相對論速度疊加為什麼和tan和角公式長這麼像？

01-05

好像可能我覺得有某種聯繫…沒有找到相關資料所以來問

這個與狹義相對論的時空結構有關，這使得洛倫茲變換對應於四維空間的偽轉動，這種偽轉動是基於雙曲三角函數的，而雙曲三角函數的相關公式又與普通三角函數非常相似，有時完全相同，有時僅僅差了一個負號，就導致相對論速度疊加和tan的和角公式長得很像。

狹義相對論的背景時空是一個四維空間 $(ct,x,y,z)$ ，在這個空間中線元長度的定義為

$mathrm{d}s^2=c^2mathrm{d}t^2-mathrm{d}x^2-mathrm{d}y^2-mathrm{d}z^2$

這個空間叫做閔可夫斯基（Minkowski）時空。對比我們熟知歐幾里得（Euclid）空間，我們發現，歐式空間對線元的定義是「平方相加」的形式，類似於圓和橢圓；而閔氏時空線元的定義是「平方相減」的形式，類似於雙曲線。

$n$ 維黎曼（Riemann）空間有 $dfrac{n(n+1)}{2}$ 個獨立的Killing場，簡單來說就是有 $dfrac{n(n+1)}{2}$ 種對稱性。例如二維歐式空間有 $3$ 種對稱性：沿 $x,y$ 方向上的平移對稱性，繞垂直於該平面的 $z$ 軸的旋轉對稱性；三維歐式空間有 $6$ 種對稱性：沿 $x,y,z$ 方向上的平移對稱性，繞 $x,y,z$ 軸的旋轉對稱性。所以，四維的閔氏時空具有 $10$ 種對稱性：沿 $ct,x,y,z$ 軸的平移對稱性，繞 $xOct,yOct,zOct$ 平面的旋轉對稱性（這裡的旋轉就是我們熟知的普通的旋轉），繞 $xOy,yOz,zOx$ 平面的偽轉動（boost）（偽轉動和轉動具有相似的數學形式，但也有很大的不同之處）

閔氏時空這 $10$ 種對稱性中的繞 $xOy,yOz,zOx$ 平面的偽轉動就代表了相對論中著名的洛倫茲（Lorentz）變換。以沿 $x$ 方向上的Lorentz變換（對應繞 $yOz$ 平面的偽轉動）為例。以 $(ct,x,y,z)$ 作為靜止參考系 $S$ 的時空坐標， $(ct^prime,x^prime,y^prime,z^prime)$ 代表相對 $S$ 以速度 $v$ 向右運動的參考系 $S^prime$ 的時空坐標。為方便表述，引入參量 $eta=dfrac{v}{c}, gamma=dfrac{1}{sqrt{1-eta^2}}$

$ct^prime=gamma(ct-eta x)$

$x^prime=gamma(x-eta ct)$

$y^prime=y$

$z^prime=z$

寫成矩陣的形式（不考慮 $y,z$ 坐標）：

$egin{bmatrix}ct^prime\x^primeend{bmatrix}=egin{bmatrix}gamma-etagamma\-etagammagammaend{bmatrix}egin{bmatrix}ct\xend{bmatrix}$

類比與點在二維空間中的轉動：假設有一個點 $(x,y)$ 繞原點 $O$ 逆時針旋轉角度 $heta$ 得到點 $(x^prime,y^prime)$ ，則由平面幾何的只是可知他們之間的變換關係：

$egin{bmatrix}x^prime\y^primeend{bmatrix}=egin{bmatrix}cos heta-sin heta\-sin hetacos hetaend{bmatrix}egin{bmatrix}x\yend{bmatrix}$

和上面Lorentz變換的矩陣相對比，可以發現在形式上僅僅相差一個負號，所以可以將Lorentz變換類比成基於雙曲三角函數的「轉動」。

令 $eta= anhxi$ , $gamma=coshxi$ , $gammaeta=sinhxi$ 。其中 $xi$ 稱為快度，可以認為是偽轉動轉過的「角度」。

下面考慮兩次連續的沿 $x$ 軸的Lorentz變換，第一次轉過的角度為 $xi_1$ ，第二次轉過的角度為 $xi_2$ ，則經過這兩次變換後轉過的總角度為 $xi=xi_1+xi_2$ ，則對應的 $eta_1$ 、 $eta_2$ 、 $eta$ 的關係為：

$eta= anhleft(xi_1+xi_2 ight)=dfrac{ anhxi_1+ anhxi_2}{1+ anhxi_1 anhxi_2}=dfrac{eta_1+eta_2}{1+eta_1eta_2}$

這樣就得到了相對論的速度疊加公式。

再提供一個視角。虛數 $i^2=-1$ ，這個跟沿圓的旋轉變換及三角函數關係極為密切。利用泡利矩陣 $sigma^2=1$ ，可以仿照虛數i建立一套代數系統，這個代數系統跟沿雙曲線的旋轉及雙曲三角函數關係密切。

歐拉公式的對應： $e^{i heta}=cos heta+isin heta,e^{sigma heta}=ch heta+sigma sh heta$ 。

狹義相對論不是別的，正是沿著雙曲線的旋轉。雙曲三角函數跟三角函數在各類公式上都有著很好的一一對應，相對論速度疊加其實跟雙曲三角函數有關，只是雙曲三角函數樣子上很像三角函數而已。

上圖吧，懶得打字了，這是carroll的講義，朗道的場論也有描述，總之是為了保證間隔的不變性，很自然的類比三維空間中的轉動，引入洛倫茲矩陣因此兩個很像

因為狹義相對論本來就是一個簡單的4維速度矢量的數值不變轉動。

http://pubs.sciepub.com/ijp/4/5/2/index.html

裡面討論了一個新的模型，可以參考。從這個角度去看待這個問題，顯得非常簡單。

為什麼以前發現不了洛侖茲對稱，只有在電磁波現象中，才能發現存在洛侖茲對稱？因為洛侖茲對稱，本來就是量子波的屬性。沒有量子波，就沒有洛侖茲對稱。當時只有電磁波相關問題，具有宏觀的量子效應。

然後，這個還和ads/cft對應，可以關聯起來。人類宇宙，和4維空間，具有某種投影映射關係，類似時髦的全息投影。說得神乎其神，很高深的樣子，其實，都一回事。

物理學，不要被高深的名詞所嚇倒。

給一個不是很嚴格，但是猴子也能看懂的版本吧。

為了方便你想像，暫時假裝我們活在一個歐式平面上，大概長這樣

自己看自己當然是現在原點沒動，所以你就是那根時間軸

S先生以速度v1跑過您的身邊，就像這樣

他的時間線和您的世界線之間有一個夾角x1，根據速度的定義，v1=tan(x1)

S先生自己看自己有另一套坐標系，他當然覺得是他自己沒動，就像這樣

S先生看到M先生從自己身邊以速度v2跑過，世界線在自己的坐標系傾斜了一個角度x2

當然，根據S先生的測量，v2=tan(x2)

現在，你看到的M先生速度是多少？

這真是個傻問題，你看到S先生傾斜了x1，S先生看到M先生傾斜了x2，你當然看到M先生傾斜了x1+x2

在你的世界裡，一根傾斜了x1+x2的世界線速度當然是tan(x1+x2)

回到真實的世界裡，閔氏度規有一個負號，不妨直接把時間當作虛數，於是tan變成tanh，自然就有你看到的速度疊加定理了。

洛倫茲變換可以理解為是一個x-ict平面的轉角公式，所轉角度為一個虛角度（iβ）

因為狹義相對論用三角幾何就可以推導出來。想像個宇宙空間里高速運動的房間，裡面房頂和地板各有一面鏡子，有一台激光器向上發射激光然後根據光上下反彈的次數計算時間流逝。

這種情況從外面看的話光線的實際線路是鋸齒形的而不是垂直上下，這些鋸齒斜邊長度和垂直線路的長度比就是相對效應的強度。

雙曲旋轉，本來三維空間坐標系旋轉是正弦餘弦，變成雙曲正弦雙曲餘弦。

具體見朗道第二卷場論。

相對論中光速c是不變數，把它當做基向量，那麼相對速度速度v和同一事件觀察到的時間間隔Δt的某種變換下的向量和就是這個基向量。

類似於勾股定理在平面三角函數上的衍生：

三角函數：1=sin2θ+cos2θ。

狹義相對論：1=β2+(Δτ/Δt)2，其中β=v/c，Δτ是相對靜止時觀察到的時間，兩邊同乘以c2

後也可寫為c2=v2+(cΔτ/Δt)2，調整後得到時間的洛倫茲變換「鐘慢效應」：

相對速度越快、外部慣性參考系觀察到的時間流逝就越慢，反之亦然。

好像有點開始明白

一開始推導洛倫茲變換的時候形成的矩陣長的就很像三角公式

洛倫茲變換成立的條件是時空是線性變換還有啥時空對稱什麼的

orz來自一隻TP課無聊到爆炸想起來翻知乎的某渣

嗯還有三角換個元

cosθ=v/c=β

sinθ=1/γ

哇vivo自帶的輸入法居然可以輸希臘字母●━●