薛定諤方程是不是波動方程？

01-05

波動方程： $abla^2u -dfrac{1}{c^2}{ partial^2 u over partial t^2 } =0$

Schrodinger方程： $ihbar dfrac{partial }{partial t} Psi=-dfrac{hbar^2}{2m} abla^2Psi+V(r)Psi$

波動方程是關於時間的二階偏微分方程，Schrodinger方程是關於時間的一階偏微分方程。

說Schrodinger方程是波動方程是不合適的，

這個不合適的說法僅來自於Schrodinger方程的解是波函數。

波動方程指二階雙曲型偏微分方程，薛定諤方程當然不是波動方程。。

近軸波動方程跟薛定諤方程的形式一樣。（https://en.m.wikipeda.org/wiki/Helmholtz_equation）

從這個角度說薛定諤方程算是波動方程的一個特殊形式。

話說有的薛定諤方程的解有其波動光學之對應。

對於自由粒子，波函數 $psi=e^{i(kr-omega t)}$ 以及哈密頓量 $hat{H}=-(hbar^2/2m) abla ^2$ ，

如果把 $ihbarpartial_tpsi$ 寫成 $-frac{hbar}{omega}partial_t^2psi$ 的話，薛定諤方程的形式就和波動方程一樣了：

$-frac{hbar}{omega}partial_t^2psi+(hbar^2/2m) abla ^2psi=0$

從這個角度來看二者似乎是一樣的，但是僅僅是形式一樣而已。

有沒有更深層的聯繫？我猜也許有一點，因為波函數可以通過傅里葉變換寫成平面波的疊加，也許波動方程只是這一類方程的特例。

不管怎樣，先佔個座看看有沒有更好的解釋~

波動方程只是個名字而已，表明這個方程起源於對波的研究。多個變數的某種形式的二階微分方程都成為波動方程。同理的還有，拋物方程也跟拋物線沒有毛關係。

波動方程跟波的關係不比 Java 和 JavaScript, 雷鋒和雷峰塔，Car 和 Carpet，巴基斯坦和吉里巴斯可卡巴斯基之間的關係大多少。

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補充：

1，波動方程（我只寫一維的最簡單形式） $u_{tt}=u_{xx}$ 的自變數 $x,t$ 都是實數，未知函數 $u(x,t)$ 是實數值的；

2，薛定諤方程 $mathrm ipsi_t=psi_{xx}$ （好吧，我又省略了勢能 $V(x)$ ，畢竟打起來麻煩）的自變數 $x,t$ 是實數，未知函數 $psi(x,t)$ 是複數值的。所以我們可以拆成兩個實數值方程：令

$psi(x,t)=f(x,t)+mathrm ig(x,t)$ ，

然後我們有

$f_t(x,t)=g_{xx}(x,t), g_t(x,t)=-f_{xx}(x,t).$

消去任意一個函數，比如 $f(x,t)$ ，可得

$g_{tt}(x,t)=-g_{xxxx}(x,t)$ 。

這不， $t$ 的二階導數不就出來了。

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再補充：

3， $u_{tt}=u_{xx}$ 及其高維形式的解並不能完全描述波的性質。比如（圖侵刪），

這是很難用簡諧運動來描述的。所以，波和簡諧運動不能一概而論吧？