請問這個洗澡詭論如何解答？

01-05

題目來源於youtube上一位台灣物理老師「佑來了」做的節目《Fun科學》。【Fun科學】你洗澡時想過這問題嗎？(極度燒腦，高手請進) - YouTube https://www.youtube.com/watch?v=JuTFmn3AGSc
問題如下：洗澡時，將蓮蓬頭流出的水對準熱水管持續沖洗，問流出的水的溫度與時間的關係如何？假設兩個進水管，熱水80度，冷水20度，最終流出的水會穩定在一個溫度嗎？

根據經驗，這種最後應該是跟常量差一個指數函數。

這是一個反饋系統，熱水是一個輸入，冷水是一個輸入，然後蓮蓬水是輸出同時也作為反饋的輸入。根據題目，初始出水溫度是50℃，然後沖淋熱水管，和熱水形成熱交換，造成熱水輸入比80℃低，再次混合之後出水口溫度就會比50℃低，這裡假設了水流速始終不變。然後出水再次冷卻，因為效率的問題，最終肯定會穩定在一個介於20和50之間的溫度。

會。

其實就是一個極限的問題，最終穩定的溫度取決於熱水管內熱水與噴淋水熱交換的效率。

一般來說，水流速度還是挺快的，熱交換時間段太短，水的比熱容很大，那麼點時間熱交換效率不高。所以最終比50℃低不了多少。拍腦袋估計的話在5℃甚至2℃以內。

其實就是芝諾的那個運動員追烏龜的悖論的翻版。

以上。

你把兩個水管混合的部分，花灑，還有沖洗的部分框在一起當作一個系統。輸入是80度和20度兩個水流，輸出只有一個水流。那麼不管這個系統裡面怎麼混合怎麼換熱，因為出來的能量和質量要等於進去的能量和質量，最後出來的水肯定是50度不會變

迭代一下就出來了，從time1開始進行二次混合，可以看出一開始出來的水熱了一些，後面就回到50的穩定狀態了。區別是第一次混合的水溫從50降到了35

（假設條件：瞬時絕熱換熱，水流內部無傳熱）

設熱水與冷水匯合時熱水溫度為X，熱水與冷水匯合後溫度為Y。

可列出兩個方程

Y=(X+20)/2

X=(2Y+80)/3

解得X=50,Y=35。

即噴頭噴到熱水管上的水為35度，與熱水管中原本為80度的水熱交換後均變成50度。

肯定不是50度，討論的是蓮蓬頭流出的水的溫度。第二次流出的水有兩個溫度，即剛從蓮蓬頭出來的溫度和沖刷過熱水管之後的溫度，後一個的溫度肯定是50度，前一個溫度肯定低於50度。本題貌似也沒說清楚是哪一個溫度，但應該不能那麼簡單，將從系統邊界流出部分定義為沖刷過熱水管之後的水流溫度。所以許多認為是50度的答案考慮欠妥。

至於解答部分，首先這個系統會最終處在一個穩定的狀態下。我們假設此時熱交換後熱水管的溫度為Th，花灑的溫度為Tm。水的狀態沒有改變則直接依據specific heat計算溫度簡化後可得等式：（Th+293）/2=Tm

即Th=2Tm-293

又有（323-Th）*Cp*Mm=（353-2Tm+293）*Cp*Mh

Cp為水的specific heat

Mm為花灑液體流量單位可以是kg/s

Mh為熱水管液體流量

此題中冷熱水管液體流量默認相同（不相同沒法做，則Mm=2Mh

解得Tm=308K即35度

用能量守恆來解花灑噴出的50度水遇到80度水通過熱傳導得到能量溫度升高水管中80度水不可避免地失去一部分能量。關鍵就在於得到能量的水無法再會到系統中而是以50+的溫度流向下水道。

所以說如果考慮一個更大的系統那下水道的水充分混合後應該是50度。而水管中的水一定是低於50度的

先指出有些回答的疏漏，淋到80℃熱水管上最後流下來的水確實是50℃，但題目問的是蓮蓬頭噴水的溫度。

如果不考慮水在管外噴射的時間和管內流動的時間，那噴出水的溫度恆定。原因:

反饋強度η指管內外水的熱交換程度

η=1-交換後管內外水的溫差/30

即η=0不發生熱交換。

而整個反饋是即時的，所有部分之間的水溫影響都是即時的，那這個x(蓮蓬頭水溫)在一開始就確定了。如果知道η，就知道x，

但若考慮管外噴射的時間和管內流動的時間中的任意一個或兩者都考慮，那麼溫度相同的水一定是一段一段的，溫度並不連續而是分離的(不考慮水之間的熱傳遞)，像分段函數一樣，而且每一段都是常函數。

考慮水之間的熱傳遞會讓溫度變得連續，但溫度與時間的關係大致還是階梯狀的。

將這個關係還原成分段函數，每個階梯的左頂點在一個指數函數圖像上，每個階梯的長度(時間)就是管內的水從80℃熱水管淋水處流動，出了蓮蓬頭再與80℃熱水管接觸的總時間。

這時裡面的x的是蓮蓬頭水溫的趨近值。

該指數函數是t=x＋a^T·(50-x)

a是常數，與材料的導熱性、淋水面積等有關。實際中可以通過測量階梯長度和幾個階梯的溫度找到指數函數的幾個點，這樣可以把指數函數求出來。

但是最困難的是階梯連接處，與管道的材質，形狀等有關，我也不知道怎麼求。

你知道人體的負反饋調節系統么

只知道這樣做會被我媽噴。。

最終流出的水是一個恆定的常函數。熱水管的水是流動的，由熱水水源(熱水器)輸送的穩定的80度的水，經過熱交換位置會下降一定溫度，與冷水混合在流出，再進行與80度熱水管的熱交換，如果噴頭水噴出與空氣不進行熱交換那麼最終還是50度。考慮到空氣導出的熱量，溫度會低於50度。

然後討論是否是常函數。這個水是不斷流動的，所以這一系統可以看做一直處於初態，最終水溫必然是時間的常函數。

直觀看，最終維持在一個穩定溫度，爭議在哪？

假設已經達到了穩態；80℃管子被噴出水流冷卻之後溫度為T，T與20℃水混合之後溫度為 $frac{T+20 ^{ m o} m C}{2}$ ，然後再與80℃水相互達到熱平衡之後溫度為 $T=frac{80 ^{ m o} m C+2*frac{T+20 ^{ m o} m C}{2}}{3}$ ，解得T=50℃，這也是水順著80-50℃管子流下去的最終溫度，而從水龍頭/花灑中噴出的水流則是35℃。

大概是初三水準就能常識解決的問題，不過初中沒做過這種題呢_(:з」∠)_

手機不知道怎麼打公式（說的好像在電腦端就知道怎麼打了似的_(:з」∠)_）（來自電腦端的嘲諷：這不是打出來了么hhh雖然好難看（假裝有刪除線_(:з」∠)_））

備註，這是不考慮熱耗散啊什麼的那堆，所以……_(:з」∠)_

然後就是考慮時間演化了……熱量交換的速率有限，而這是將速率考慮為無窮大的時候，也就是瞬間交換熱量到溫度相同的情況，而一般物體在恆溫環境中的溫度變化是溫差隨時間指數下降的……總之各種懶得算但是多半就是有指數形式沒錯了（啊喂這麼草率的么←_←），所以經典來說大概是永遠也等不到他變成穩態那一天了_(:з」∠)_

其實不淋水的時候熱水管也在對外散熱，不過介質是空氣罷了，用水淋只是換了個散熱介質。

噴出得水溫度應該越來越低嗎

很簡單啊，不就是那隻所謂永遠追不上的烏龜么

首先要分兩種情況，一種是恆溫混水龍頭，一種是普通比例混水龍頭

恆溫混水龍頭的話，毋庸置疑，就是五十度，永遠五十度，只要兩種溫度的供水沒有斷檔，出來的水流只會有大有小，但溫度就是五十度（當然，前提是龍頭正常工作）

普通比例混水龍頭的話，由於比例恆定，高溫側水溫如果有變化，就會影響出水水溫朝著變化方向變化，這是第一個平衡方程。而這個水溫變化量會因為沖洗到高溫水管的中溫水的溫度而變化，這是第二個平衡方程。兩個平衡方程，兩個溫度變數，解方程出答案。其中會有不少現在還沒有提供的傳熱係數之類常數出現，但不影響解方程，只要這些常數確定，穩態的兩個解也就確定。

上面四個答案三個沒有認真審題

一群學傻的人。

水溫50度，請問空氣中幾度？還降溫

空氣假設40度來說，水流還是出80度的話，肯定50度的水澆上去，溫度肯定會因為沒有那麼大的熱損失，使得水流溫度會升高到20度以上啊。

結論，就是溫度會升高，到一個穩定值。

我試過很多次，說說自己的理解吧

最終溫度都趨於穩定，至於度數和沒有澆水管之前是一樣的

為啥是降溫？本來熱水管也不是浸泡在熱水裡的啊，50度的水澆上去至少比周圍的空氣溫度高吧，難道不應該是升溫么？

不算輻射熱之類與環境的熱交換造成的能量損失的話，永遠是50度，因為沒有能量損失。