線性代數中，向量空間的子空間的「和」與「直和」，這兩個概念的區別是什麼？

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「直和」的要求更高：要求所有子空間中的向量能夠通過向量加法運算，唯一組成向量空間中的一個向量（或者說，子空間中選取的各個向量線性無關）；而「和」，不一定要求唯一組成這個向量空間中的向量（或者說，允許子空間中選取的向量線性相關）；不知道這樣理解對不對？更不知道這樣的定義為了什麼？求高人指點。

你的理解是對的。這個定義的意義可以這樣看，二維平面上，x軸是一個一維線性子空間，y軸是另一個一維線性子空間，平面上所有向量都是這兩個子空間中各取一個向量由通過向量加法得到，並且這種表示方式是唯一的。

直和是一種特殊的和。這種和和其它的和相比有一種＂獨立性＂，蘊含一種＂分治＂的思想。希望我能說明白這種感覺。

先看兩個定理

定理：幾個空間構成直和關係，在毎個空間取一個向量，若它們的和為零向量，則取出的每個向量均為0向量

定理：在直和空間中的向量的用構成這個直和的幾個空間的向量的和做表出，表出方式唯一。

似乎，直和這種特殊的和好像在說:分析問題時，只需將問題投影到構成這個直和的幾個空間上去分別解決，再把這幾個結果合併起來就得到原問題的解。

也就是說，在一個空間中給一個問題，可以把空間分成幾個空間的直和（分），在幾個小空間解決問題（治），然後把解合併（合）就有了問題的解。

回看那兩個定理，它實際上就是告訴我們：各個子空間之間是獨立的，各個子空間互不干擾。在子空間0向量表出方式唯一，那麼在直和空間中0向量表出方式依舊唯一。另一個定理也可類似理解。

這兩個定理給了我們在直和空間中解決問題的方式：分治的理論基礎，而這兩個定理本身也是用分治的方式給出的。能使用分治的根本原因是因為各空間的向量間線性無關，各空間相互獨立，於是在分治的最後步：解的合併時只需要把解＂疊加＂一下即可。

數學還有概念有類似的意思：微分方程解的結構，拓撲基等等。

當你為一個概念找到了背後的動機，找到了一種直覺，一種感覺，這概念就屬於你了。就隨便用吧！

和比直和一般，也就更靈活，而直和是特殊的和。和更加一般，不用考慮相加是什麼，相交是什麼，或者說它允許所有這些可能的情況。而把這些情況中非常特殊的一個情況單獨拿出來定義成直和。因為直和是平行四邊形分解的推廣，給出直和以後向量的分解就存在且唯一了。因為存在性和唯一性而產生的直和的定義。比如兩個子空間的直和，相加等於整個空間對應了存在性，而相交為0對應了唯一性。

a往x軸和y軸的投影就是a的分解，因為x+y是整個平面，x交y等於0，所以平面上任意向量的分解都存在且唯一。

直和對應的投影P1,P2

I=P1+P2

a=Ia=(P1+P2)a=P1a+P2a=ax+ay

這就是平行四邊形分解，它的推廣，直和的子空間不一定是一維的，而且也可以是多好空間的直和。從直和引出的投影是值得考慮的內容。

子空間的和對應集合中的並集

子空間的直和對應集合中的不交並

子空間的0對應集合中的空集