微分定義時略去了deltaX的高階無窮小，為何積分後還能得到理論上的精確值？

01-05

只看了同濟版的高數書，大神輕噴
$[Delta y = y$ ， $[{Delta x o 0}]$ 這是x和y增量的關係
$[dy = y$ 這是高數書上微分的定義，相比真正的函數值增量 $[Delta y]$ 略去了 $[o(Delta x)]$
然而 $[int_a^b {y$ = $[mathop {lim }limits_{n o infty } sumlimits_{i = 1}^n {y$ ([a,b]分為n段， $[{{zeta _i}}]$ 為每段中任取的x)，依然能得到理論上的精確值而不是近似值，並沒有受到略去的高階無窮小的影響。無窮個無窮小的和也不一定是0，但在教科書中關於定積分的定義中默認為0了。
感性的講,略去小量是因為它太微不足道了，對結果應該沒有影響，但是從理論上來講，再小的量也不能隨便略去的，略去有可能得到的就不是精確值了。

事實上，這些小量都是可以略去，略去以後仍然是精確值。為什麼會這樣在書中沒有說明。為何積分後還能得到理論上的精確值？
從其他渠道看到「因為比dx高階的無窮小的積分是零」，是對的么，為什麼？

掌握達布上和與達布下和，及其收斂性對工科生要求太高了。

手機答，沒法寫公式。

你感興趣Google一下就知道了

因為低階無窮小求和得到了有限的值，所以更高階的無窮小求和一定是0。

為什麼可以把所謂小量給略去，其精髓就在於那個求極限上。

求和在這裡也很重要，但相比於極限來說，就沒那麼重要了。

你確定你算過那個極限么？

我們還是簡單估計一下吧。暫時不管黎曼積分需要任意分割的嚴謹性，我們只討論那麼求極限的過程。看看你能不能找到一些關於所謂的無窮小量的一些感覺。

求極限前，是把積分區間（假設長度為1）分成n分，每份長度delta x，那麼差不多就有delta x = 1/n。

那麼問題就來了，比delta x更高階的那個高階小量差不多是多少呢？

我們取一個最簡單的估計，就當是1/n^2好了。

那我們就可以算一下那個求和啦，輕鬆愉快。

n份delta x求和之後，差不多就是n * 1/n = 1啦，注意這個值是和n無關的（在我們簡單的估計中）。

n份比delta x更高階的高階小量求和，差不多是 n * 1/n^2 = 1/n 。注意，高階小量的求和結果是和n有關的，而且n越大，求和越小。

現在，你應該知道為什麼我們可以把高階小量略去了。精髓全在那個求極限上。隨著n越來越大，delta x求和就越來越接近實際積分值，而高階小量的結果越來越接近0。最後取到極限時，高階小量的結果就是0。這就是說，我們在計算的時候，可以完完全全從一開始就不去算那個高階小量。

所以說，動筆還是很重要的。算一下那個極限就清楚了。

這個想法從一開始就是錯的.典型的工科生思路.

積分和微分並沒有什麼關係.他們定義是互不依賴的.

而且他們兩者的定義和"無窮小量"並沒有什麼關係

微積分有萊布尼茨法則只是"湊巧"而已.

這個"湊巧"的證明也比較容易,普通地倒一倒不等式和極限號就出來了,"對積分求導"本質上只用到積分的平均連續性."對導函數積分"那就多要求一個原函數絕對連續.

具體請參閱任意一本實分析.

這隻有在數學分析中才會給出解釋，怎麼說呢，對於區間的分割不一定要等分，可以任意分割成n分，我們把不同的分割記成Pj(這裡把Pj理解成集合，它的元素是那些分割完之後的小區間)，比如分割P1,P2,??實際上分割P構成的集族是不可數的，為了好理解這裡就用可數的形式表示，而不採用指標集，對於任意分割我們找一個代表元，這個代表元就是這個分割Pj的元素中最長的那個小區間（這裡我們就不討論選擇公理了），其長度記作λj,Pj中每個小區間間分別記作Δxij,i由1到n,ωij表示第Pj中第i個區間上f(x)的最大與最小值差的絕對值

對於任意分割Pj有S=∑fMiΔxij s=∑fmiΔxij

fMi和fMi分別是第i個區間上最小與最大值，S和s分別叫做達布上和與達布下和,令ΔS=S-s

好了,寫了這麼多，下面進入正題：

就是對於閉區間任意分割Pj,如果lim ΣωijΔxij=0 (1)(當λj趨向於0的時候,就是分割裡面最長的那個趨向於0)，那麼叫做函數在黎曼意義下可積，也稱黎曼可積。

根據三角不等式，我們還有|ΔS| ＜=∑ωijΔij，這裡那個ΔS就是那個所謂省略的高階無窮小，我們有S=s，就是說根據黎曼積分的定義那個高階省略項就是0！

下面來解釋含義

上面看起來很奇怪，為什麼要λ趨於0，而不是n趨向於無窮？如果λ趨於0實際上已經隱含n趨於無窮，然而反過來並不一定成立，仔細想想就能明白

這裡重點在於對於任意分割Pj,上面那個(1)都成立！

就是說只要上面那個（1）成立，與怎麼分割都無關！

再就是對於任意小區間Δxij,函數在該區間上ωij並不一定跟著λ趨於0，如果函數在某小區間上連續，那麼一定趨向於0的，如果函數有界，並且函數只有一個間斷點,並且所在的是第k個區間，那麼把該間斷點所在區間踢出去，這個區間趨於0，就是說ωkjΔxkj=0，這樣依然黎曼可積，那麼如果函數在有限個點間斷，依據前面的論斷，同理黎曼可積，最後，即使有無窮個第一類間斷點，只要是可數個，依然黎曼可積！這裡就不做證明了，這裡簡略介紹了最基本的積分理論，後面還有勒貝格積分等等，就不做介紹了，有興趣就自己去看看吧，詳見實變函數論

我們數分老師給我們講過這樣一句話，你感受一下:高階無窮小不是這麼小，也不是那麼小，而是非常非常小。

對於裡面的每個deltaY來說，那個o(deltaX)都是相對於deltaY的高階無窮小。那麼n個o(deltaX)相對於n個deltaY來說仍然是無窮小，忽略掉好了，一取極限就沒了，沒什麼好糾結的。

因為你只積一次

這當然是需要證明的，而這就是分析學的基本公式——Newton-Leibniz公式。

可以將f(x)|x=t+dt在t處泰勒展開，便可得到2階以上的高階小量，而f(t)+df(t)=f(t+dt),左右消掉，故高階小量為零。

「積跬步以致千里」，這裡的跬步雖小但相對千里不能忽略。

然而積跬步不能至宇宙之無窮遠，這裡的跬步對宇宙就可以忽略。

千里與宇宙無窮就差了一階，這一階的差異是「質」的差異，不可逾越。

題主以後會學數值分析。

現在沒有搞定的以後也能有個認識的。

不要擔心。

你可以從幾何角度看，在△x趨於0時第一項會非常的精確接近原函數（相當於在原函數該點處用直線近似），所以你也可以這樣想在趨於零時第一項就已經是非常非常的精確了，第二項趨於零時也會越來越小，乾脆就忽略了。