為什麼一個數的零次冪等於1？

01-05

$5$ 的 $0$ 次方表示 $5^{1-1}=5div 5=1$ ，這種演算法我是知道的。但為什麼 $5$ 的 $0$ 次方，表示 $0$ 個 $5$ 相乘，而 $0$ 個 $5$ 相乘不是等於 $0$ 嗎？」這種表達錯在哪？

簡單理解就是5^0=5^(a-a)=5^a/5^a=1

上面說了這麼多。沒學代數的人來用「群環域」解釋一下的？

a^0=1才能滿足群的要求啊。

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看了題干。

0個5相乘再乘2個5相乘 = 25.

2個5相乘 = 25.

所以0個5相乘必須定義為1了。

其實我想對於 $x ^y$ 形式的冪函數用 $e^{ylnx}$ 來定義的話不是很清楚了么，用這個定義還可以解釋為什麼0的0次冪無法定義的問題，因為這就相當於 $f(x,y)=e^{ylnx}$ 這個二元函數在0點的連續性問題罷了

因為定義啊

我們看如何來定義實數的指數運算，首先從自然數開始

定義1(實數的自然數次冪) 設 $x$ 實數，為使 $x$ 升到 $0$ 次冪，我們定義 $x^0:=1$ ，現遞歸地假設若 $x^n$ 對於某自然數 $n$ 已定義，則我們定義 $x^{n+1}:=x^n imes x$

由定義可知，對於任何實數 $x$ 有 $x^0=1$ 。

定義2(實數的整數次冪) 設 $x$ 是不為零的實數，那麼對於任何的負整數 $-n$ ，我們定義 $x^{-n}:=frac{1}{x^n}$

現在我們考慮非整數次冪運算，我們從 $n$ 次根的概念開始

定義3 設 $x>0$ 是正的實數，並設 $ngeq1$ 是正的整數，我們定義 $x^{frac{1}{n} }$ ，叫做 $x$ 的 $n$ 次根為 $x^{frac{1}{n}}:=sup$ { $yin mathbb{R}:ygeq 0 ext{且}y^nleq x$ }

我們常把 $x^{frac{1}{2} }$ 記作 $sqrt{x}$

注意，我們沒有定義零的 $n$ 次根，也沒有定義負數的 $n$ 次根，我們就此止步。在我們定義複數之後，就可以定義這些根了。

$n$ 次根是存在的，並且還有下面性質

設 $x,y>0$ 是正的實數，並設 $ngeq 1$ 是正的整數

如果 $y=x^{frac{1}{n}}$ ，那麼 $y^n=x$
反之，如果 $y^n=x$ ，那麼 $y=x^{frac{1}{n} }$
$x^{frac{1}{n}}$ 是正的實數

現在我們來定義如何把一個正數升到比例數 $q$ 次冪

定義4 設 $x>0$ 是正的實數，並設 $q$ 是比例數，為定義 $x^q$ ，我們把 $q$ 寫成某整數 $a$ 與某正整數 $b$ 的比， $q=frac{a}{b}$ ，並定義
$x^q:=(x^{frac{1}{b}})^a$

注意，每個比例數不管是正的，負的，還是零，都可以寫成 $frac{a}{b}$ 的形狀，其中是 $a$ 整數，是 $b$ 正整數

最後我們來定義實指數的指數運算

定義5(實指數的指數運算) 設 $x>0$ 是實數，並設 $alpha$ 是實數，我們定義 $x^alpha$ 為 $(x^{q_n})_{n=1}^{infty}$ 的極限，其中 $(q_n)_{n=1}^{infty}$ 是任何收斂到 $alpha$ 的比例數序列，即
$x^alpha :=lim_{n ightarrow infty}{x^{q_n}}$

這一定義是良定義(well-defined)，實指數的指數運算有如下性質

設 $x>0$ 是正的實數，設 $q,r$ 是實數

$x^q$ 是正的實數
$x^{q+r}=x^qx^r$ ，並且 $(x^q)^r=x^{qr}$

$x^{-q}=frac{1}{x^q}$

你可以這樣理解5的2次方，是5*5*1，同理5的0次方，就是1

看到這個遠古問題，隨手吐個槽……

也許以後編程普及到小學了，這種問題就不太會出現了。因為當一個編程新手試圖寫一個計算a^b的函數的時候，他寫出來的肯定是這個樣子——

int pow(int a, int b) { int r = 1; for (int i = 0; i &< b; ++i) r *= a; return r; }

這種計算方式會構成那個年代的每個小朋友對指數的第一印象，然後，也許這個問題就解決了……吧？

我是學渣，發表一下個人的理解，等大神指正。

對於不同類型的數的冪，是用不同的方式定義的。

「A的B次方就意味著B個A相乘」——這並不是乘方運算的定義，而是一種直觀理解而已。這僅僅適用於正整數指數冪，只不過是因為絕大多數人，最初接觸乘方運算，都是從2次方3次方這樣的正整數指數冪入手的，所以先入為主地形成了這種直觀理解。

除了正整數指數冪，還有負整數指數冪，分數指數冪，無理數指數冪，虛數指數冪呢……所以說，除了樓主提到的0次方很難理解，x^0.5也不能直觀地理解為半個x相乘吧？x^π呢？x^i就更怪了，i個x相乘？根本無法理解嘛！

對於正整數指數冪，我們都可以很直觀地理解，而且很顯然滿足(x^a)(x^b)=x^(a+b)，(x^a)/(x^b)=x^(a-b)這樣的運演算法則。咦，人們發現，上面的第二個公式中，a可以小於b耶，a-b就是個負數啦，用運演算法則套一套，x^(a-b)就是x^(b-a)的倒數嘛，並且這種表示方法依然挺科學的呀，順理成章地，a=b的時候，也就是0次方，代入上面第二個公式，發現分子分母相等，就等於1了唄。為什麼我們說0的0次方沒有意義？原因也就在這，它是從這個運演算法則里推廣出來的，就跟分母等於0差不多，所以沒意義了。

綜上，我們就定義，正整數指數冪x^n，就是n個x相乘。

而負整數指數冪和零指數冪，根據運演算法則可以得出。這樣一來，乘方的表示法從正整數推廣到了0和負整數，並且這種表示法在運用中不會導致什麼錯誤，非常的棒！

下面就講得淺一點，因為再講深一點的話我也不懂了。

對於分數指數冪，我們定義 x^(p/q)=(x的p次方)開q次方根。很多高中老師會舉幾個實際的例子（比如2的4次方再開平方，27的平方再開3次方之類的比較直觀的），讓學生通過觀察來增進對分數指數冪的理解。我覺得這麼教其實不太好，當然這種方法比較快捷，老師講一遍學生就可以開始做題了……某種程度上講，這個規律是從(x^a)^b=x^(ab)這個運演算法則中發現的，分數指數冪也滿足這個法則。稍加推演，我們會發現，0的正分數指數冪就是0，0的負分數指數冪無意義。

綜上，很顯然，「A的B次方就意味著B個A相乘」這句話無法適用於分數指數冪，語文上講不通。

無理數指數冪，簡直太蛋疼了，無理數沒辦法表示為分數。

比如x^π，π是3.14159……無限不循環，這怎麼玩？

在數軸上，π佔據了一個點，而數軸上分布著無數多個點，我用其他的有理數點(記為n吧)不停去逼近π，越靠越近，當這個n與π非常非常接近的時候，x^n與x^π 也非常非常接近了。當然，要問這個n具體等於多少？這個是說不出來的，最終n並不是哪一個具體的有理數，而是一個逼近的過程，也就是說，當有理數n越來越接近π的時候，x^n的值也越來越接近我們要找的那個x^π的值。

【多謝評論2樓的@李博揚，指出了我之前表述中的不嚴謹。】

於是我可以理解為，x^a(其中a為無理數)就等於 lim[n→a，n是有理數]x^n，用極限來理解的。

很顯然，不能用「A的B次方就意味著B個A相乘」來理解無理數指數冪。

做到這裡，高中生們紛紛如釋重負，這個設定還真是科學啊，一定是我打開的方式太正確了，於是定義在實數域上的冪函數就是一條連續的曲線了。

虛數指數冪，是用歐拉公式定義的，e^ix=cosx+isinx，推導過程就是把e^y展開成冪級數，然後用xi把y代換掉，把新的冪級數求和。

其實學渣我也沒學過複分析……不過我想很多人都知道被稱為「上帝創造的公式」的 e^πi+1=0

很顯然，「A的B次方就意味著B個A相乘」這句話，跟虛數指數冪更是八竿子打不著。

【多謝評論1樓的@Fan】

關於虛數指數冪，我只是很簡單地帶過，原因有2。

首先，因為我不太懂，我大學的專業也還沒到要學複分析的程度，加上我數學算是不太好的，頂多用生活化的語言隨便聊聊，聊深了我的數學知識甚至數學思維就經不起推敲了。

其次，我看到題主提這個問題，第一反應感覺題主似乎是一個高中生。並沒有瞧不起的意思，而是我回想起了自己曾經的感受，對於樓主這個問題，我在高中學習冪函數期間，心中也有過類似的疑惑（只可惜當時我覺得題目會做就行了，並沒有仔細思考，如果當時就有知乎，可能我也會來提這個問題吧）。而當我高三和高考之後，我覺得自己很厲害呀，高中的數學老子全懂了，冪函數這麼簡單的呵呵——有這種心態的高中畢業生可能不止我一個吧？有這種心態，也就不會提這種問題了。而大學數學系的，或者需要學高等數學的學生，通常直接就用實分析和複分析的知識來理解這個冪的問題了，也不太會來知乎提問。所以我當時第一反應推測題主可能是高中生，如果他將來學數學，會比我更懂；如果他將來不學數學，我這麼簡單淺顯的回答應該也夠了。

既然如此，虛數指數冪這麼蛋疼的我自己都不太搞得懂的知識，就一筆帶過吧，歐拉公式還是很美的，所以我順便提一提，就當是寫作文先摘抄一句名人名言吧。

不過多虧了Fan的提醒，有一個東西是要補充的，如果題主真的是高中生，可能對此有所疑問：

e^ix=cosx+isinx 這個公式怎麼能定義所有的虛數指數冪呢？如果我的底數不是e 怎麼辦，比如3^i是多少？

那就寫成這樣， 3^i=e^[ln(3^i)]=e^(i·ln3)，形狀就跟之前的公式一樣了。於是有，

e^(i·ln3)=cos(ln3)+i·sin(ln3)，就是這麼定義的

於是一些比較典型的值，我們都可以自己算著玩玩，加深一下體會，比如1^i

總之，虛數指數冪，我本人完全無法在腦中形成圖像化的、直觀的理解，可能是我空間想像能力比較差，看個地球儀都費勁。

綜上，「A的B次方就意味著B個A相乘」這句話，你可以默默留在心裡，這有助於理解冪函數的單調性。如果將來不準備成為專業的學者，你不一定要理解得多麼透徹，只要心中明白「2的π次方？反正比2的3次方稍微大一點」就行了，至於2的π次方到底是多少，就隨它去吧。

最近剛好在看《程序員的數學》（結城浩著）一書，書中第一章就是講「0的故事」，其中有一節「指數法則」可以很好的解釋這個問題。

以下是引用該書的內容。

重點是對10的0次冪的理解方式：

所以應該這樣理解一個數的零次冪。
再延伸一下，10的-1次冪應該是這樣的：

數學中有些定義是為了描述人對自然的認識。

有些定義則是抽象出來作為純粹的工具，從而作為橋樑方便串起來前者的知識。

從這個角度來看「一個數的正整數次冪」屬於前者，符合人對自然的認識。

「一個數的0次冪」「負數次冪」「無理數次冪」「虛數次冪」都應該算後者，它們是人為的定義，人們這樣定義它們是發現這樣做了以後可以很方便的有它們來串起來前者的知識，或者說借用這樣的「記號和運算規則」可以方便其他領域的計算。

有人提到的歐拉公式就是一個典型，輕描淡寫的說法是「e^ix=cosx+isinx，推導過程就是把e^y展開成冪級數，然後用xi把y代換掉，把新的冪級數求和。」

但是為什麼可以這麼隨便用xi來替換y？照理說展開冪級數重要的一點是對它的收斂性的研究，可用i了以後收斂性的定義是什麼？用了i以後一階導數二階導數等等的定義又是什麼意思？這公式太詭異了到底代表自然界的什麼意思？

實際上歐拉公式應該屬於「人為工具類」的公式，人們發現它不僅引入了轉換到複數領域的手段從而可以利用複數大大簡化計算，而且還很完美的滿足轉換前後計算結果的一致性。比方說，一個計算在「實數領域」很難計算，但是把它從「實數領域」轉換到「複數領域」進行計算卻很方便，然後再從「複數領域」轉回到「實數領域」，最終拿到的值和一開頭硬著頭皮直接硬算出來的值還被證明了是一模一樣的。所以人們就認為這個定義技巧是有價值的了。

有點像寂靜嶺裡面（忘了哪代），你想直接走到某個地方很困難，於是你先找了一面鏡子進入了「鏡中世界」，然後在「鏡中世界」發現路很好走，走到你要的目的地以後再找到一面鏡子，從「鏡中世界」切換回了「現實世界」，發現這時你就到了目的地了。

扯遠了，回樓主的題目，一個數的零次冪等於1，這個是人定的規則，之所以這麼定是因為這樣可以解釋的通很多其他有價值的運算規則。同理類似的「0的階乘為什麼要定義成1」也差不多。

因為乘法的單位元是1。

作為一個真正的學渣，我有必要正式聽，讓你們這群學霸知道何為數學學渣！我理解為：1不與A相乘。一般情況下，則是1與B個A相乘。當年我就這麼說服自己的，於是，我成了數學學渣。

在數學上，我想有兩個主要的理由：

1）從對數的單葉定義來講，0-power必須定義成1

另外用Euler公式定義虛數的冪次這極不嚴謹，這就會導致e^x變成了多值函數，很荒唐的。

2）從分析來講在負無窮處對e^x定義連續延拓，並且解析相容。

3）從代數符號體系來講比較相容，這個理由不太好，也算一個。

還請樓上仔細斟酌自己答案。

by L

0的0次冪當然是1 而且意義非常簡單！

a的b次冪的定義是 1×a×a.........×a。一共b個×a

0的b次冪意思是 1×0×0×0×0×0。一共b個×0 那麼結果是0

a的2次冪意思是 1×a×a，一共2個×a。那麼結果是a方

a的1次冪意思是 1×a，一共1個×a。那麼結果是a

a的0次冪意思是 1，一共0個×a。那麼結果是 1

0的0次冪意思是 1，一共0個×0。那麼結果是 1

a的-1次冪意思是 1/a，因為除法是乘法的逆運算，所以-1個×a是/a。

乘法的起點是1 加法的起點是0

所謂的a的b次冪的定義是 a×a×a×a 一共b個a，這個定義當然是錯的。後面的a前面都帶個×號，就第一個a不帶，你不覺得這規律不對第一個a搞特殊化嗎？

a的b次冪的定義當然是應該是某個數×a×a×a×a。一共b個×a。並且a的1次冪等於這個數×a等於a。那麼這個數就是1。

從課本的角度上來說，使用「幾個」這樣的量詞的時候，已經默認了這個「幾個」所代表的量應當是一個正整數，如1，2，3這樣。而諸如5^0這樣的問題，在課本中是以規定的形式告訴學生的。

我先來說一下這個知識的來龍去脈。這個知識在課本中出現在二次根式這一章節，學生已經學過了冪的除法，這是學習本知識的必要知識鋪墊：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即：a^b-a^c=a^(b-c)。學生先學習了這個知識，在上課的過程中自然會有部分學生想到，如果b=c又該如何呢？此時，課本給出了規定：任何非0數的0次冪等於1。也就是說，我們不是用運演算法則算出來的，而是直接規定出來的。

諸如這樣的規定還有很多，在幾何中最著名的規定即為歐幾里得的五原則：

1.過兩點能作且只能作一直線； 2.線段(有限直線)可以無限地延長； 3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓； 4.凡是直角都相等； 5.同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180°，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交。

上了大學我們會學習非歐幾何，不在這五原則規範下的幾何，又是完全不同的天地。代數亦如此。

特別感謝前面幾位同學的答案，我在課堂上可以引用給學生，做一些興趣題。

利用一些高等數學知識 $lim_{x ightarrow 0}{x^x} =e^{lim_{x ightarrow 0}{x*lnx} }= e^{lim_{x ightarrow 0}{frac{lnx}{1/x} } }=e^{lim_{x ightarrow 0}{frac{1/x}{-1/x^2} } } =e^{lim_{x ightarrow 0}{-x } }=e^0=1$

所以0^0=1嘍

$a^{0} =e^{0ln a} =e^{0} . e^{x}=1+x+frac{x^2}{2!}+...,$ 把 $x=0$ 代入有 $e^{0} =1$ .

學一下基礎的數據分析吧，不然你就用最簡單的方法也就是你自己說的方法解釋

a的n【m，n為正整數，下同】次冪，是以a為邊長，在n維中的體積【或面積，一個集合，下同】；

a的m/n次冪是，以a為邊長，計算出在m維的體積，並在n維下同體積求邊長；

a的0次冪，以a為邊在0維中的體積，只要a不為0，0維中恆為一點。

a的無理數次冪，我正在思考當中……抱歉。

正好遇到這個問題強答一發

n*2*2*2=n*(2^3)-----三次方代表了2*2*2

n*2=n*(2^1)------一次方代表了就一個2

n=n*(2^0)----0次方代表沒有2,不乘2了

n=n*(2^0)=n*0=0----!!?當然不行呀

n=n*(2^0)=n*1=n-----不乘2了當然是跟乘1相等的,這才對么

乘是在1的基礎上進行的，0個5相乘，就是1和0個5相乘，其實就是1，什麼也沒乘。