有哪些值得一讀的介紹數學史的書籍？

01-05

《數學的建築》[法] 布爾巴基等著

布爾巴基就是著名的法國布爾巴基學派。全書集合了多位大師的演講稿，會議筆記等。雖然不是直接介紹數學史，但從中隱約地感受到現代數學的發展過程。這本書里可以看到在20世紀中具有重要地位的學派的思想、現代數學分支關係，基本的研究思路。但專業性還是很強的，可能要學會泛函分析後再看，才會感覺掉裡面的精彩。

摘錄一些段落，主要介紹的是現代數學的核心——公理體系：

這一段話，總結了數學分支的分類，強調數學結構的重要性和其分類。後面可以看到，數學結構之於數學中就如同磚塊之於建築，這也應該是這本書名字的由來。

（一）數學的統一性

19世紀以來,特別是20世紀數學的領域空前的擴大,新學科、新領域大量湧現,數學呈現空前的多樣化局面。它有些像人類面對的自然界中,動物、植物、礦物所顯示出的千姿百態、豐富多採的世界。一般人可以局限於特殊事物,而科學家就是要理解它們之間的關係,也就是自然界的統一性。現代數學家可以只去考慮自己某一狹窄領域裡的特殊問題,而布爾巴基則要探索其間的共同點,也就是數學的統一性。他們強調,數學不僅僅是各個學科的簡單總和,數學各領域之間有著千絲萬縷的聯繫,而且各種問題的價值並不一樣。最有價值的數學,就是與各個領域有密切關係的問題,而比較孤立的問題往往是意義不大的。

狄奧多涅曾把問題分成六大類:

(1)沒有希望解決的問題。例如完全數問題、費爾馬素數的判定問題、歐拉常數的無理性問題,等等。它們之所以難於解決,是由於不能發現同其他的數學理論的聯繫,其本身也找不到結構,這些往往是很孤立的問題,在初等數論中特別多。

(2)沒有後代的問題。所考慮的問題有可能得到解決,但是它的解決對於處理其他任何問題沒有什麼幫助。許多組合問題就屬於此類。這主要是它們比較孤立,與其他數學理論沒有聯繫。

(3)產生方法的問題。有些組合問題及有關數論的問題,其本身比較孤立,它們的解決對於其他問題的解決幫助並不大,特別是對於其他理論影響不大。但是,為了解決原來的問題,可以從中鑽研出一些有用的技巧甚至方法,利用它們可以處理相似的問題或者更困難的問題。例如解析數論中哥德巴赫(C.Goldbach)問題、孿生素數問題、超越數論問題以及有限群論中的一些問題。這些問題雖然比較孤立,但是創造出的解決方法影響卻不小。這些方法的本質以及內在的結構還值得進一步探索。

(4)產生一般理論的問題。問題從特殊情形開始,但是由於揭示出了難以預測的隱蔽結構的存在,不僅解決了原來的問題,而且提供了有力的一般工具,可以解決許多不同領域的一批問題。從而,問題本身發展成為生機勃勃的分支學科。代數拓撲學、李群理論、代數數論、代數幾何學等主要問題都是屬於這個類型。

(5)日漸衰落的理論問題。正如希爾伯特所強調的,一個理論的繁榮要依靠不斷提出新的問題。一個理論一旦解決了最重要的問題(從本身意義上來看或者從與其他數學分支的聯繫上來看)之後,往往就傾向於集中研究特殊的和孤立的問題。這些問題都很難,而且前景往往也並不是十分美好。例如單複變函數論的某些分支。不變式理論就曾經有過多次起落,而主要是靠找到了同其他數學領域的聯繫才獲得新生的。

(6)平淡無聊的問題。由於理論中某些特選的問題幸運地碰到好的公理化,而且得以發展出有用的技巧和方法,就導致許多人沒有明確的動機就任意地改變公理,得出一些「理論」,或平行地推出一些沒有什麼實際內容的問題。這種為公理而公理的「符號遊戲」,在數學中佔有相當的比例。

布爾巴基強調的主要是第4類問題,間或有少量的第3類問題。因此,儘管布爾巴基所選擇的主題內容龐雜、數量繁多,很難掌握,但是它們的特點在於其突出的統一性。其中,沒有一個理論的思想不在其他一些領域中反映出來。而且,從布爾巴基討論班上反映出來的也正是他們時時注意的,屬於當前主流的理論。主流的特徵在於各個理論與分支之間有著多種多樣的相互聯繫而且彼此之間不斷在施加新的相互影響。

一個理論不是永遠處於主流而不再變動的。像非交換、非結合代數、一般拓撲學、「抽象」泛函分析等等,都曾一度處於主流,不過後來有意義的問題越來越少,同其他分支也脫離得越來越遠,並且偏於一些過分專門的問題或者搞一些無源之水式的研究,結果逐步偏離開了主流,也就偏離開了布爾巴基的選擇。

（二）數學結構是數學統一性的基礎。

在數學歷史上,有過多次統一數學的想法,而布爾巴基的獨創之點就是提出數學結構的概念,並以此為數學統一的基礎。

結構的基礎是集合。集合的概念較為簡單,它只涉及集合、元素以及元素屬於集合這種簡單關係。它不討論元素和元素之間的關係,而元素與元素之間以及元素與子集合、子集合與子集合之間的各種關係,我們就稱為結構,它構成布爾巴基統一數學的基礎。

定義數學結構的方法,布爾巴基仿照他們的前輩希爾伯特、E.諾特(EmmyNoether,1882–1935)以及范·德·瓦爾登(B.L.VanderWaerden,1903–1996)的抽象化、形式化及公理化的方法。通過這種方法,各種結構的相似和差異以及它們的複雜程度都一目了然。它們可以構成研究具體的數學對象的基礎,通過結構的分析則可以看出各領域的親緣關係。

(三)數學結構的分類。

布爾巴基提出,在數學世界的中心,是結構的幾個主要類型:代數結構(群、環、域),序結構(偏序、全序),拓撲結構(領域、連續、極限、連通性、維數),它們可以被稱為母結構,或者是核心結構、基礎結構。每一種類型的結構又各有許多分支,而且彼此間有一定關係,它們都由公理來決定。更進一步,兩種或多種結構可以複合而成更複雜的結構,每種結構都保持其獨立性,但是它們之間可以通過映射、運算等關係聯結在一起,複合結構最簡單的例子是向量空間。此外還有多重結構,如果一個集合同時具有兩種或兩種以上的結構,這些結構之間有一定關係並且彼此相容,就稱為一種多重結構。多重結構很多,如偏序群、全序群、拓撲群、拓撲環、拓撲域、偏序拓撲空間、拓撲向量空間等等。

通過對結構的分析,數學的各個分支也就在統一數學的框架之內,形成一個嚴整的體系。狄奧多涅在《純粹數學大觀:布爾巴基的選擇》一書中,把數學主流學科分為A、B、C、D四個等級。A級為當前最活躍的10門學科,即代數拓撲學與微分拓撲學、微分幾何學、微分方程、遍歷理論、偏微分方程、非交換調和分析、自守形式與模形式、解析幾何學、代數幾何學、數論。這些都是數學的最上層建築。在它們的下面是B級學科,這些學科已比較成熟,與其他學科目前的關係不像以前那麼密切,它們是:同調代數學、李群、「抽象」群、交換調和分析、馮·諾伊曼(Von Neumann)代數、數理邏輯、概率論。C級則更為基本,共包括有:範疇與函子、交換代數學、運算元的譜理論。A、B、C三級共20個學科,它們被布爾巴基認為是當前數學中處於主流的學科。作為它們的基礎的是D級,共分6門:集合論、一般代數學、一般拓撲學、古典分析、拓撲向量空間、積分。這6個「基礎」學科正好是布爾巴基在《數學原理》中所整理的內容,經過布爾巴基的整理,它們大都已經定型,布爾巴基認為其後的發展不會太大了。

這一段形象說明了，結構就像預先製造的工具，在需要使用的時候就供以使用。所以他是數學的基石。

數學工具的標準化

我們可能已經講得足夠多,使得讀者對於公理方法有一個相當精確的觀念。顯然由前面所講的,它最突出的特色就是產生高度的思維經濟。「結構」對於數學家來說是工具;一旦他在他所研究的元素當中認出某種關係,它們滿足已知類型的公理,那麼,他馬上就有屬於這種類型結構的一般定理的整個武庫供他隨意使用。可是以往他就不得不親手創造解決他的問題的武器;而這些武器的威力大小就要靠他個人的才能,並且由於他當時研究的問題的特殊性,往往還要加上許多限制性的假定。我們可以這樣說,公理方法就是數學中的「泰羅制」。

然而,這是一種很不恰當的類比;數學家不是像一台機器那樣工作,也不是像工人在傳送帶旁那樣幹活;我們不能過分強調在他的研究工作中特殊的直覺所起的重要作用,這種直覺並非通常所說的感官上的直覺,而可以說是(在所有推理之前)對於正常行為的一種直接的預見,他好像有權預期數學的結果,由於他同數學存在長期的認識,使得他對它們的熟悉程度就跟他對現實世界的凡人的了解一樣。現在,每一種結構都帶有自己一套語言,充滿著許多特殊的直觀參照物,它是由上面所描述的公理分析得出的結構所依據的一些理論推導出來的。並且,一位研究工作者在他所研究的現象當中忽然發現了這個結構,就好像把他的直覺思路突然一下子調整到一個沒有料到的方向,或者好像在他漫步的數學的風景區中投下一束新的光線照亮了這塊地方。作為一個古老的例子,讓我們回想一下在19世紀初期由於虛數的幾何表示所帶來的進步。對於我們來說,這也就相當於在複雜集合中發現了一個眾所周知的拓撲結構—歐氏平面的拓撲結構,連同所涉及的各種應用的可能性。在不到一個世紀中,它經由高斯、阿貝爾(N.H.Abel)、柯西和黎曼的努力,給分析注入了新的生命。近50年來,這種實例不斷地出現:希爾伯特空間,或者更一般的函數空間,在元素不再是點而是函數的集合上建立起拓撲結構;亨塞爾(K.Hensel)的p-adic數理論以更為令人驚訝的方式使得拓撲一直侵入到當時離散的、不連續性占統治地位的領域例如整數集合中去;哈爾(A.Haar)測度極大地擴展了積分概念的應用範圍,而且使連續群的性質能夠得到非常深刻的分析。所有這些都是數學進展中決定性的事例,也是一些轉折點,在這個轉折點天才的靈機一動,通過在其中揭示一種結構而使得理論帶來一個新的方向,而這種結構事先看來似乎和這種理論毫不相干。

總括說來,數學比以前任何時候都不像過去那樣歸結成個別公式的純粹機械遊戲,也比以前任何時候使得直覺在發現的誕生中占統治地位。但是,從今以後,數學具有幾大類型的結構理論所提供的強有力的工具;它用單一觀點支配著廣大的領域,它們原先處於完全雜亂無章的狀況,但是現在已經由公理方法統一起來了。

從公理的觀點看來,數學就表現為抽象形式—數學結構的倉庫;而且也出現——我們不知道為什麼——經驗的現實本身適合這些形式就好像預先訂做的一樣。自然,不可否認,這些形式中大多數原先具有非常確定的直觀內容;但是正是通過小自地扔掉這個內容,才有可能賦予這些形式以及它們所能顯示的威力,並且使得自身易於接受新的解釋並發揮出它們的全部威力。「形式」這個詞只是在這個意義下才能使我們把公理方法稱為「形式主義」。

它賦予數學的統一性並非形式邏輯(無生命的骨骼的統一體),它是有機體在它整個發育過程中的營養液,是方便和多產的研究工具,自從高斯以來所有偉大的數學思想家都致力於製造這種工具,用狄利克雷的話來說,他們總是孜孜不倦地試圖「用觀念來取代計算」。

舉例說明了，基石是如何搭建成建築的。

現在讓我們在公理概念的引導下,試著去縱覽整個數學世界。的確我們不再承認事物的傳統秩序,這種秩序就好像動物物種的最初分類命名一樣,只限於把外觀看來最為相近的理論一個接一個地排在一起。與過去那種把數學截然劃分成代數、分析、數論、幾何等隔開的區域不同,我們將會看到,比如說,素數理論是代數曲線理論的近鄰,或者,歐幾里得幾何積分方程理論搭界。我們的組織原則將是結構層系的概念,這些結構由簡單到複雜,由一般到特殊,形成整個一套層系。

在數學世界的中心,我們可以看到結構的幾大類型,其中主要的類型我們在上面已經提到過,它們可以稱為母結構。在這些類型當中每一個類型又存在許許多多分支;我們必須把所考慮的類型中最一般的、具有公理數目最少的結構同添加輔助公理而使該類型更加豐富所得出的結構加以區別,從每一條輔助公理我們又可以得出許多新推論。因而,在群論中,除了包含對於所有的群都成立,只依賴於上述公理的一般結論之外,還包含有限群論這種特殊理論(通過添加輔助公理「群的元素數目是有限的」而得出的),阿貝爾群論這種特殊理論(其中對於所有和,滿足=),以及有限阿貝爾群論(其中假定這兩個公理同時成立)。同樣,在有序集合的理論中,我們特別可以注意到這樣的集合(例如整數集合或實數集合),其中任何兩個元素都是可以比較的,這種集合我們稱之為全序集合。在全序集合中,我們又可以集中注意所謂良序集合(正如大於零的整數集合一樣,其中每個子集包含一個「最小元素」)。在拓撲結構之中也存在類似的層次。

在最原始的核心之外,出現了一些結構,我們可以稱為多重結構。它們同時包括兩個或多個大的母結構,這些母結構不是簡單地疊加在一起的(這樣不會產生任何新的東西),而是通過一個或幾個公理有機地結合在一起,這些公理正是用來建立這些結構之間的關係的。這樣一來我們就有了拓撲代數。它研究這樣的結構,其中同時出現一個或多個合成律以及一種拓撲,它們通過下麵條件聯繫在一起:代數運算是它所運算的元素上的(在所考慮的拓撲之下的)連續函數。代數拓撲也是同樣重要的,其中由拓撲性質定義的空間中的某些點集(單形、閉鏈等等)本身可取做元素,在這些元素上合成律可以作用。序結構和代數結構的結合也產生豐富的結果,其中一個方嚮導致整除性理論和理想理論,另一個方嚮導致積分和運算元的「譜理論」,在後一情況下,拓撲結構也參加進來了。

沿著這條路走下去,我們最後就來到所謂特殊的理論。在這些理論中,所考慮的集合中的元素,它原來在一般的結構中一直是完全不特定的,現在就得到可以刻畫得更加確切的個性。這時就湧現出來經典數學的理論:實變函數或複變函數的分析學、微分幾何學、代數幾何學、數論。但是,它們現在已經不是早先那種自成體系的局面;它們現在成了十字街頭,在這裡幾個更一般的數學結構碰到一起並且彼此相互作用。為了得到一個正確的圖景,我們在給出這種速寫後,必須立即聲明,這種速寫必須看成只不過是數學現存的真實狀況一個極為粗糙的近似;這種速寫是概括的、理想化的並且是死板的。

概括的——因為在具體細節中,事情並不像上面所敘述的那樣簡單而有系統。除了其他情形之外,還出現一些想不到的逆運動,其中一種特定的理論(像實數理論)對於構造一般的理論(如拓撲和積分理論)提供必不可少的幫助。

理想化的——因為在數學的各個領域中,每種大結構所起的作用遠遠不是都明顯地認識到並且能區分出來;在某些理論中(例如數論),還保留著大量的孤立的結果,它們不太可能分類也不能夠和已知的結構滿意地聯繫在一起。

最後,死板的——因為沒有什麼東西要比科學靜止概念離公理方法更遠了。我們不想引導讀者有這樣的看法,即認為我們聲稱我們已經描述了這門科學的最終確定的狀況。結構無論在數量上還是在它們的本質內涵上都不是永恆不變的。十分可能在數學的未來發展中,基本結構的數量可能增加,它揭示新公理或者公理的新結合十分富有成果。我們能夠由現在已知的結構得出的進展,來事先估計到由發明新結構導出重要的進展。另一方面,這些已知結構也決非完工的大廈;假如所有的本質都已經由它們的原則中抽取出來,那就真是一件令人大為驚訝的事。因此,通過這種必不可少的修正,我們可以更好地意識到數學的內在生命,認識到數學的統一性,同樣也認識到數學的多樣性。數學好像一座大城市,它的郊區在周圍的土地上不停地有點雜亂無章地向外擴展,同時市中心隔一段時期就進行重建,每一次設計更加明確,布局更加雄偉,總是以老的住宅區和它們迷宮式的小街道為基礎,通過更直、更寬、更舒適的林陰大道通往四面八方。

最後感受下大師的旁徵博引。。。。

甚至在阿貝爾擴張的領域,對克洛耐克(Kronecker)的「青春之夢」定理的推廣,我們還沒有取得任何進展。這就是通過解析函數的值來生成類域,雖然其存在性已經知道。雖然完成克洛耐克的未竟之業,通過複數乘法得到這個問題在虛二次數域的解可能已經沒有很嚴重的困難,希爾伯特認為其一般問題是現代數學最重要的問題之一。儘管希爾伯特有種種猜想以及他許多學生的努力,但解決這個問題的關鍵仍然非常渺茫。也許我們必須在西格爾(C.L.Siegel)新的自守函數(例如多變元模函數)中去找?或許最近取得相當進展的阿貝爾簇的自同態理論對解決這個問題是否有點幫助?也許對這些問題冒險提出可靠的猜想現在還為時尚早,但是仔細考慮上面這些問題肯定會得出有趣的結果,哪怕是反面的結果也好。上面的討論不僅清楚地顯示現代數論生氣勃勃,而且顯示它與群論與函數論的最深刻的部分之間的緊密聯繫,在這方面今天也正像歐拉的時代和雅可比(Jacobi)的時代一樣。這種以如此多彩多姿的方式表現出來的豐質的統一性,在其他許多地方也同樣可以找到。厄米特(C.Hermite)在數論中引進連續變元導致對於具有算術性質的不連續群的系統研究,而研究工具則藉助於這些不連續群所能嵌入的連續群、與這些群相關聯的對稱黎曼空間、它們的基本域(或用現代的術語來講,它們的商空間),以及屬於它們的自守函數。西格爾的工作繼承了狄利克雷、厄米特和閔可夫斯基(Minkowski)的偉大傳統,已經在這方面開闢了全新的途徑。一方面我們又聯繫上費爾馬、拉格朗日(Lagrange)、高斯關於用型來表示數以及二次型的種的工作。同時,我們開始更明顯地見到一個極為富有成果的原理;按照這條原理,算術問題的全局方面在某些情形下可由其局部方面重新構造出來。例如,我們從西格爾的工作中一再地看到某些算術問題在有理數域中的解數可由相應的局部問題所決定的數目(即在實數域以及對所有素數p的p-adic域中解的密度)表示出來。這個原理類似於代數曲線的黎曼曲面的留數定理,我們還可以把它同「奇異級數」聯繫在一起,這個級數是哈代-李特伍德(Littlewood)方法在解解析數論問題時所出現的。是否可以把這個原理表述為一個普遍的命題,就像由於留數定理的發現使得我們能通過單獨一種方法來計算出許許多多積分和級數,而在這之前,這些積分和級數都要用不同的特殊方法分別加以計算?看來它還不是一個馬上就能解決了的問題,但更重要的是研究適當選定的特殊情形準備予以解決。可能有朝一日,這個原理能揭示出歐拉乘積的存在性的深刻理由,它對於數論及函數論的重要性只是通過海克(E.Hecke)的工作才逐步變得明顯起來。這裡我們討論的是二次型的類,而不像西格爾的工作那樣只討論它們的種;同時,在模函數理論(它由於這些研究完全獲得新生)以及。函數理論中的核心部分中我們也看到它。這個領域仍然充滿了神秘,它引起如此眾多、如此神秘的問題,以致我們能按照它們重要性的順序加以排列還為時尚早。但是,西格爾同時教導我們,如何通過算術方法構造不連續群和自守函數;在這個領域,從龐加萊時代起,單純函數論已不能使它前進一步。的確這很像單複變函數論的情形,深入研究特殊的多複變函數將為研究一般的理論打下基礎。在西格爾的工作中,對基本域(實際上是具有復解析結構的流形)所進行的局部的和大範圍的幾何研究,傾向於起著突出的作用。沿著這條路走下去,就同E.嘉當所完成的巨大工作及其在各方面的推廣產生聯繫,同時,我們也進入近代拓撲學的中心——纖維空間理論,這時史梯費爾(Stiefel)-惠特尼(Whitney)不變數以及它的許多推廣出現了;這兩個領域之間存在著密切聯繫已經猜想到有一段時間了。但是它們之間交會點的出現只有在中國幾何學家陳省身(S.S.Chern)的發現後才有可能,而這個發現至少部分是由於代數幾何的考慮。實標上,代數簇,至少複數域上沒有奇點的簇,只不過是具有復解析結構的流形中特殊的但特別有趣的一類;精確來講,它們是這樣的流形,至少在所有己知的情形下,其上可以定義一種最重要的厄來特度量,這種度量是由凱萊(A.Cayle)引進的,與多複變函數有關,而且還沒有完全闡述清楚的伯格曼(S.Bergman)的結果也提供這種度量的另外的例子。最近,浩治(Hodge)通過系統地但還不太明顯地運用這些度量首次得到這種類型流形的頭一個存在定理,這個定理推廣黎曼的古典結果,也許,希望這些方法有朝一日會導致代數簇的單值化(與曲線的情形相反,它一般可能不用非分支函數來單值化)可能太過分,但它已經可推廣到第二類和第三類積分,無疑為一般的黎曼-洛赫(Roch)型定理鋪平道路。把浩治方法類似地推廣到實數域上具在奇點的微分形式上會產生更為重要的問題;它一方面關係到調和微分形式所滿足的橢圓型方程組的局部性質,另一方面,它似乎與德·拉姆(DeRham)理論的推廣不可分,而這就可以通過真有奇點的微分形式來表示一個流形的同調撓元。事實上,如果說,德·拉姆的結果明確地闡明同調群和重積分關係的某些方面,而且由此在浩治和陳的工作中起著重要作用,那麼直到現在,微分方法除了實係數調擁群之外,還無能為力;此外,在這些結果中顯示出鏈與微分形式之間有著強大的、富有成果的類似性,但是,在我們成功地發現這兩個概念的共同基礎之前,它仍然只不過是一個啟發思考的原則,而把這個原則轉變成一個證明方法至今也只在少數特例中取得成功,例如,阿爾弗斯(Ahlfors)近年來這樣做給解析函數論以新的生命,他成功地把微分形式表示為鏈之和(通過鏈空間的拉東[Radon]測度)。但是,我們上面已看到,代數幾何學也從拓撲學和微分幾何學的最近發展中獲得新的剌激。這個領域也不缺少純代數的問題,由於近世代數學的初等方法,我們對它們的理解再也不需要依靠少數特殊人物的直覺的一閃念了。當今,被義大利學派光輝地而且極為迅速地發展起來的曲面理論,必須讓位於代數簇的一般理論,其中不再對基域的性質以及沒有奇點等作出限制性的假定。其中首先需要解決的問題是在各種不同的已知的等價概念(線性等價、連續等價、數值等價)之下除子類群的結構,以及代數函數域的非分支擴張(先是阿貝爾擴張,然後是非阿貝爾擴張)的研究。由於義大利幾何學家所得到的結果,至少是他們弄得比較可靠的結果,使我們多少能猜出答案來;而這些問題的解決也許已經在我們的能力範圍之內,它必將開闢取得重大進展的途徑。另外一方面,關於各種特殊常數域上代數幾何學的研究還是處於初步摸索的階段。而複數域上的代數幾何學已經研究了差不多一個世紀了,它通過自己的方法(拓撲方法和超越方法)已經得到眾所周知的重要結果,由此看來很可能其他的域,如有限域、p-adic域、代數數域也需要通過適合本身目標的方法去進行研究。從這種觀點看來,有限域上的幾何學似乎像一種轉盤,從它可以導向各方面研究,或者通向代數幾何學本身(利用已經隨它使用的有力工具),或者通向數論,在這方面,正是由此我們開始對θ函數的性質以及黎曼猜想的本性得到更深刻的認識。同樣,在通過其局部性質來決定代數數域的擴域之前,或許最好去解一個類似的問題,這個問題也相當難,即考慮有限域上單變數代數函數域的問題,也就是把黎曼存在定理推廣到這類函數上面。這裡我們只提一下一個特殊情形,我們可以問:對於由模群結構決定的只有3個分支點的單複變函數域,以及常數域是有限域時,(至少當擴域的次數與有限域特徵互素時)素數次擴域這兩種情形,模群是否起相同的作用?這些問題也不是不可能都用一種統一的方法去解決,它可以由特徵0時的證明(例如通過拓撲方法)的結果推出特徵p情形的相應結果。如能發現這樣一個原理,那就成了最重要的進展。現代對有限群論的研究中所出現的問題也有同樣的特點,而且還更困難一些,有限單群理論與單李群理論有沒有類似之處?在當前開始研究這個問題可能為時過早;但是通過間接步驟,特別是研究p群,近年來已經在這方面取得某些進展。正如許多其他代數及數論問題一樣,通過給抽象群定義同調群給群論引進了新的因素;它是由愛侖堡(Eilenberg)和麥克萊恩(S.MacLane)引進的,他們聯繫到H.浩卜夫(H.Hopf)關於純粹組合拓撲學的研究而得出的,它的發現推廣了十分富有的成果特徵標和因子組的概念,然而在我們對它的應用範圍及其可能性作出估計之前,恐怕還需要一段時間進行系統的研究。

《古今數學思想》，美國Morris.Cline著。

《數學:確定性的喪失》。

這才是最好的數學書，我正在看