如何理解條件概率？

01-05

我知道貝葉斯公式，但是理解不了什麼叫「概率相除」，也看過了阮一峰寫的貝葉斯（貝葉斯推斷及其互聯網應用（一）：定理簡介），也看了很多，我知道P（AB）表示B發生的情況下，A 發生的概率，但是還是不知道到底什麼是條件概率

首先確保你知道什麼是概率，如果不懂，看我之前的這個回答：

猴子：概率（Probability）的本質是什麼？

1 什麼是相關事件？

「相關」的……意思是受過去事件影響的…，現實生活中有很多事件是相關事件。

這裡說一個相關事件的經典案例。

雷軍在創業之初，用了兩年半的時間，把手機從零做到了中國出貨量第一，全球出貨量第三。然而在過去的兩年，小米也遇到了坎坷。2016年的時候，小米手機全球出貨量跌出了前5名。

當時有評論說：世界上沒有任何一家手機公司銷售下滑後，能夠成功逆襲，小米前途堪憂啊。

雷軍經過了一些列的調整，小米在2017年第二季度業績實現了逆轉，走出了低谷，重回全球第5的位置。

在中國企業家論壇30多位理事拜訪小米總部時，雷軍把他對小米調整的思考做了一個分享。

雷軍說：我們一直專註線上，但錯過了縣鄉市場的線下換機潮。小米整個商業模式就是為了高品質、高性價比。高性價比是效率革命，要提高效率在當時的市場情況下只有電商能夠完成小米要的效率。所以我們在過去幾年裡面專註於電商。但是有一個天大的缺陷，電商只佔商品零售總額的10%，小米就算線上市場100%都是自己的，也只佔整個零售市場10%。

意識到這一點之後，雷軍做了一系列戰略調整，就是建立了線下零售店鋪～小米之家。再次重整旗鼓。

這裡雷軍說的事情A(小米手機銷量)，與事件B(電商只佔商品零售總額的10%)，就是相關事件。

2 什麼是條件概率？

相關事件的概率也叫叫條件概率，什麼是條件概率呢？

就是說事件A(雷軍賣手機）在另外一個事件B(電商只佔商品零售總額的10)已經發生條件下的發生概率。

所以，到今天為止90%的人買東西還是在線下買，也就是說就算線上100%是你的，即使你全部佔有也只有10%的市場。

講到條件概率不得不提到下面有名的紅球藍球實驗。

布袋裡有 2顆藍色球和 3顆紅色球。每次隨機沖布袋裡拿一顆，記住拿完子彈就不放回布袋了。連續2次拿到藍球的概率是多少？

在計算概率之前，我們需要弄清楚，第1次拿球和第2次拿球是相關事件還是獨立事情。

1）第1次隨機拿一顆，拿到藍色的概率是多少？可能性是五分之二

2）但拿掉一顆之後情形便不同了，所以拿第二個的時候：

如果第一次拿的是紅的（對應圖中的紅色箭頭），剩下的球裡面是2顆籃球，2顆紅球。所以第二次拿到藍球的可能性是四分之二

如果第一次拿到是藍的（對應圖中的藍色箭頭），剩下的球裡面是1顆籃球，3顆紅球，所以第二次拿到藍球的可能性是四分之一

你看，這是一個相關事件，因為第1次拿球的結果，會影響第2次拿球的概率，他們是互相影響的。

相關事件的概率也叫「條件概率」。條件概率是指事件A在另外一個事件B已經發生條件下的發生概率。

3 如何用決策樹表示條件概率

我們通常用決策樹來輔助計算。下圖我們用決策樹來表示剛才的例子。

我們先看第1張圖：拿第1顆球的可能情況：

有 2/5 的概率會拿到藍球，3/5 的概率會拿到紅球

我們再來看第2張圖：拿第二顆球時的情形。

若先拿的是藍色，第二顆是藍色的概率是 1/4，第二顆是紅色的概率是 3/4。

若先拿的是紅色，第二顆是藍色的概率是 2/4，第二顆是紅色的概率是 2/4。

現在我們可以嘗試解答像這樣的問題了：「拿到2顆藍球的概率是多少？"

我們把第2張圖裡第1次拿到籃球的概率2/5，乘以第2次拿到藍球的概率1/4相乘就可以了。

好了，我們通過決策樹已經計算出了條件概率，下面圖片我們進一步看條件概率在數學上的表示就立馬明白了。

P(A) 的意思是「事件 A 的概率」。

在以上的例子，事件 A 是「第一次拿到藍球的概率」是 2/5，所以這裡P(A) = 2/5

事件 B 是「第二次拿到藍求的概率」是1/4，這裡用p(B|A)來表示。

這裡的豎桿"|"來"在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的概率"。換句話說，事件 A 已經發生了，現在事件 B 發生的可能性是多少。

P(B|A) 也叫在A 發生的情況下 B 發生的 "條件概率"。

我知道你一看數學公式就難受。

我也是，因為數學公是抽象出來，為了代表所有情況。但是在求條件概率的時候我們可以畫出決策樹就一目了然了。

誰以後敢拿出條件概率這個公式來嚇唬你，你現在已經不害怕了，直接給他畫出決策樹，立馬求出條件概率。

自從有了決策樹這個神器，估計你周圍又會多出很多崇拜你的眼神，想想就爽呢。

4 如何在生活中應用決策樹？

什麼是決策樹？

決策樹，就是一種把決策節點畫成樹的輔助決策工具，一種尋找最優方案的畫圖法。

畫決策樹有三步：

第一步，寫出你想要實現的目標。
第二步，在目標的右側寫出實現這個目標的所有方案。
第三步，評估每個方案的結果，以及這些結果實現的概率。

其實，我們工作和生活中也經常用到決策樹。例如下面圖中的例子。

假設你想提高收入，這是一個目標。接下來，你想到了三個提高收入的辦法：一個是創業，一個是兼職，第三個是在原公司努力工作，等待升職加薪。該選哪一個呢？接下來就要評估這三個方案實現的可能性。具體的評估過程就不細說了，因為每個人的狀況不一樣，要結合實際評估，最後選擇最合適的方案。

當然，在評估可能性的時候，一定要想辦法減少主觀判斷的偏差，一個重要的方法就是外部視角。

比如在評估自己創業成功率的時候，不要先從自己的優勢入手開始評估，這樣很容易高估自己。如果從外部視角入手，把社會整體的創業成功率作為條件概率，然後進行調整，這樣得出的結論更可靠。

其實條件概率經常出現在我們的生活中，但是很多人其他忽視了它的存在。可以看之前的這篇文章：

猴子：如何更好地理解「選擇比努力更重要」？

通俗的解釋一下：

什麼叫概率相除，我的理解是為了重新歸一化。什麼是歸一化，舉例來說，考慮標準正態分布。因為它是定義在整個實數上的，但是我們通常並不需要這麼大的範圍。現在我們把要把它定義在三個標準誤差之內，直接截斷行不行，當然不行，因為不能歸一化，而概率是要求歸一化的。所以我們要讓它歸一化，所以定義新的密度函數 $f_1(x)=frac{f(x)}{F(3)-F(-3)}$ ，容易驗證 $int_{-3}^3f_1(x)dx=1$ ，這才是概率啊。當我們在概率空間的一個子空間定義概率時，要對原來的測度重新進行歸一化，以保證滿足概率的定義。
什麼是條件概率，其實就是子空間上的概率。就像上面舉得例子,把原來定義在 $R$ 上的概率定義到它的子集 $[-3,3]$ 上面去了，用條件概率表達就是 $f(x|xin[-3,3])$ 。通常情況下的條件概率是分類的結果。 比如考慮人患艾滋病的概率，現在你可以把人群分的細一些，比如（男性，女性），它們都有自己的發生概率。當考慮一個完全的分類結果時候，你就得到了全概率公式。在這裡你會得到：患病概率 = 男性患病概率 * 男性人口比例 + 女性患病概率 * 女性人口比例。用概率公式寫出來就是 $P(S)=P(S|M)P(M)+P(S|W)P(W)$ .