x趨於0時，極限(x-sin(sin(x))/(sin(x)^3)到底是1/3還是1/6？

01-05

根據等價無窮小可以寫為(x-sin(x))/x^3的形式，兩次洛必達後得1/6。
可是在電腦上繪製圖像卻顯示為1/3？

$frac{x-sin(sin x)}{x^3}=frac{1-cos x cos(sin x)}{3x^2}=frac{sin xcos(sin x)+cos^2 xsin(sin x)}{6x}$

$frac{cos xcos(sin x)-sin x cos xsin(sin x)+cos^3 xcos(sin x)-2sin xcos xsin(sin x) }{6}$

$=frac{1}{3}$

不要總亂用等價無窮小

尤其有加減的情況下

等價無窮小的本質是泰勒公式，但並沒啥卵用（所以我的微積分課上老師並沒有介紹這個概念）

根據泰勒公式有

$sin x=x-frac{1}{6}x^3+o(x^3)$

也可以寫成

$x=sin x+frac{1}{6}x^3+o(x^3)$

立即得到

$dfrac{x-sin(sin x) }{(sin x)^3}=dfrac{ sin x+dfrac{1}{6}x^3 +o(x^3)-Big(sin x-dfrac{1}{6}(sin x)^3+oig((sin x)^3ig)Big) }{(sin x)^3}\ =frac{1}{6}dfrac{x^3+(sin x)^3+o(x^3)+oig((sin x)^3ig)}{(sin x)^3}=frac{1}{3}$

（忘記加極限號了哈哈）

同學你是學物理的么（逃

雖然我是數學系學生，但張宇老師的一sin（）有的時候真的好用

原式=（x-sinx）/（sinx）^3+（（sinx-sin（sinx）））/（sinx）^3=1/6+1/6=1/3

等價無窮小只能用在乘除的式子上

不能用於加減啊所以分子不能替換吧......

大一萌新

令t=sinx→0(x→0),原式可化為lim(t→0)(arcsint-sint)/t^3,對分子使用泰勒展開，得最後結果為1/3