三個人一起抬起一根鋼管（左右中間各站一人），三個人受到的荷載是否相同？

01-05

如果鋼管換成鋼筋，中間兩側會下垂，三個人受力情況又是怎樣的呢。

與另一位答主有不同的想法，希望能交流一下~

如果把人和鋼管都看成剛體，那麼這就是一個超靜定問題，也就是說，未知數有三個（三個人的載荷），但方程只有兩個（鋼管豎直方向受力平衡，鋼管所受力矩平衡），無法解出唯一解。此外，三個人中，只有前後兩個人的地位是等同的，中間的人的地位和其他兩人是不同的，所以不能簡單地認為三個人所受載荷相等。總的來說，三個人所受載荷分別為三分之一的管重，這固然是一種可能的情況，但其他情況（比如，前後兩人受到的載荷分別是四分之一的管重，中間的人受到的載荷是二分之一的管重）也是有可能的，不能簡單排除。

當然，有一種可能的想法是，如果把這根鋼管從中間劈開，那麼就可以嚴格地算出三個人所受載荷了（算出來的結果是前後兩人分別承受四分之一的管重，中間的人承受二分之一的管重）。但是，這種想法是把一個超靜定問題偷換成了一個靜定問題，一根連續的鋼管和兩根斷開的鋼管是完全不同的情形，所以這種想法是不行的。（另一位答主說的「鋼筋考慮變形，大致當成兩段，中間載荷是兩端的兩倍」應該就是源於這種想法，但其實是不能「當成兩段」的……）

既然超靜定問題在理論力學的框架下沒有唯一解，那麼就需要運用材料力學或是結構力學的知識來解出真實解。為了便於討論，我們假定鋼管是均質的，長為 $l$ ，單位長度的重量為 $q$ ；三個人的高度相等，並且都不偷懶，都視為剛體。設三個人所受的載荷分別為 $R_A,R,R_B$ 。在線彈性、小變形情況下，鋼管和鋼筋沒有本質區別，只是鋼管的慣性矩 $I_z$ 比鋼筋大不少，所以彎曲程度會比鋼筋小很多。我們統一考慮鋼管和鋼筋的情形，不作區分。

根據靜力平衡條件，可以列出兩個方程 ${^{R_A+R+R_B=ql}_{R_A=R_B}$ 。第三個方程是鋼管/鋼筋彎曲變形的幾何條件：撓度 $v(x)$ 滿足方程 $frac{d^2v}{dx^2}=frac{M}{EI_z}$ 以及邊界條件 $v(0)=v(l/2)=v(l)=0$ 。根據以上條件，可以唯一地解出三個人所受載荷： $R_A=R_B=frac{3}{16}ql, R=frac{5}{8}ql$ 。

也就是說，實際情況是，兩邊的人各承擔 $frac{3}{16}$ 的重量，中間的人承擔 $frac{5}{8}$ 的重量。（鋼管和鋼筋都是這個結果。和直觀感覺可能不太一樣。）

當然，上面這一結果是在三個人都不偷懶的情況下算出來的。超靜定問題的一個特點就是其解很容易受邊界條件的影響。如果是兩個人抬一根鋼管，那麼這是一個靜定問題，兩個人永遠都分別承擔一半的管重，所以沒法偷懶；但三個人抬一根鋼管，這是一個超靜定問題，就有偷懶的空間（把身體降低一點就能偷懶）。中間的人偷懶到極致時（此時 $v(0)=v(l)=0, v(l/2) eq0$ ），ta可以完全不承擔任何載荷，左右兩人各承擔一半管重；右邊的人偷懶到極致時(此時 $v(0)=v(l/2)=0, v(l) eq0$ )，左右兩人都不承擔任何載荷，中間的人承擔全部載荷；左邊的人偷懶到極致時，同理。

（以上為原答案）

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（以下為8.4更新）

沒想到獲得了這麼多（作為一隻沒見過世面的知乎小白）的贊，還有幸被收藏了幾次，非常感謝大家。看了其他幾個回答，以及大家在我原答案下的評論，感覺我還有幾點需要說明的地方：

1、在這個問題里，要偷懶非常非常容易。

以中間的人為例，ta只需要把身體降低 $frac{5ql^4}{384EI_z}$ 就能完全不受載荷。

這是個什麼概念呢？假設鋼管和鋼筋的截面都是圓形或者圓環，外徑是 $D$ ，內徑是 $d$ ，鋼的比重為 $w$ （相當於 $ho g$ ），那麼 $frac{5ql^4}{384EI_z}=frac{5wfrac{pi}{4}(D^2-d^2)l^4}{384Efrac{pi}{64}(D^4-d^4)}=frac{5wl^4}{24E(D^2+d^2)}leq frac{5wl^4}{24ED^2}$

鋼的比重 $w$ 取 $7.8 imes 10^4N/m^3$ ，彈性模量 $E=210GPa$ ，直徑 $D$ 取 $10cm$ 好了，長度 $l$ 取 $5m$ 好了，按照 $frac{5wl^4}{24ED^2}$ 算，算得的結果是：中間的人只要下蹲4.84mm，就一定能完全不受力。實際情況下，要是再考慮到鋼管沒那麼長、鋼管還有內徑等因素的影響，中間的人下蹲所需高度還會更小，基本是在毫米這個數量級上。

所以我感覺，這種題目大概也就能在紙上算算。要是真做實驗去測的話，精度一定要足夠，否則萬一在高度上差個幾毫米或者幾百微米，結果就完全不一樣了。

2、有評論說用力法位移法做。這當然可以，而且力法位移法的過程會比原答案的過程看起來簡單一些。那我就寫個力法的過程吧。如果有答主願意用位移法做，不如專門寫一個回答~

把中間人對鋼管/鋼筋提供的力 $R$ 記為本題中唯一的未知量。

下面是可能會用到的三張彎矩圖：

根據圖乘法，

$EIeta_{1Q}=2 imes(-frac{2}{3}) imesfrac{1}{8}ql^2 imesfrac{l}{2} imesfrac{5}{8} imesfrac{l}{4}=-frac{5ql^4}{384}$

$EIeta_{11}=2 imesfrac{1}{2} imesfrac{l}{2} imesfrac{l}{4} imesfrac{2}{3} imesfrac{l}{4}=frac{l^3}{48}$

代入方程 $eta_{11}R+eta_{1Q}=0$ ，得到 $R=frac{5}{8}ql$ 。進而可以算出左右兩人的負荷。

至於力法的原理和「圖乘法」的公式（不同的教材可能有不同的記號），為了便於閱讀就不贅述了，還是去結構力學或者材料力學書里找吧。

3、有評論說希望把撓度的二階導數講得更細一點。其實這段內容算是材料力學課程里非常非常重要的一部分，我估計三言兩語也很難講清楚。那就按照「倒敘」的方法稍微捋一捋 $frac{d^2v}{dx^2}=frac{M}{EI_z}$ 這個方程是怎麼來的吧。

其實，線彈性情況下（無論大變形還是小變形），嚴格的公式應該是 $frac{frac{d^2v}{dx^2}}{(1+(frac{dv}{dx})^2)^frac{3}{2}}=frac{M}{EI_z}$ ，只是在小變形條件下，等式左側的分母幾乎為1，所以才能簡化成一個線性方程 $frac{d^2v}{dx^2}=frac{M}{EI_z}$ （其實我個人更傾向於用撓度來做題，而不是用力法位移法來做，很大程度上是因為雖然這兩個方法在小變形情況下是等價的，但在大變形情況下，力法位移法失效（因為彎曲應變能的表達式變掉了，所以，至少書上經典的力法、位移法都不嚴格了），只能用撓度的非線性微分方程來做）。

如果對高數或者數分或者微分幾何還有印象的話，就能發現等式左邊就是曲率 $kappa$ ，也就是曲率半徑的倒數 $frac1R$ 的表達式。於是方程變為 $frac1R=frac{M}{EI_z}$ 。

那麼怎麼推出上面這個方程呢？這裡需要用到一個「平截面假定」，也就是說梁在彎曲前的截面在彎曲後依然是個平面。這說明樑上的任意一個截面的應變 $varepsilon$ 隨高度 $y$ 呈線性分布。再根據本構方程 $sigma=Evarepsilon$ ，就能推導出上面這個方程了，不難推。具體論述可以參考任意一本材料力學教材里關於彎曲變形的那一章~

人手是無法絕對剛性連接的，手自身身可以承擔彎矩。個人認為應該按兩跨連續梁考慮。先佔坑，回學校有教材後細補。

呃………用三個拉力機，分別掛住木棒類的東西的兩頭和中間，最後讀數即可…

鋼筋那個，就用彈簧棒或者其他軟的東西類比

如果答主補充鋼管以及手臂的剛度參數，這才是一個題，想想斜拉橋，幾百個人提一根梁，還是可以算的清清楚楚。

把人當做剛體，不考慮偷懶。鋼管看做剛體，不變形，載荷一樣。鋼筋考慮變形，大致當成兩段，中間載荷是兩端的兩倍。

實際情況要複雜的多，中間的可以完全不使勁都可以。