有哪些有趣的矩陣？

01-05

在計算上或者結果有哪些形狀的矩陣比較特殊，或者有有趣的結論

比如說像這個？

這個矩陣其實也沒什麼特別的，它就有一點比較有趣，那就是它的乘法遵循的關係是：

如果把x和y理解成某一個方向上的位移的話，空間上的平移操作就可以通過矩陣乘法表示出來，所有的這類矩陣構成了一個封閉的群（的表示）。

PS:我記得這個群的名字好像是叫加法群？因為它能用矩陣乘法的形式實現參數的相加。

Jordan 矩陣

並不是喬丹發明的，翻譯過來一般被稱作若爾當矩陣，或者約當矩陣。

先下結論，一切矩陣均相似於Jordan 矩陣。

以下矩陣均為方陣

定義

Jordan塊：主對角元素都相等且主對角上方斜線中的元素都為1的矩陣

$J_{lambda,3}=left( egin{array} $lambda10\ 0lambda1\ 00lambda end{array} ight)$

Jordan矩陣：對角元素均為Jordan塊的矩陣即為Jordan矩陣

$J=left( egin{array} $J_{alpha.2}00\ 0J_{eta.1}0\ 00J_{lambda,3}\ end{array} ight)$

分三部分講吧

為什麼要搞這麼一個矩陣

這在矩陣計算中，我們會遇到大量的冪次運算，我們一直想搞一個簡單的公式去化簡它，當然我們現在都知道有一種可能是

$A=PBP^{-1}\ A^n=PB^nP^{-1}$

通過尋找相似矩陣來化簡冪次運算。如果B矩陣是對角矩陣的話，那麼就可以用 $B^n=(lambda_{ii}^n)$ 進一步簡化冪次預算。但並不是每個矩陣都能相似於對角矩陣。那麼其他矩陣怎麼辦呢。最終Jordan提供了他的方法， $J$ 即Jordan矩陣

$A=PJP^{-1}$

為什麼一切矩陣都相似於它

1837年的時候Jacobi證明了所有矩陣都能三角化，即消元的形式。還有一個更強的結論，一切矩陣都能被寫成 (Schur三角化定理)

$A=UBU^*$

其中B是一個上三角矩陣，而U是一個Unitary Matrix（酉矩陣）， $U^*$ 表示 $U$ 的共軛轉置。可以通過數學歸納法證明。作為Unitary Matrix的一個性質， $U^*=U^{-1}$ 。同時對於一個上三角矩陣B，我們可以通過 $PBP^{-1}$ 的形式使部分主對角線外的元素變成0。舉個例子，這裡我先假設大家明白左乘可以看做行變化，右乘是列變換，在講的時候這麼寫在直觀感受上容易理解。

對於初等矩陣(表示方法參考wiki) $P=E_{pq}(x),(1le p,q le n)$ (有些教材的下標從0開始)它是肯定有逆的(行列式不為0)，如果我們想通過 $P^{-1}PA=A$ 這種方式直接尋找計算 $P$ 的逆矩陣，首先是P對A進行行遍換，A的第q行加到了第p行，那麼取逆變是，A的第q行減去A的第p行，所以可以直接得到 $P^{-1}=E_{pq}(-x)$ ,那麼對於一個上三角矩陣而言，比如說下面這個

$A=left( egin{array} $lambda_1ab\ 0lambda_2c\ 00lambda_3 end{array} ight)$

我們希望設法使 $a,b,c$ 都為0，設 $PAP^{-1}$ 可以使 $c=0$ ，那麼有

$egin{eqnarray} E_{23}(x)AE_{23}(-x) = left(egin{array} $lambda_1ab\ 0lambda_2c+xlambda_3\ 00lambda_3 end{array} ight) E_{23}(x)\ = left(egin{array} $lambda_1ab-xa\ 0lambda_2c+xlambda_3-xlambda_2\ 00lambda_3 end{array} ight) end{eqnarray}$

我們只要讓 $c+xlambda_3-xlambda_2=0$ 就成了，這個時候的 $x$ 應該等於 $frac{c}{lambda_2-lambda_3}$ 就可以了。而且我們會發現，這樣做不會影響主對角線上的元素順序。但是有一個問題， $lambda_2=lambda_3$ 怎麼辦，對於下面的矩陣來說好像有一部無法被消滅啊！

$left(egin{array} $lambda_1ab\ 0lambda_2c\ 00lambda_1 end{array} ight)$

$c$ 不管加還是減都只能是同一個數，無法被1個 $lambda_1$ 線型組成自身也就無法消元。這時我們可以用另外一個初等矩陣 $E_{pq}$ 來交換兩行或者兩列，同時有 $E_{qp}^{-1}=E_{qp}$ 。對於 $E_{pq}AE_{pq}^{-1}$ 就是將第p行和第q行交換，再交換第p列和第q列。結果顯而易見，我們可以通過這種方式將對角線中相同但不相鄰的兩個元素放到一起，那麼最終就會得到一個類似這種形式的矩陣。