哈密頓力學和拉格朗日力學分別的優勢是什麼？

01-05

最近在學習理論力學，注意到拉格朗日力學和哈密頓力學是兩種等價的力學表述，兩者分別在什麼時候會體現出優勢？

在經典力學裡，當處理相空間中點的演化時，用哈密頓形式稍微方便一點。在正則量子化的過程中，需要知道獨立的正則變數，這時候要使用哈密頓體系；非相對論量子力學涉及到波函數的演化，所以這時候用哈密頓形式也比較方便。涉及到相對論時，如果要求理論是協變的，用拉格朗日形式很容易構造出一個洛倫茲不變的作用量，哈密頓形式則不行。

用牛頓第二定律列方程原則上可以解決一切經典質點系運動問題，但這裡有個問題：約束（為了簡便，這裡我們只考慮完整約束）。

當方程中存在約束時，牛頓方式要求你用幾何方程表述約束，每個約束要用一個方程表示，於是方程數=質點數×空間維數+約束數。

而在拉格朗日方程中，通過廣義坐標，我們直接從變數的層面上把約束幹掉，約束不再需要任何方程表示，於是方程數=廣義坐標數=質點數×空間維數-約束數。

從這點看，拉格朗日方程要簡單得多，而且是更自然的，因為約束應該是用來減少自由度的，它理應減少方程的個數才對。

本質上說，牛頓定律只描述了質點系在歐幾里得空間中的運動，而約束關係表述了質點系運動乘積空間的一個子流形。而牛頓定律沒有牽涉這種子流形上的運動規律，因為這不是本質的，牛頓時空觀下空間就是歐氏的。

而拉格朗日方程可以直接考察子流形上的運動規律，它可以看成牛頓方程的推廣。對於一個圓周運動，用位置、速度描述要4個量，兩個位置分量、兩個速度分量，還要考慮位置分量的約束關係 $x^2+y^2=R^2$ 。而選擇角位置，角速度不但只有兩個量，而且不用考慮約束。而且我們可以類比出角加速度，角動量，力矩等和直線運動類似的東西。但這隻解決了圓周運動的問題，世上這麼多約束，我們那去找那麼多方程和概念，就不能統一描述嗎？當然有，這就是廣義坐標、廣義速度、廣義力啊。他們的關係當然不服從牛頓方程，而想直接描述它們只能靠拉格朗日方程。

當然拉格朗日方程不是萬能的，它從一開始就是廣義坐標空間中的問題，要讓這個空間存在，限制很大，首先約束要可積，見了微分約束就要抖三抖，不可積就只有乖乖加乘子，結果又多出方程了，和牛頓方程區別不大。其次見了不能用廣義勢能描述的廣義力也不爽，因為這樣作用量很難看不說，而且推拉格朗日方程也很難受，但好歹能將就一下。

這麼看來哈密頓體系不是更難受了嗎？只能管有廣義勢能的廣義力。雖說相空間把廣義動量和廣義坐標放在等同的位置上，而不是像拉格朗日方程中廣義速度就是廣義坐標的導數，這使得幾何約束和微分約束似乎沒了區別，但你要保證廣義動量和廣義坐標一一正則配對，或者裝B一點你要保住辛結構，那麼約束還是幾何的好。

但正如剛才所說，把廣義坐標和廣義動量放到同等的地位是非常重要的，因為這不但把方程降了一階，讓數學研究方便得多，很多微分方程的定性規律可以套了，而且數值計算的可靠性保證也是手到擒來。

也就是說能解析解的方程，哈密頓方程沒有任何優勢，反而還搞複雜了，不如直接上拉格朗日方程，但沒有解析解時，優勢就來了，我們不必解出方程就可以從哈密頓量里看出很多規律來，比如這裡有個吸引子，那裡在振蕩，這個量是守恆的。

還有一個很厲害的東西叫泊松括弧，這個玩意兒可以幫助你迅速鎖定守恆量，它還有個裝B的名字叫做辛形式，是辛幾何的基礎，就像度規之於黎曼幾何一樣。而且就是它演變出的對易關係成為了量子力學的基礎。

拉格朗日力學的話，運動方程時二階的；哈密頓系統是一階的，並且擁有相空間這個概念。

拉: 二階微分方程, 描述簡單, 求解難. 因為描述簡單, 且有物理意義, 所以用于思維, 用於理論推導, 有優勢. 公式中很少出現平方和之類的複雜運算.

哈: 一階微分方程, 因此元數要從n元提高到2n元. 求解要容易很多, 也有很多線性項, 更容易矩陣化, 更容易讓計算機演算法理解. 但是增加的n元中, 很多沒有實際的物理意義, 稱為"相變數", 只有數學含義. 個別能找到物理意義的, 往往是該具體問題領域的一個小突破.

還有兩個達朗貝原理, 伽利略-牛頓的體系, 與現實世界對應更緊密, 但是對於複雜問題思考的時候, 缺少系統性, 對於小規模問題, 很快捷, 但是對於大規模系統, 容易算重.

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哈, 是拉, 降維攻擊的工具. 高階智能用拉理解問題, 然後用哈進入到低階智能的世界, 用一階微分來解決問題.

逼格高的（和量子力學，廣相聯繫的）樓上都回答了，我這裡就舉一個經典力學裡，直接體現哈密頓力學優勢的例子：

哈密頓力學得到的一個結論就是liouville theorem，由此定理可以解釋為什麼在行星運動的數值解中，歐拉法得出不穩定不閉合的解，而Euler-Cromer法可以得出正確的解——因為後者可以保證相空間體積更接近守恆。

而拉格朗日力學在分析守恆量的時候會有優勢，因為有的時候L可能是不顯含類似於q=x1^2+x2^2這樣的廣義坐標

謝邀

1.很方便於守恆量和對稱性的討論吧，

2.方便於推廣經典力學（統計物理，場論…），

3.不用考慮複雜的矢量方程

目前只想到這些。

謝謝！