代數幾何的幾何直觀？

01-05

最近在看gathmann的代數幾何，覺得幾何方面根本想像不粗來啊，並沒辦法將幾何和代數對應起來(T＿T)

首先明確一下定義：什麼是代數幾何的直觀？以現代代數幾何發展來看至少有兩個版本，一種是 Zariski 代表的代數幾何的「經典直觀」，承繼著從古典歐氏幾何到二十世紀初的義大利代數幾何學派的幾何直觀，

另外一種是直觀叫「 Grothendieck的直觀 」。

兩種直觀的比較可見直接繼承了這兩種直觀的集大成者 David Mumford 在 Grothendieck 紀念文章「彷佛來自虛空」中的敘述：

1958年秋，格洛騰迪克開始了他到哈佛大學數學系的多次訪問的第一次。Tate其時正是那裡的教授，而系主任是奧斯卡－察里斯基。那時候格洛騰迪克已經用新發展的上同調的方法，重新證明了連通性定理，Zariski最重要的成果之一，於1940年代首次被其證明。根據當時是Zariski學生，現在布朗大學的大衛－曼福德（David Mumford）的話，Zariski自己從沒有學會這些新方法，但是他明白它們的能力，希望他的學生們受到新方法的熏陶，因此他邀請格洛騰迪克來訪問哈佛。
　　Mumford注意到察里斯基和格洛騰迪克他們相處得很好，儘管作為數學家他們是完全不同的。據說察里斯基如果被一個問題難住的時候，就會跑到黑板前，畫一條自相交曲線，這樣可以幫助他將各種想法條理化。「謠傳他會將這畫在黑板的一個角落裡，然後他會擦掉它，繼續做代數運算。」Mumford解釋說，「他必須通過創造一個幾何圖像、重新建構從幾何到代數的聯繫來使自己思維清晰。」根據曼福德的話，這種事格洛騰迪克是絕對不會做的；他似乎從不從例子開始研究，除那些特別簡單、幾乎是平凡的例子外。除去交換圖表外，他也幾乎不畫圖。
　　在格洛騰迪克哈佛的講座上，曼福德發現到抽象化的躍進相當驚險。有一次他詢問格洛騰迪克某個引理如何證明，結果得到一個高度抽象的論證作為回復。曼福德開始時不相信如此抽象的論證能夠證明如此具體的引理。「於是我走開了，將它想了好幾天，結果我意識到它是完全正確的。」曼福德回憶道,「他比我見到的任何人都更具有這種能力，去完成一個絕對令人吃驚的飛躍到某個在度上更抽象的東西上去…他一直都在尋找某種方法來敘述一個問題，看上去很明顯地將所有的東西都從問題里拋開，這樣你會認為裡面什麼都沒有了。然而還有些東西留了下來，而他能夠在這看上去的真空里發現真正的結構。」

當然這兩種直觀並不是完全沒有聯繫，Weil 1946年出版的「代數幾何基礎」可以認為是「Grothendieck直觀」的萌芽，然而不得不承認如果沒有Grothendieck，這種直觀或許要很久以後才會出現。

接下來我們就可以分情況討論了。

經典直觀：其大致定義可以認為是關於直線／圓錐曲面，平面／二次曲面的幾何研究的延伸。下圖轉自wiki - conic section

比如著名的帕斯卡定理：圓錐曲線的內接六邊形其三條對邊的交點共線。

另外有一個高中數學就能解決的問題是，有多少條直線於空間中的四條一般直線都相交？以上都屬於代數幾何經典直觀的範疇。最經典的書應該是

希爾伯特，直觀幾何 (英文直譯應該是「幾何與想像」)

還有另外一本神作：

Joe Harris, Algebraic Geometry: A First Course, GTM 133

Harris的經典名言（轉自wiki）如下，可見他對古典幾何的讚賞

Harris has claimed that nothing he thinks about could not have been imagined by the Italian geometers of the late 19th and early 20th centuries, and that if he has had greater success than them, it is because he has access to better tools.

這本書極好的呈現了代數幾何中可以用來計算的（或者說可以用來看的）幾何直觀。

書中的例子基本上就是古典代數幾何學家的玩具（toys）,如前文所述 Zariski 偷偷畫的圖，即可以算，又可以推廣到更一般的範疇。

當然可能有人會問那些fancy的名詞哪裡去了？黎曼曲面，線從，上同調等等，他們很古典。那麼他們的直觀在哪裡？這些直觀本質上是建立在Abel的橢圓積分的工作上的，即橢圓積分不能由初等函數表示。因為其涉及到複數的微積分，在此略去。在這方面的經典著作是：

Griffiths-Harris, 代數幾何原理

我記得伍鴻熙在其「黎曼曲面引論」中的評價大致是：雖然書中小錯不少，但極好的把握了代數幾何／復幾何的精髓。

接下來說一下：

Grothendieck直觀：首先很難講清楚這個概念，大多數初學者是借著經典直觀來理解Grothendieck的思想，比如Hartshorne或者Mumford"s Red book，而Grothendieck完全不在乎例子。因而很難想像Grothendieck到底在想什麼。比如他經典的Tohoku文章重寫了同調代數，背後的直觀究竟是什麼呢？然而當任何一個學生讀完了他的derived functor的想法以及其基本操作，似乎derived functor本身就是一種直觀。我們可以將derived functor替換成stacks, 平展上同調，motives等等，上面一句依然成立。。。。

　　在此關於他數學工作的簡短回顧中，格洛騰迪克寫道，構成它的精華和力量的，不是大的定理，而是「想法，甚至夢想」（第51頁）。

摘錄了「虛空」的一節，我覺得更能說明Grothendieck的直觀。

格洛騰迪克有他自己一套研究數學的方式。正如麻省理工學院的Michael Artin所言，在1950年代晚期和1960年代「數學世界需要適應他，適應他抽象化思維的力量」。現在格洛騰迪克的觀點已經如此深入地被吸收到代數幾何裡面，以至於對現在開始這個領域研究的研究生而言它是再正常不過的了，他們中很多人沒有意識到以前的情形是相當不一樣的。普林斯頓大學的Nicholas Katz說在他作為一個年青數學家首次接觸到格洛騰迪克思考問題的方式時，這種方式在他看來是與以前完全不同的全新的方式。如Katz所指出，這種觀念的轉換是如此的根本和卓有成效，而且一旦得到採用後是如此完全的自然以至於「很難想像在你這樣考慮問題之前的時代是什麼樣子的」。
儘管格洛騰迪克從一個非常一般化的觀點來研究問題，他並不是為了一般化而這樣做的，而是因為他可以採用一般化觀點而成果豐碩。「這種研究方式在那些天賦稍缺的人手裡只會導致大多少人所謂的毫無意義的一般化，」Katz評價說，「而他不知何故卻知道應該去思考哪樣的一般問題。」格洛騰迪克一直是尋找最恰好的一般情形，它正好能夠提供正確的槓桿作用來領悟問題。「一次接一次地，他看上去就有一個訣竅，（在研究問題時）去掉恰當多的東西，而留存下來的不是特殊情況，也不是真空，」得克薩斯大學奧斯汀分校的John Tate評論道，「它如同行雲流水，不帶累贅。它就是恰如其分的好。」
格洛騰迪克思考問題模式的一個很顯著的特徵是他好像幾乎從不依賴例子。這個可以從所謂的「格洛騰迪克素數」的傳說中看出。在一次數學討論中，有人建議格洛騰迪克他們應該考慮一個特殊素數。「你是說一個具體的數？」格洛騰迪克問道。那人回答說是的，一個具體的素數。格洛騰迪克建議道：「行。就選57。」那格洛騰迪克一定知道57不是一個素數，對吧？完全錯了，布朗大學的David Mumford說道。「他不從具體例子來思考問題。」與他對照的是印度數學家Ramanujan，他對很多數的性質非常熟悉，其中有些相當巨大。那種類型的思考方式代表了和格洛騰迪克的方式正相對應的數學世界。「他真的從沒有在特例里下功夫，」Mumford觀察到，「我只能從例子中來理解事情，然後逐漸讓它們更抽象些。我不認為這樣先看一個例子對格洛騰迪克有一丁點幫助。他真的是從絕對最大限度的抽象方式中思考問題來掌握局勢的。這是很奇怪，但他的腦袋是如此工作的。」巴塞爾大學的Norbert A』Campo有次問及格洛騰迪克關於柏拉圖體的一些情況，格洛騰迪克建議他小心點。他說，柏拉圖體是如此漂亮而特殊，人們不應該設想如此特別的美好東西在更一般情形下仍然會保持。
　　格洛騰迪克曾經這樣說過，一個人從來就不應該試著去證明那些幾乎不顯然的東西。這句話意思不是說大家在選擇研究的問題時不要有抱負。而是，「如果你看不出你正在工作的問題不是幾乎顯然的話，那麼你還不到研究它的時候，」加州大學伯克萊分校的Arthur Ogus如此解釋：「在這個方向再做些準備吧。而這就是他研究數學的方式，每樣東西都應該如此自然，它看上去是完全直接的。」很多數學家會選擇一個描述清晰的問題來敲打它，這種方式格洛騰迪克很不喜歡。在《收穫與播種》一段廣為人知的段落里，他將這種方式比喻成拿著鎚子和鑿子去敲核桃。他自己寧願將核桃放在水裡將殼泡軟，或者將它放在陽光和雨下，等待核桃自然爆裂的恰當時機（第552－553頁）。「因此格洛騰迪克所做的很多事情就象是事情的自然面貌一樣，因為它看上去是自己長出來的，」Ogus注意到。

　　格洛騰迪克有著給新的數學概念選取印象深刻、喚起大家注意力的名字的才能；事實上他將給數學對象命名這種行為作為它們的發現之旅的一個有機組成部分，作為一種掌握它們的方式，甚至在它們還沒有被完全理解之前（《收穫與播種》，第24頁）。一個這樣的術語是etale（平展），在法語裡面它原是用來表示緩潮時候的海，也就是說，此時既不漲潮，也不退潮。在緩潮的時候海面就象展開的床單一樣，這就會讓人喚起覆蓋空間的概念。如格洛騰迪克在《收穫與播種》中所解釋的，他選用topos這個詞，其在希臘文里的原意即「空間」，來暗示「拓撲直覺適用的『卓越對象』」這樣一個想法（第40－41頁）。
　　和這個想法相配，topos就暗示了最根本，最原始的空間概念。「motif」（英文里的「motive」）這個概念意在喚起這個詞的雙重意思：一個反覆出現的主題和造成行動的原因。格洛騰迪克對取名的關注意味著他厭惡那些看上去不合適的術語：在《收穫與播種》中，他說自己在第一次聽到perverse sheaf這個概念時感到有種「本能的退縮」。「真是一個糟糕的想法，去將這樣一個名字給予一個數學對象！」他寫道，「或者給予任何事務或者生物，除去在苛責一個人的時候——因為顯而易見，對於宇宙里所有『東西』來說，我們人類是唯一這個術語可以適用的」(第293頁)。
　　儘管格洛騰迪克擁有偉大的技術能力，這一直都是第二位的；這只是他執行他的更大的觀點的方式而已。眾所周知，他證明了某些結果和發展了某些工具，但他最大的遺產是創立了數學的一個新的觀點。從這方面來說，格洛騰迪克和Evariste Galois（伽羅瓦）相似。的確，在《收穫與播種》很多處，格洛騰迪克寫道他很強烈地認同Galois。他也提到年青時候讀過一本由Leopold Infeld撰寫的Galois的傳記[Infeld]（第63頁）。
　　最終來說，格洛騰迪克在數學上的成就的源泉是某種相當謙卑的東西：他對他所研究的數學對象的愛。

最後，Freeman Dyson著名的鳥與青蛙演講來總結這兩種直觀是再合適不過了。

有些數學家是鳥，其他的則是青蛙。鳥翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遙遠地平線的廣袤的數學遠景。他們喜歡那些統一我們思想、並將不同領域的諸多問題整合起來的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周圍生長的花兒。他們樂於探索特定問題的細節，一次只解決一個問題。我碰巧是一隻青蛙，但我的許多最好朋友都是鳥。
數學既需要鳥也需要青蛙。數學豐富又美麗，因為鳥賦予它遼闊壯觀的遠景，青蛙則澄清了它錯綜複雜的細節。數學既是偉大的藝術，也是重要的科學，因為它將普遍的概念與深邃的結構融合在一起。如果聲稱鳥比青蛙更好，因為它們看得更遙遠，或者青蛙比鳥更好，因為它們更加深刻，那麼這些都是愚蠢的見解。數學的世界既遼闊又深刻，我們需要鳥們和青蛙們協同努力來探索。

對某個很好的答案的補充：

1. $X/k$ variety， $operatorname{Spec}(k[epsilon]/epsilon^2) ightarrow X$ 就代表X上某點處的切向量， $operatorname{Spec}k ightarrow operatorname{Spec}(k[epsilon]/epsilon^2) ightarrow X$ 記錄了點的位置，固定點x後這種態射全體即X在x處的切空間，可等同於 $T_xX={(m_x/m_x^2)}^{*}$ 。如f是兩個variety X,Y間態射，自然誘導切空間 $T_xX ightarrow T_{f(x)}Y$ 間切映射,f smooth/unramified/etale可翻譯成切映射滿/單/雙射，類比流形範疇中的淹沒/浸入/局部同構。

2. $x in X$ ，則存在自然的平坦單射 $v_x : operatorname{Spec}O_{X,x} ightarrow X$ ，像即x的所有generalizations，可看成局部鄰域(在合適拓撲下)。而X上逆凝聚層拉回到此局部鄰域上就是F在x處stalk對應的模層。任給一個Y to X 的態射base change到 $operatorname{Spec}O_{X,x}$ 上即可考察x附近f的性質，根據flat base change其對逆凝聚層的高階推出即原來的高階推出的stalk，而x是 $operatorname{Spec}O_{X,x}$ 中唯一的閉點，於是可將一些定理的證明轉為只對閉點情形證明，如formal function theorem。

2".每個概形X都位於某個仿射概形上，其中最大的即dominant的自然映射 $phi_X:X ightarrow operatorname{Spec}O_X(X)$ ,可看成對X的「最佳仿射逼近」：X連通等價於 $operatorname{Spec}O_{X,x}$ 連通；與2中映射複合後恰是限制映射 $O_X(X) ightarrow O_{X,x}$ ；X仿射等價於 $phi_X$ 為同構；若X在域k上連通逆緊，則 $O_X(X)$ 是k的有限擴張(Serre finiteness+連通條件)，從而只有一個點，這recover了經典結果：域上連通逆緊簇到仿射簇的態射都是常值(因為都factor through常值映射 $phi_X$ )。

3.Y to X的態射f不僅可以change到 $operatorname{Spec}O_{X,x}$ 上考察x附近性質，還可change到 $operatorname{Spec}O_{X,x}/m_x^k,k=1,2,hdots$ 上,這時Y的base change的underlying topological space就是x處的fiber,而k=1,2,……分別記錄了x的fiber到x這一morphism的1階,2階,3階……信息,可類比前k項的Talyor展開。儘管 $operatorname{Spec}O_{X,x}/m_x^k,k=1,2,hdots$ 在X中看都是一個點x，但上面的層蘊含信息不同。在x的局部鄰域 $v_x : operatorname{Spec}O_{X,x} ightarrow X$ 中再取無窮小/形式鄰域即得關於 $m_x$ 的formal completion，其underlying space是x，上面的結構層為 $hat O_{X,x}$ ，不再是scheme而是formal scheme。f可誘導x的fiber的形式完備化到x的無窮小領域的映射，這可類比Talyor級數展開。

4.scheme與variety不同的是：scheme點不一定閉，不過也可代表幾何對象。如代數閉域上代數簇對應的概形的點全體與它的子代數簇一一對應，而一個點是閉的等價於它對應的是代數簇的點，而概形中某個點(即子代數簇)的閉包={這個子代數簇的所有子代數簇}。於是代數簇自己這一子代數簇對應的概形中的點的閉包就是全空間，稱為generic point，其出現在所有開集中。由於generic point對應的即整個代數簇,有理由相信在generic point發生的事情會在其他大部分點(某個開集)發生，這就是generic(通有)的來歷.

5.X to S的態射，可看成由S參數化的一組概形(對每個s，取X to S 關於s的fiber)，而S取成 $operatorname{Spec}(k[epsilon]/epsilon^2)$ 這種就代表X的generic fiber的無窮小形變，特別地這種觀點允許我們談一個域k上的概形的無窮小形變是什麼，在deformation theory這類帶冪零元的概形就使語言更方便，而deformation theory就可以用來處理經典代數幾何問題。例如代數閉域上虧格為g的光滑射影曲線的模空間的維數是多少？假設知道模空間的性質很好，求其維數只需求某點C的「切空間」/無窮小形變的維數(就和我們求李群的維數時化成求李代數的維數一樣)。而C的無窮小形變全體與C的切叢的一階上同調 $H^1(C,T_C)$ 一一對應，根據Serre duality只需要求 $H^0(X,Omega_X^{otimes 2})$ 的維數，那麼對應除子 $Omega_X^{otimes 2}$ degree為2(2g-2),故g&>1時 $i(Omega_X^{otimes 2})=0$ ,根據Rieman Roch定理就知道維數是2(2g-2)+1-g=3g-3;g=1時取C是P^2中光滑三次曲線,則 $Omega_X=O(d-n-1)=O(3-2-1)=O$ ,故維數是1;g=0時取C是P^1,那麼 $O(-4)$ 沒有整體截面維數是0。這樣就通過形變理論recover了經典結果:虧格g=0,=1,&>1的復黎曼面的同構類全體分別需要3g-3,1,0個復參數。這說明即使考慮經典問題，概形理論也是有很大威力的。

幾個基本的例子,這裡只提scheme比起variety多出來的那部分「直覺」：

1.如果x $in$ X是一個點，那麼 $Spec k(x) ightarrow X$ 可以「代表」這一個點。作為一個例子，設X和Y是兩個S-scheme， $x in X, y in Y$ 是兩個點。考慮Z= $X imes_{S} Y$ , 那麼你可以問什麼時候Z上面有一點z在X和Y上的投影分別是x和y。一個顯然的條件是x和y必須在S上對應同一點s；可以驗證這個條件也是充分的。實際上，投影為x和y的Z裡面的點的集合可以等同為 $Spec(k(x) otimes_{k(s)}k(y))$ .

2.設x $in$ X是一個點，那麼 $Specmathcal{O} _{X,x}$ 可以看成x的一個「無窮小鄰域」，實際上，假設X=SpecA是affine的，x對應 $mathfrak{p}$ ,那麼 $mathcal{O}_{X,x}$ 可以看成添加所有不屬於 $mathfrak{p}$ 的元素的inverse，這對應於把所有包含x的開鄰域給交起來；當然你不能真的把它們都交起來，那樣得不到一個開集，但是從精神上來講可以認為它是位於x的所有開鄰域里的一個想像中的「無窮小鄰域」。從 $Spec mathcal{O}_{X,x}$ 可以讀出x在X中的位置的很多信息，比如說 $Spec mathcal{O}_{X,x}$ 的irreducible component一一對應於X中包含x的irreducible component。

3.對於 $f: X ightarrow Y$ ,Y裡面一點y的fiber可以等同於 $X imes _{Y} Speck(y)$ ,而 $X$ 可以看成y的一個「無窮小鄰域fiber「。這會自然的導出一些問題，比如說這個」無窮小鄰域fiber「到底有多小，能不能包含它上面的X中的點在X中的」無窮小鄰域」；顯然如果你考慮真的fiber，也就是 $f^{-1}(y)$ 那麼是不行的：有一些信息丟失掉了。對於 $X$ 的情況具體而言就是問如果 $x in X$ 在y的fiber里，那麼 $mathcal{O}_{X,x}$ 是否等於 $mathcal{O}_{X$ .答案是可以，這實際上是很多時候我們可以把問題簡化成base是local ring的情況的原因。

4.另一個scheme里有但是variety里沒有的是generic point，這在代數上對應素理想。引入這個的原因之一是在ring的morphism里，極大理想的逆不一定是極大的，但一定是素的；在幾何上可以理解為由一些點可以射成整個variety，比如 $SpecK ightarrow Speck[x]$ ,這裡 $K$ 是 $k[x]$ 的分式域。generic point總的來說還是比較好想像，可以想像成一個「到處都是的點「，但是一個morphism的generic fiber就稍微難一點。我個人建議讀一個用到generic fiber的證明來增加理解，比如這個定理： $f: X ightarrow Y$ 是variety之間的morphism，那麼存在Y裡面的一個開集U使得對所有y $in$ Y,y的fiber的dimension是dimX-dimY。證明的思路大概是對generic fiber證明一個類似的結論，然後「擴散」到一個真正的開集里。注意generic fiber相當於一個 $K(Y)$ 上的variety，而 $K(Y)$ 一般來說不是代數閉的。我想Zariski是最先意識到這一點的人：即使你最初的興趣是在代數閉的域上，在建立基本理論的時候也應該盡量考慮所有的域。generic fiber也可以讀出一個morphism的不少信息，比如在合理的假設下，如果generic fiber是geometrically connected的，那麼存在一個開集里的點的fiber也是geometrically connected的。

5.scheme還有一個特徵是所謂的nilpotent，Mumford在他的一本書里寫到：it is this aspect(nilpotents) of pre-schemes which was most scandalous when Grothendieck defined them.粗略的說nilpotent是這樣一種函數，它在每一點的取值為0（即在 $k(x)$ 里為0），但是它本身並不是零函數。特別是，在scheme裡面一般來說一個函數並不由它在每一點的值決定。交換代數的一個標準結論是這樣的函數一定是滿足它的某個次方是0。在代數幾何裡面經常會出現nilpotent，最簡單的比如考慮直線y=0和拋物線 $y=x^2$ 的交；這是由{y=0， $x^2=0$ }在平面上定義的一個scheme；或者由 $x^2=0$ 在x軸上定義。這樣做的一個好處是它「記住」了這個交點是一個切點； $k[x]/x^2$ 作為k-space是2維的，這也符合我們的直覺：這個交點應該是一個二重點。。

暫時就這些。。。。。。題主可以去買一些Mumford寫的書，或者那本geometry of scheme

回答另一個問題，發現答案和本題相關：

http://www.zhihu.com/question/50658924/answer/122180459

---以下原回復---

推薦Geometry of Schemes 以及如果難點在代數方面的各種問題沒有釐清的話同時推薦Eisenbud的commutative algebra作為reference。這兩本書的風格都比較親民，比較注重例子和動機～

如果想要更更更多的幾何直觀，而願意暫時以不那麼Scheme theoretical的語言來表述的話，還可以看看

Joe Harris的 Algebraic Geometry， a First Course （好像是GTM133？）

P.S.Prof. Eisenbud 好有風度～ Prof. Harris 好nice～【以上互文】兩位教授近期又合著了一本講Intersection Theory的「故事」書。

謝邀。

怎麼培養幾何直觀這個問題太泛了。剛去看了下那個講義，我以前沒讀過，從目錄上來看引入了scheme的基礎概念，然後處理的大多數都是很幾何的問題，如果你學過一點基本的復幾何（流形，線叢，除子），那麼理解幾何意義應該不算太困難。

對於怎麼儘快熟悉scheme這套言語的問題，我自己因為天賦平庸，所以是通過不斷地讀，想，讀，想，外加各種參考書一起，不過到現在也不能說理解得很好（上一年一直在搞Demailly那套東西，好久沒摸已經手生）。

1、舉一個scheme的例子吧：兩個scheme的fibre product。實際上，我們知道怎麼來定義兩個拓撲空間的乘積，乘積空間的拓撲由乘積拓撲來定義，但是在variety的情形下，這是行不通的，因為如果在兩個variety的乘積空間上取乘積拓撲，那麼這個乘積空間並不是一個variety！所以我們需要在這個乘積空間上定義為一個構成variety的拓撲，當然還應該滿足某些泛性質。然後只需要一些簡單的例子就可以看到，這在代數上恰好對應了tensor product。

2、推薦一下Shafarevich：basic algebraic geometry I，如果你是在不明白一個概念對應的幾何意思，可以看下這本書上有沒有講，它上面的定義基本是偏幾何的，可以嘗試一起理解。此外，Mumford：red book of varieties and schemes第一章以及Daniel Perrin：Algebraic geometry，an introduction。

PS. 上面的回答也比較泛啦，對我來說重要的是自己多看多想。

要直觀去Dolgachev網頁上找東西看