自旋角動量與軌道角動量的物理意義？

01-05

自旋角動量與軌道角動量的物理意義是？自旋角動量與自旋量子數，軌道角動量與軌道量子數的物理意義有什麼區別？

自旋是最難從物理上理解的物理量之一。簡單說，自旋是質量不為0的粒子的固有旋轉自由度，其角動量大小是固定的，但取向可以改變。這種自由度之所以被稱為「自旋」，主要因為它和我們熟悉的軌道旋轉（對應軌道角動量）太像了，當然這種像並不是形象上的相似，而是在量子力學的體系中有著類似的數學結構。

先提個醒，在下面的公式里， $hbar=1$

在量子力學中，角動量被定義為空間旋轉變換的生成元，換句話說，當體系沿轉軸 $mathbf{n}$ 旋轉角度 $heta$ 時，描述體系的量子態經歷一個對應的線性變換 $exp({-imathbf{J}cdotmathbf{n} heta})$ 。這一性質可以等價地表述為，對任意矢量算符 $mathbf{A}$ , 下述對易關係成立： $[A_mu,J_ u]=iepsilon_{mu ulambda}A_lambda$ 。這個關係在軌道角動量的語境里，可以由定義 $J_mu=epsilon_{mu ulambda}x_ u p_lambda$ 和正則對易關係 $[x,p]=i$ 驗證得到，換句話說，可以看做是正則量子化的直接結果。但對自旋來說，就只能作為一個基本假設來看了。而這樣的相似性，是我們把自旋稱之為自旋的根本原因。然而自旋有一個令人驚奇的特點——它允許非整數的角動量，非整數的角動量會對應於類似 $exp(ifrac{1}{2} heta)$ 的線性變換。容易看出來，如果 $heta=2pi$ , $exp(ifrac{1}{2} imes 2pi)=e^{ipi}=-1$ ,粒子轉一圈但量子態並沒有回去，只有轉兩圈， $(-1)^2=1$ ，量子態才完全恢復原狀。這是一個十分有趣的現象，牽涉到量子力學的一個根本性質：Hilbert空間是一個射影空間，Hilbert空間對對稱群的表示也是射影表示。這個性質與量子力學中許多神奇現象有著千絲萬縷的性質，譬如全同粒子的不可分辨性，譬如任意子和分數量子霍爾效應。故事太長，這裡就不展開了。

而在歷史上來說，自旋角動量的定義也首先啟發於對其性質的要求：先是泡利看出電子態的二重性質，而後烏倫貝克和古茲米特才試圖用電子自轉來詮釋這種性質，直到最後人們意識到，自旋只是在數學性質上像是自轉，實際上不能用自轉來理解。

=========================下面是黑暗料理=================================

現在我們知道，自旋概念可以從相對論性量子力學中更加自然地湧現出來。由於相對論性量子力學的單粒子態應當保持Lorentz協變性，因此Hilbert空間也必須是Lorentz群（或者加上平移，Poincare群）的表示空間。Lorentz群是一個非緊李群，它的表示是Hilbert空間中與之同態的線性變換群。由於在量子力學中，對易關係決定了量子層面的物理，因此這種變換群對李群的表示關係，可以被推廣為變換群生成元對李代數的表示關係。

為了構造Lorentz群的線性表示，我們往往先考慮Lorentz群中保持粒子動量不變的變換，這些變換組成了Lorentz群的一個子群，也叫它的Little group（小群），通過Little group的表示，我們可以系統地構造出整個Lorentz群的表示，這種方法叫做構造誘導表示。對於質量不為0的粒子，也就是大部分我們熟悉的實物粒子來說，Lorentz群的Little group是SO(3)，這是我們常見的空間旋轉群。而角動量算符的代數關係就是SO(3)的李代數so(3)在Hilbert空間中的表示，在軌道角動量上，SO(3)群的表示給出了具有整數角動量的量子態隨空間旋轉的正常性質。但SO(3)的universal covering是SU(2)，這意味著二者在局域意義上是同構的，因而具有相同的李代數。而SU(2)則包含了「轉兩圈」才回復原位的「奇異」變換。由於角動量算符在Hilbert空間中表示出了so(3)代數，因此作為旋轉變換的生成元，它也可以自然地在Hilbert空間中生成出整個SU(2)李群。我們接收了角動量的對易關係，有理由拒絕SU(2)呢？顯然大自然也沒有拒絕它——我們熟知的世界，正是由自旋1/2的電子、質子、中子等等建築起來的。

另外需要注意的一點是，自旋只是質量不為0的粒子才具有的特性。嚴格來說，0質量粒子如光子，是沒有自旋概念的，這些粒子具有另一種度量旋轉的物理量：螺度(helicity)，它可以看做自旋角動量在粒子運動方向上的投影。在初級的量子力學教科書中，這類分別一般不那麼嚴肅。

對細節感興趣的同學，可以參考Weinberg I第二章和第五章。

==========================回到光輝燦爛的簡單世界==========================

然而，回過頭來看，我們其實並不知道自旋到底是什麼，甚至不知道自旋，特別是非整數自旋是否對應著粒子的某些奇異結構。在超弦中，整數自旋可以自然地湧現出來，但半整數自旋往往需要用假設的超對稱來強加進理論中去。MIT的文小剛教授提出了半整數自旋可以從弦網凝聚中演生出來。

終究來說，我們知道自旋的一切數學性質，但我們離自旋的「本來」面貌可能還很遙遠——如果它真的有一個本來面貌的話。

根據Noether定理, 每一個連續對稱性對應一個守恆量. 自旋角動量和軌道角動量本質上都是 $mathrm{SU}(2)$ 對稱性生成的守恆量.

一個自旋 $s$ 的態空間實際上是 $mathrm{SU}(2)$ 的李代數 $mathfrak{su}(2)$ 的 $2s$ 維的不可約表示[1]. 而軌道角動量實際上對應著三維空間轉動群 $mathrm{SO}(3)$ 的李代數 $mathfrak{so}(3)$ . 由於這兩個李代數是同構的, 所以這兩個角動量最終都由李代數 $mathfrak{su}(2)$ 生成. 具體說來, 角動量算符是 $mathfrak{su}(2)$ 的基在態空間上的表示[2]. 注意到李代數和李群通過指數映射相聯繫, 因此 $mathrm{SU}(2)$ 的對稱操作與角動量算符通過指數映射相聯繫. 用物理的話說, 軌道角動量生成無窮小空間旋轉 $mathcal{D}(hat{mathbf{n}},phi)=expleft(frac{-imathbf{J}cdothat{mathbf{n} heta}}{hbar} ight)$ .

自旋角動量和軌道角動量的區別在於, 前者的 $mathrm{SU}(2)$ 對稱性是作用在自旋空間的, 而後者的 $mathrm{SO}(3)$ 對稱性是作用在三維實空間的.
可以認為量子數標記了粒子所擁有的自旋, 進而標記了粒子所具有的角動量. 兩者通過 $S = hbar , sqrt{s (s+1)}$ 相聯繫. 儘管如此, 量子數存在的主要意義是為了通過力學量完備集標記所有量子態. 只有在 $s$ 是好的量子數時它才有價值. 用群論的話說, 量子數是Casimir運算元的本徵值, 用來區分所有不可約表示.

[1] 嚴格說來是 $mathfrak{su}(2)$ 的complexification $mathfrak{sl}(2,mathbb{C})$ 的不可約表示. 物理學家往往對 $mathrm{SU}(2)$ , $mathrm{SO}(3)$ , $mathfrak{su}(2)$ , $mathfrak{sl}(2,mathbb{C})$ 不加區分.

[2] 比如 $J_z$ 是 $H=egin{pmatrix} 1 0 \ 0 -1 end{pmatrix}$ 的表示, $J_+$ 是 $X=egin{pmatrix} 0 1 \ 0 0 end{pmatrix}$ 的表示, $J_-$ 是 $Y=egin{pmatrix} 0 0 \ 1 0 end{pmatrix}$ 的表示. 容易驗證 $H,X,Y$ 滿足的對易關係與 $J_z,J_+,J_-$ 完全一樣.

自旋角動量沒有經典對應，是純粹的量子效應，或者說，普朗克常數趨於零的時候，自旋也趨於零

把自旋理解成粒子的「自轉」，對理解自旋的物理意義毫無幫助，只有誤導

Pauli 曾經質疑過「自轉」的物理圖像，因為很顯然，點粒子自轉如果要達到角動量是有限大小的程度，不可避免的要超過光速

對於初學者，接受自旋這個概念，只有從自旋所滿足的、和軌道角動量相似的數學關係出發

再次強調，自旋是純粹的量子效應，在宏觀世界沒有類比

關於自旋的，題主去看看施特恩蓋拉赫實驗，塞曼效應這些東西吧，看完了我相信物理圖像也就應該出來了吧。另外從數學形式上來講可以將其類比成軌道角動量，是個磁矩，所以將其想像成是電子自傳造成的，因此稱之為自旋。但是，嚴格的來講，我們只能稱之為內稟磁矩。至於數學上(邏輯上)根本的東西，就要看群論啊什麼的。其實對於做實驗的(比如測自旋輸運)甚至只是出於興趣而了解，我覺得沒必要上升到那麼深得層次。

關於軌道角動量的，我就記得rXp, 這方面的數學跟現實聯繫還是蠻接近的吧。網路上面有各種軌道角動量對應的軌道圖(形狀不一樣)，非常直觀的物理圖像。只需要時刻記得電子軌道不是行星軌道那種一個圈一個圈的，而是一團一團的電子云。簡單來說就是不同的軌道角動量的電子云的形狀(球(殼)形，紡錘(殼)形等等)不同。

兩個量的意義就是描述電子所需要兩個自由度，或者說兩個參數。比如描述一個人有身高，體重，民族，性別啊什麼的。描述一個電子就需要電荷，質量，主軌道，然後處在同一主軌道的眾多電子有不同的角動量，從而它們的軌道形狀也不一樣。