撲克牌中的八個3，四個人隨機分，已知我方沒有3，問其他三方某一方獲得不少於4個3的概率？

01-05

進一步，如果我方有1個3呢，其他某一方獲得不少於4個3概率多大？
……自己算了會，先算出 $frac{11}{12}$ ，又覺得算得不對，請教下該怎麼算才正確呢？
關鍵在於學的概率論中，都是 $p$ 和 $eg p$ ，而這個是 $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ ( $sum_{}^{}{p_{i} } =1$ )，煩各位指教。

古典概率本質是計數問題，八張牌分給三個人的不同分發可以用

$(a+b+c)^8$ 來表示，a的指數是第一個人得牌數，b是第二個人，c是第三個人，展開之後每一項是

$C_8^{n}C_{8-n}^ka^nb^kc^{8-n-k}$

然後去數一下有一項不小於4的項數前面係數的和就可以了，要除以的底數是所有項的和，把a=b=c=1代入就可以得到是 $3^8$

自己有一個的時候，把8換成7就行了。

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原答案的確沒有考慮分牌方式的問題，如果按照正常撲克牌玩法，一共108張牌，每個人分到數量均等的牌，答案需要修正。當然，修正完仍然是一個比較簡單的計數問題。

108張牌，每個人分到27張，這27張牌看作27個位置。有一個人沒有8，那麼有效的位置還剩下81個，把8張牌放到這81個位置中，一共有 $C_{81}^8$ 种放法。有一個人有4條的總數則為：

$3 cdot sum_{k=4}^8C_{27}^kC_{54}^{8-k} - 3C_{27}^4C_{27}^4$

最後減去的3是因為可能出現有兩家同時拿到4條，共三種情況，這三種情況重複計算了一次因此要減去。

計算結果為0.7199

8張換成7張，方法不變，不過不再出現重複計算因此不用減了

理論計算

假設牌的張數是 $4n+8$ ，因為有8個4，所以根據題目意思，應該是兩副牌，也就是說 $n=25$ ，並假設下面事件

$A$ ：我沒有4

$B$ ：另外三個人至少一個人有4個4

$ar{B}$ ：另外三個人至多只有3個4。

題目要求得是：

$P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)}=frac{P(A)-P(Aar{B} )}{P(A)}=1-frac{P(Aar{B} )}{P(A)}$

事件 $Aar{B}$ 即我沒4，且另外三個人都至多有3個4，那麼另外三個人必然是一個人2個4，另外兩個人3個4，則

$P(Aar{B})=P(AC_{1} )+P(AC_{2} )+P(AC_{3} )$

其中事件 $AC_{i}$ 表示我沒有4，另外三個人第 $i$ 個人有2個4，另外兩個人3個4，顯然有

$P(AC_{1})=P(AC_{2})=P(AC_{3})$

對於事件A

$P(A)=frac{C_{4n}^{n+2} ast C_{3n+6}^{n+2} ast C_{2n+4}^{n+2} ast C_{n+2}^{n+2} } {C_{4n+8}^{n+2} ast C_{3n+6}^{n+2} ast C_{2n+4}^{n+2} ast C_{n+2}^{n+2}} =frac{C_{4n}^{n+2}}{C_{4n+8}^{n+2}}=frac{(3n-1)(3n)cdot cdot cdot (3n+6)}{(4n+1)(4n+2)cdot cdot cdot (4n+8)}$

$P(Aar{B} )=3P(AC_{1})=frac{3 ast C_{4n}^{n+2} ast C_{3n-2}^{n} ast C_{8}^{2}ast C_{2n-1}^{n-1} ast C_{6}^{3} ast C_{n-1}^{n-1}ast C_{3}^{3} } {C_{4n+8}^{n+2} ast C_{3n+6}^{n+2} ast C_{2n+4}^{n+2} ast C_{n+2}^{n+2}}$

可以得到

$P(B|A)=1-frac{1680n^{2}(n+1)^3(n+2)^3}{(3n-1)ast (3n)cdot cdot cdot (3n+6)}$

代入本題中 $n=25$ ，得到

$P(B|A)=frac{879589}{1221814}$

另外，當 $n ightarrow infty$ 時，可以得到前面 @木水小亭的結果，也就是 $frac{1627}{2187}$

模擬

對於108張牌，假設編號0~107,我們的8個4編號為0~7，每次從0~107中隨機選出8個互不相同的數作為這8個4在108張牌中的位置，然後假設我得到編號 $4k$ 的牌，其它三人 $4k+1$ $4k+2$ $4k+3$ ，統計每個人得到4的張數，模擬多次，用頻率來近似 $P(B|A)$

package cards;


import java.util.Arrays;

import java.util.Random;
public class Test {

	public static int[] generate(int[] arr,int n){

		int i=0;

		int exclusive=0;

		int choose=-1;

		int size=arr.length;

		for(i=0;i&=4||count[2]&>=4||count[3]&>=4){ //有人3個4

					m2+=1;

				}

			}
			Arrays.fill(count, 0);

		}

		System.out.println("共模擬次數"+n);

		System.out.println("第一個人沒起到4次數      "+m1);

		System.out.println("第一個人沒起到4,其它人有大於3個4   "+m2);

		double p=m2*1.0/m1;

		System.out.println("估計概率值"+p);

		double e=m2*1.0/m1-879589.0/1221814;

		System.out.println("與計算值誤差"+e);

	}

	public static void main(String[] args) {

		int n=1000000;

		simulate(n);

	}

}

一次運行截圖

自己回答自己的問題了!感謝 @靈劍的回答分享，很有幫助（公式其實是一樣的），謝謝！

實在沒臉，剛剛看完概率論這本書，又翻了一下，發現這不就是書本上的多項分布的內容嗎？真是獻醜，無顏面對自己。

以下說明多項分布：

進行n次獨立重複試驗，每次有r個互不相容結果： $A_{1},A_{2},...,A_{r}$ ,每次 $A_{i}$ 發生的概率為 $p_{i}=P(A_{i}),i=1,2,...,r$ ，記 $X_{i}$ 為n次獨立重複試驗中 $A_{i}$ 出現的次數。

貼公式： $(X_{1},X_{2},...,X_{r})$ 取值為 $(n_{1},n_{2},...,n_{r})$ 的概率如下：

$P(X_{1} =n_{1} ,X_{2}=n_{2},...,X_{r}=n_{r})=frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{r}!} p_{1}^{n_{1}} p_{2}^{n_{2}} ...p_{r}^{n_{r}}$

其中 $n=n_{1}+n_{2}+...+n_{r}$ 。

依照本問，其他三人 $A_{1},A_{2},A_{3}$ 每次獲得1張3的概率各為 $frac{1}{3}$ ，即 $p_{1}=p_{2}=p_{3}=frac{1}{3}$ ,而其對立事件為 $(X_{1},X_{2},,X_{3})=(2,3,3)cup (3,2,3)cup (3,3,2)$ 。由此可知：