學了數分以後感覺物理中功的定義不嚴謹？

01-05

功的定義是在直線、力恆定的情況下，那麼為何可以將微積分W=∫ F·S引入呢？
數學分析中曲線的長度是折線長度和的極限而來的，但物理中的功卻沒有類似定義，那麼為什麼我們認為這是合理的呢？在這中間試驗有起到什麼作用嗎？

你應該想想我們為什麼需要定義一個功。知道了這一點就應該會明白必須用第二型曲線積分來定義功。

首先你要從牛頓第二定律出發：

$mm{a}=m{F}$ ,

這是個2階常微分方程對吧。現在我們想要在不知道力的具體信息的條件下對這個方程進行一次積分，因為：

$frac{mathrm{d}(m{v}cdotm{v})}{mathrm{d}t}=2m{v}cdotm{a}$

那麼，我們在方程兩端乘以質量，考慮牛頓第二定律，方程就會變為：

$frac{1}{2}mfrac{mathrm{d}(m{v}cdotm{v})}{mathrm{d}t}=m{F}cdotm{v}=m{F}cdotfrac{mathrm{d}m{x}}{mathrm{d}t}$

你看，現在可以對時間積分了，於是才有：

$frac{1}{2}mv(t)^2-frac{1}{2}mv(0)^2=intm{F}cdotfrac{mathrm{d}m{x}}{mathrm{d}t},mathrm{d}t=intm{F}cdotmathrm{d}m{x}$

所以右邊那個才叫做功。

P.S.我怎麼記得我好像已經答過2道這種題了……

P.S.對我果然答過一個給高中生看的版本……物理的功為什麼用力和位移的乘積來表達？

謝邀。

我不肯定我真的明白你的困惑，但我試著解答吧。

是的，在力恆定和平移直線的情況下，功的確可從這公式求出： $W = mathbf{F} cdot mathbf{s}$ 。這是物理學家最初定義的。

當然，這概念很容易明白，但卻不一定實用，這個世界大部分的情況下力都不是恆定的，而物體的平移也很多時不是直線（如圓周運動（circular motion）、拋物運動（projectile motion）等），所以一個更廣泛的定義是必要的，所以我們便引入微積分。假定在無限少的平移下，物體所做的功為 $dW = mathbf{F}(mathbf{s}) cdot dmathbf{s}$ ，加上積分便可得你所提到的公式，這個更廣泛的公式，也可還原於第一個力恆定和平移直線情況下的公式。這也許就是你所說的更「嚴謹」的定義。

物理理論體系的建立通常由簡單開始，最初物理學定真的只會 $W = mathbf{F} cdot mathbf{s}$ 。但隨著物理學家做了更多實驗、懂得更多數學，才開始把理論推廣、把數學的定義做得更嚴謹。好像愛因斯坦那種先有理論才用實驗証明的那種物理理論的建構次序實是罕見。

不知道樓主什麼專業，可否透露一下？

好，正經一點。沒人說功一定要是求直線和恆力啊。元功是瞬時力與微小位移的標準內積。然後再將這個內積求和。最後就得到了整個過程中的功了。如果你非要從黎曼積分的角度嚴格來看，好吧，它就是第二型曲線積分。

$dW = F cdot ds$

F 和 ds 都是矢量

學了微積分，重要的是有微的概念，之後才有積合和計算。如果沒有這個概念，之後再學物理方面的知識都很難理解。

無論固體，流體，軟組織，連續不連續體……性質都一樣，單元微體如何，受力如何，功就是從受到作用產生形變或體變來定義，你舉的式子不過是計算成式而已，又不是定義。而且，我會覺得能量的概念才是最重要的。

另，數學分析好似更重概念分析和定理證明理解，現在好多專業已經改高數了。我會認為高數更傾向計算，而數分更重概念定義。從你舉例的來看，依舊停留在計算上呀。工科的話就算了，理科的話，認真看懂數學中的定義把……一通百通的。

呱呱，祝你學變分的時候順利……

畢竟，數學跟物理是不一樣的，我們數學老師啊，天天說人家物理要求就不這麼高，只要研究一點最簡單的情況就好了．我們物理老師啊，天天說你們數學系的能看懂嗎，你們要是想要公式的話我可以給你們寫一黑板，但是沒必要，對吧．

但是我最喜歡的是一歷史老師說的話：哎呀跟你們這些學理科的交流就是費勁，總覺得人家是偽科學．嗯，什麼是偽科學呢，就是老師講一個社會規律的時候，一物理的孩子站起來跟老師辯了半節課：要是＊＊情況呢，老師你這個沒有包含那個情況啊．

嗯大概就是這樣．

題主應該去翻翻物理系的物理書。

你應該看大學物理書。

功的定義是在直線、力恆定的情況下：這指的是力與位移之間沒有夾角，是高中階段的簡單定義，微積分的引入應該是力是變化的，物體做曲線運動時的計算方法。

學完概率論，近世代數，複變函數，實變函數，模糊數學等等，你就沒這麼多不合理了。大四學姐共勉

因為物理在先，數學在後……特別是過去，很多物理學家實驗出一個東西來其實不知道數學上怎麼解釋，這時候就需要數學家各種試，最後整出一個合理的公式來……