如何重新學習數學?

01-05

我是一名開發者，25歲，目前對自己的數學底子很不滿意。初中高中大學時期都是一路及格過來的。現在發現自己的數學底子可能會成為我代碼生涯的瓶頸。現在的問題是如何系統的去重新建立自己的數學思維？我還需要閱讀什麼樣的書籍？

Mathematics | MIT OpenCourseWare 大概是最好的資源，尤其是「課程編號 + SC」的四門：

* 18.01SC Single Variable Calculus (Fall 2010)

* 18.02SC Multivariable Calculus (Fall 2010)

* 18.03SC Differential Equations (Fall 2011)

* 18.06SC Linear Algebra (Fall 2011)

不過數學系沒有提供概率課的視頻課程，可以用電子工程與計算機科學學院的 6.041SC 代替。

其他的課程可以按需要自己學習。

MIT OpenCourseware 的課程都是全英的（18.06SC 可能是例外，有國語的 Recitation）。在線視頻則都掛在 YouTube 上，牆內請自備梯子。記得若干年前有字幕組做過，不知道有沒有做全，有需要的話也可以自己去搜一搜。

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引用一段 Linear Algebra Done Right 序言的一段話與大家共勉：

You cannot read mathematics the way you read a novel. If you zip through a
page in less than an hour, you are probably going too fast. When you encounter
the phrase 「as you should verify」, you should indeed do the verification, which
will usually require some writing on your part. When steps are left out, you
need to supply the missing pieces. You should ponder and internalize each
definition. For each theorem, you should seek examples to show why each
hypothesis is necessary. Discussions with other students should help.

PS. 如果你也在自學 LADR 3rd，可以對照 http://linearalgebras.com/ 的答案自查。

PSS. 如果你也在搞機器學習，這個答案下的打怪路線也非常好：大四年級，完全沒接觸過高數，目前對機器學習產生濃厚興趣，該如何學習數學？ - 知乎用戶的回答 - 知乎

翻譯自Quora:I want to re-learn mathematics from the ground up. What is the best way to do it?

Answer from David Joyce, Professor of Mathematics at Clark University

具體的話要看你的個人背景來定,如果你對基礎代數已經很生疏了,那建議是你需要從基礎代數開始學起.學會基礎代數對於學習任何其他的數學分支來說都是必要的.
學完了基礎代數後,數學開始劃分出不同分支,不過這些分支仍是相互聯繫的.學習數學沒有什麼固定特別的學習順序,不過在你學習一門新知識時它可能會依賴於其他的幾門知識.你可以採取不同的順序來學習.

幾何(Geometry)

你可能在學習基礎代數時已經見過一些幾何的例子了,比如像解析幾何,三角學和一些平面幾何知識像相識三角和勾股定理等.

離散數學和組合數學(Discrete mathematics and combinatorics)

該分支來源於簡單的基礎原理:計數原理,組合與排列.你可以從這些基礎開始學習.該領域有非常多高級內容,但同時它的基礎內容也是非常實用和隨處可見的.

邏輯證明和形式數學(Logic, proofs, and formal mathematics)

如果你真的想深入學習數學,那麼你需要學習邏輯學.邏輯學是數學領域中的重要內容.很多人視學習邏輯與學習走路一樣基礎和重要.你若想要自學邏輯學的話開始時可能會覺得有點困難.形式數學通常研究定義,公理,定理和證明,它在所有的數學分支中均有體現,它是數學真正的面貌.

數學分析(Analysis, starting with calculus)

該分支研究的是連續變化的過程和其變化率.請留心學習微積分的基礎:極限,這是理解其他所有分析學內容的關鍵基礎.在學完單變數微積分後你將會繼續學習到多變數微積分,實分析,測度論和複分析等.這些知識與高級幾何內容,微分幾何都有聯繫.

概率與統計(Probability and statistics)

基礎的概率概念可以提前學習,它並不依賴於高級的代數和組合數學知識.不過需要微積分的知識來學習連續概率分布,學習這些知識都非常的重要.接下來你可以開始學習統計學了,不過這裡你將需要一些線性代數的知識(參見下面)來做回歸分析.

線性代數和抽象代數(Linear algebra and modern algebra)

符號代數起源和發展於16世紀的代數學,經歷了4個多世紀的發展.代數現是非常實用的一門學科.線性代數是通過代數方法研究高維度空間的,同時在處理多變數微積分中也非常實用.抽象代數包含了群,域和其他的一些代數結構.它們被廣泛運用於處理高等分析,幾何,數論問題中.

數論和代數幾何(Number theory and algebraic geometry)

你可以在任何時間開始學習基礎的數論知識,不過繼續學習的話難度會上升地非常迅速.你可以邊學群論邊邊學數論並把學到的知識運用到數論中去.同樣地學習數論有時會引出一些抽象代數的內容,比如環.代數幾何研究的是曲線曲面和由多項式方程給出的高維代數簇.該領域研究通常使用投影幾何的工具(這是一個相當有趣的內容,你在學習代數幾何的同時可以一邊學習它)

拓撲和代數拓撲(Topology and algebraic topology)

拓撲研究的是抽象的的空間和連續函數.它是去掉了除鄰近與位置模式外其他幾何性質的幾何.代數拓撲藉助代數工具來檢驗考察拓撲空間的性質.拓撲和代數拓撲的知識在很多的分析與代數領域中都非常有用.

許許多多的其他分支

數學還包含了非常多的其他內容,正如上面所提到的數學分支,它們在相當多的領域中相互關聯.數學已被運用到所有的科學,工程,經濟領域中了.你會發現許多非常有趣的數學內容來源於不同的領域,這不僅僅是因為各個數學分支緊密相連,而是所有的這些學科都是相連的.

若有什麼問題請指出告訴我一下啦,我馬上改(°?°)? 那麼謝謝大家能看到這裡.

先做高考題和微積分練練手，如果75分以上就不必浪費時間了。好好學離散數學或別的需要的就行了。

什麼是數學 (豆瓣)

《什麼是數學》既是為初學者也是為專家，既是為學生也是為教師，既是為哲學家也是為工程師而寫的。它是一本世界著名的數學科普讀物。書中搜集了許多經典的數學珍品，給出了數學世界的一組有趣的、深入淺出的圖畫，對整個數學領域中的基本概念與方法，做了精深而生動的闡述。

需要一定基礎。。。覺得有難度的話，就看 @曹夢迪的答案吧。。。

你需要做的，就是踏實下來，看一本書，做習題。

實在是不行，你可以抄書，抄寫書上的證明。

只有做到透徹理解了一本書，你才會真的學會後面的大量的內容。

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日本第一個菲爾茲獎小平邦彥，你知道他怎麼學的數學么，他開始也是一片茫然，後來奇葩到抄書。。。抄定理，抄證明。他大學時抄過整本Van de Warden的代數，終於學會了抽象代數。天才尚且如此，何況凡人。

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小平邦彥是第二次世界大戰末、日本快戰敗時才出道的數學家。他在日本本土逐漸化成焦土, 人在半飢餓狀態下, 並在長子瀕死的病床邊完成的論文「Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized
theory)」輾轉央托美國駐日軍人帶到美國後得到發表的機會, 因而得到Hermann
Weyl 的賞識, 邀請他到Princeton 高等研究所當臨時研究員。在那頂尖的數學家聚集的地方他得以伸展他的才能, 在1954年獲得相當於數學Nobel 獎的Fields 獎, 為東方人得此獎的第一人。

遊裡工夫獨造微(注1)一一小平邦彥傳------顏一清

2012.12.04

如何獲得數學的感知力，確實不是能教就懂的（只可意會，

，因此也難以踐行。我不清楚你奮戰數學時的感受。但總而言之，有些方面你可以想

1. 從基礎證起，明晰直覺

沒有「顯而易見」的東西。

證明正式到一個極致，確信每一步的推理緊接著之前的步驟、定義、或定理。花一些時間證明「最最基礎」的屬性，僅僅基於定義。而且，問問你自己哪樣東西滿足某些屬性、

如，理解「完備度量空間」時，想出一個「典型的」完備度量空間示例、

間示例，還有各一個「退化的」示例。

離散度量是完備的（你若懂度量空間，可能想證

，卻實在不匹配我們的「一個完備度量空間『應該』怎樣」直覺。關於這一點，試著理解什麼是洞悉一種屬性或一樣物體的直覺，例如，一個群是配備了一種運算的一個集合，這個定義有什么「用意」？也試著留心直覺從何處偏離數學，例如，我們喜歡幾何地想像拓撲空間，卻還有些相當非幾何的拓撲空間。

述清不言而喻的東西。

2. 盡量重寫、

盡量以多樣的方式重寫同樣的東西。

，如果問題關於一個正規子群，你該想出所有正規性的特徵：它是同態的核；它在共軛下不變（等價於它的左陪集與右陪集相同）

在N的同一陪集內，則a-b在N內。

重寫你關注的任何東西，重構以其他東西。開集的補是閉集，閉集的補是開集，連通空間有適當（非空）的閉開集。g在群G的中心，意指對任意h，都有gh=hg。

3. 證明合理嗎？有無反例？

寫下證明後，確保它看上去合理。

直覺嗎？如果不，想想為什麼。若問題出在你的直覺，試著想清楚你把什麼想當然了，做好筆記，記住它。順著論證的邏輯結構，隨便舉個簡單例子，會不會就成為你想證明的「定理」的反例？每一步都緊隨上一步？你確定？（我有位朋友，他這個學期寫了三、

據這些檢查而都意識到錯，雖然我通常不得不為他挑出有謬誤的步驟。

學會找反例。

看向它結構里一些基礎的實例。命題的陳述對它們成立嗎？如果成立，你能看出哪些屬性讓它成立嗎？如果能，試著想出一個沒這些屬性的例子。命題的陳述現在還成立嗎？重複上述步驟（ri nse and repeat）。

4. 當心你的假設，重寫它

證明時留意你用過假設的地方。

重寫你的假設。

。重寫它們，換一種定義，令每個用詞、

讓你不舒服。

5. 多問傻問題

自問傻問題，再自答它們。

？一個多項式為什麼是連續的？整數集Z是阿貝爾群嗎？有限生成群呢？Zn又如何？「阿貝爾」到底是什麼意思？

別怕問別人一些傻問題。

6. 放鬆片刻，孕育直覺

當你枯坐數小時仍無從下手時，別沮喪，讓思維的齒輪持續磨合。

搖滾。重寫那些假設。試著做點啥。

卡殼、思緒陷於困境時，想想為什麼此路不通。它究竟會引你到哪裡？

別怕花上一兩個小時做別的事情、再回來鑽

這些時候往往催生一些最棒的直覺：去沏些茶，讀本書，看場電影，陪朋友喝咖啡，做點啥。然後回來再繼續鑽研。有時候你的心很難再回到解題上：重做一些更簡單的問題，但試著換上不同的詞句、或換上更乾淨的論證。

7. 解決更簡單或更一般的問題

尋找聯繫。

解決更簡單的問題。

嗎？不！從一個點分離一個緊集。你能再運用相同的論證嗎？類似的論證適合兩個一般的集合嗎

解決更一般的問題。

所有具備某形式的數字都被3整除，再說n具備

望以上所述能助你多思。對了，不要低估解題技巧的重要性。

里確實有必要。

_________________good luck___________________

教科書＋課外練習冊

Coursera.org這門課就叫數學思維，材料不難，但是嚴謹，如果你真的想建立數學家式的數學思維的話。但我估計題主可能更適合去刷一下《具體數學》。另外MIT OCW上有給計算機的離散數學，視頻和材料都齊全。

看到「系統」我才回答這個問題的。我是一名高中生。高一的時候很有幸了解到了薩爾曼.可汗。—— 一個拯救我數學和鞏固英語辭彙的teacher.他是可汗學院(一家利用網路影片進行免費授課的教育性非營利組織)的創始人。最開始主要教授的內容主體是數學。現在由於志願者的加入已經包含了很多其他科目。教授的內容全面。包含初等數學和高等數學(符合題主要求)。

另：很想再全面介紹（補充：可維基百科）和發一些個人感慨，但礙於時間緊，就只簡要的說一下自己的一些主觀感受，抱歉：知識系統、體系全面而具有連貫性、語言風格幽默，親切、網站的交互設計極為友好。

在數學學習過程中，我們經常會聽到這樣的聲音：「為什麼數學課都能聽的懂，題目就是不會做」、「很多題目為什麼聽別人一點撥，自己就會了」。上述這些情況是目前數學學習過程中普遍存在的一個問題。

很多人認為數學只要題做得越多，分數自然就越高。其實這是一個很大誤區，在這個誤區影響下很多學生數學學習學的很累，成績不見漲，花了大量精力和時間。數學學習需要合適的學習策略+恰當的學習方法+一定題目訓練，才能讓數學成績顯著提高。

一般情況下只要熟練掌握書本上所有基礎知識內容，考到60分都不難，但考高分需要在熟練掌握書本里所有知識內容基礎上，並學會運用，同時更要學會數學思想的運用，如數形結合、分類討論、方程思想等。

掌握數學公式不難，但運用數學公式卻很難。很多人學習數學只知道做題、刷題，從不講究方法，這樣當然提分難。數學成績上不去，我們一定要儘快分析。
http://cloud.189.cn/t/UFr2ArVvI7Zz數學公式大全

學數學需要很強的專註力，離散數學和線性代數都很簡單，很好學，個人認為努力學好高數很有必要。

學好高數的前提是高中有良好的數學基礎，所以如果真的很想學好數學，建立數學基礎。

第一步：重新拿起高中的數學課本吧。每章好好理解，好好做課後習題。第二步就可以開始溫習高數了。之後離散數學和線性代數就顯的很簡單。

當然，如有心，可以去圖書館看看相關的數學書籍，會發現很有意思。有助於提升集中力和邏輯能力

想太多了，絕大多數開發者是到不了這個瓶頸的…

也有類似困惑～尤其是面對演算法……我想看看外國如何教授邏輯思維

看書 + 做題，缺一不可

別在這問看什麼書

題主頭腦一熱問出這麼空泛的問題，首先問題描述就大而不當很多想當然(YY)的成分，怎麼會引出有效高質量的答案嘛

買本考研數學一做做，這比較實在

這要看題主想學哪一方面的數學啊，其實有些東西光講是沒有用的，lz可以自己先拿本給數學系的人看的書感覺一下，看不懂也要硬者頭皮一段時間，漸漸就明白數學是個啥東西了