，似乎也是一種瑕疵。在當時就禁錮了德布羅意的思想，要不然，德布羅意的相速度的發展，就可以形而上時空的基礎，從而可以發現暗能量是什麼，不至於到了現在還不知道暗能量是什麼。時空階梯理論就是發展了德布羅意的相速度和群速度的思想，從而建立起形而上和形而下時空階梯，而暗能量就在形而上時空的神時空、虛時空和道時空中。其中，量子糾纏的天空就是形而上時空，而形而上時空的最高時空是道時空，而道時空的速度是光速的10的19次方，這個速度，就是量子糾纏的速度，所以，看起來量子糾纏的速度是即時發生的，似乎沒有任何延遲。這個當然沒有任何延遲，因為這個速度在整個宇宙內，百萬分之一秒，就每一個角落跑了一遍，何況兩個粒子之間的量子糾纏。

其實，薛定諤方程，按照時空階梯理論解讀，波函數就是形而上時空，速度當然超光速，為什麼薛定諤的粒子解的速度低於光速？因為那是群速度，對應的相速度就是超光速。過去把相速度貶低到虛無之中，而當時，對於虛無一無所知，所以，直到現在，才知道虛無就是形而上時空，就是超光速時空。