什麼是 Drude 模型？它在固體物理中的意義是什麼？

01-05

謝邀，題主提了個好問題。（上來就這麼賣萌真的好嗎！）

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Drude模型是固體物理最基本的模型之一，由德國物理學家P Drude在1900年提出。同志們，那是1900年，就在這一年的4月27日，我們偉大的開爾文勛爵說：「動力學理論認為熱和光都是運動的方式，現在這一理論的優美和明晰，正被兩朵烏雲籠罩著。」是的，那個時候，相對論和量子力學還沒出現，愛因斯坦和玻爾這兩位巨人還是名不見經傳的新人。然而就在經典力學的框架里，Paul Drude 提出了這個簡單而又深刻的模型，在一定程度上成功的解釋了金屬導電的原理以及一系列相關問題。可惜Drude在這個理論提出6年後就去世了，沒能來得及見證Drude模型在量子時代的發展。

Drude模型的基礎是一個非常簡單的想法：把金屬中的電子看做氣體。基於此，Drude提出了如下假設。

金屬由兩部分組成，一是可以自由運動的電子，二是固定不動的離子實，這些可以自由運動的電子使金屬導電的成分。
將自由電子看做帶電的小硬球，它們的運動遵循牛頓第二定律。在忽略電子-電子和電子-離子間電磁相互作用（內場）的情況下，它們在金屬中運動或並發生碰撞。這一假設被稱為獨立自由電子氣假設。事實上，後來的研究證明，忽略電子間的相互作用對實驗結果影響並不大，但大多數情況下，電子-離子相互作用是不能忽略的。
Drude模型中的碰撞遵循經典碰撞模型，具有瞬時性的特點。事實上電子在金屬中的散射機制非常複雜，但在此我們不考慮這些散射機制的詳細原理，只關心電子會發生碰撞並在碰撞瞬間改變速度。接下來的兩條假設將會更具體的對碰撞進行描述。
假設電子在金屬中的碰撞遵循泊松過程。每個電子在單位時間內碰撞的概率是 $frac{1}{ au}$ ，即在 $dt$ 時間內發生碰撞的概率為 $frac{dt}{ au}$ ，其中 $au$ 被稱為弛豫時間（又叫平均自由時間），其意義是在任意一個粒子距離下一次碰撞（或上一次碰撞）發生的時間的平均值。這是Drude模型最中最重要的概念。
假設電子只能通過碰撞才能與周圍環境達到熱平衡（事實上這也是自由獨立粒子假設的必然結果），即是說每次碰撞的結果都是隨機的，與碰撞前電子的狀態沒有任何關係，只於碰撞發生地點的溫度有關。

以上就是Drude模型中的全部假設，簡單漂亮有邏輯。但是光說不練假把式，下面就來以最基本的金屬直流電阻為例來說明Drude模型的應用。

讓我們先回顧歐姆定律： $V=IR$

其微觀形式為： $ar{E}= ho ar{j}$ *, $ho=frac{1}{sigma}$ ,其中 $ho$ 為電阻率， $sigma$ 為電導率，接下來就用Drude模型來解釋電導率 $sigma$ 的意義。

假設某處電子密度為 $n$ ,平均運動速度為 $ar{v}$ ,那麼顯然電流和該處電子運動方向平行且相反，由電流的定義，我們可以寫出： $ar{j}=-near{v}$

無外場且熱平衡時時，金屬內的電子處處都在進行無規則的熱運動，因此平均速度 $ar{v}=0$ ， $ar{j}=0$

將外場 $ar{E}$ 添加進模型。考慮處於時刻0的一個電子，假設它距離上一次碰撞的時間為 $t$ ，初始速度為 $ar{v_0}$ ，由假設2，0時刻它的速度為 $ar{v}=ar{v_0}-ear{E}t/m$ .接下來我們對0時刻金屬內所有的電子求平均，由假設5， $ar{v_0}$ 的平均值為0，由假設4， $t$ 的平均值為 $au$ ，因此速度的平均值 $ar{v_{avg}}=-ear{E} au/m$ ，將該值代入 $ar{j}=-near{v}$ 中，得到 $ar{j}=frac{ne^2 au}{m}ar{E}$ 。將該式與歐姆定律比較，可以得到：

$sigma=frac{ne^2 au}{m}$

噠噠噠，這樣我們就用Drude模型把電導率的表達式推出來了。事實上，由於電阻率非常方便測量，我們大部分時候都是用上面這個公式去求弛豫時間。

上面只是Drude模型最簡單的一個應用，我們還可以用它去求霍爾效應係數，交流電阻等等問題，在準確性方面都有著不錯的表現。這裡不詳細討論，有興趣的童鞋可以去看下面列出的參考文獻。

*鑒於知乎蛋疼的公式編輯器，此處用上橫線代表矢量，所有平均值均有說明。

參考文獻：Neil W Ashcroft &

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PS：這題我是自問自答的，主要原因是我覺得現在知乎上自然科學領域類的問題普遍比較水，大量問題都集中在民科研究興趣範圍內，於是希望能有更多的人來分享相關領域的一些乾貨。二來也想借這種自問自答來梳理一下學習思路和知識體系。本人非大牛，只是普通物理系學生一枚，出錯在所難免，還希望各位大神看到問題或答案後有任何想法能不吝賜教，本人在此先行謝過。如果效果不錯以後我會繼續採取這種形式來分享我的知識和學習結果。多謝您充滿耐心看完這麼一大段 : )

正好這學期固體物理一開頭就在講Drude Model，答個題算是複習一下所學內容吧~

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ms 題主的答案已經講的挺全的，我就不多贅述了。Drude Model 總結起來就是三條基本假設：

獨立電子近似：忽略電子與電子之間的相互作用
自由電子近似：除碰撞外，忽略電子與離子的相互作用
弛豫時間近似：就是題主所說的「碰撞遵循泊松過程」

Drude Model在當時成功的解釋了Wiedemann-Franz定律：

$frac{kappa}{sigma}=frac{3}{2} left( frac{k_B}{e} ight)^2 T=LT$

$kappa$ 為熱傳導係數，Drude Model自由電子氣的推導與理想氣體一致，參見Thermal conductivity 中Simple kinetic picture

$kappa=frac{1}{3}c_V v^2 au, c_V=frac{3}{2}k_BT, sigma=frac{ne^2 au}{m}$

聯立一下就有Wiedemann-Franz定律

再具體分析一下三條假設：

獨立電子近似：無奈而為之，電子與電子之間的強關聯到現在都沒有很好的解決方法
自由電子近似：金屬中電子的平均自由程很大，這是個很好的假設，實驗上很符合。但是，自由電子氣是各項同性的，顯然解釋不了各向異性的電導率。
弛豫時間近似：模型中的弛豫時間 $au$ 更像是一個fitting parameter，或者說 $sigma, au$ 都是待測的。

另外Drude Model比熱的估計都來源於電子，且不論金屬比熱還有來源於金屬振動等其他部分，在極低溫電子貢獻比熱主導時，也被高估了。原因是不是所有電子都貢獻比熱的，只有費米面附近的才貢獻。同時按經典熱運動 v^2 低估了，這樣正好Wiedemann-Franz定律量級對了……

Drude Model應該是第一個從微觀角度解釋固體的宏觀性質，而固體物理就是從原子原子層面研究固體的宏觀性質，可以說有開拓意義。同時其中的假定還是有其合理性的。

Drude模型非常粗糙，單純的Drude模型就是最簡單的線性近似。但它給輸運問題提供了一個基本的圖像。之後在任何穩態（或近似穩態）的輸運問題里，我們都可以試圖把電流湊成 $Jpropto n au E$ 的形式，然後分析載流子密度、散射時間和各種物理因素的相互關係。

比如，在同時存在聲子散射和電子相互作用時，總散射時間可以寫成 $au^{-1}= au^{-1}_ ext{Coul}+ au^{-1}_ ext{ph}$ ，而這兩者可以與兩種相互作用的自能修正對應起來。當電場 $E$ 超越線性響應區域時，我們可以考察它的熱效應和電效應，這些都可以等效看做對相互作用自能的修正。於是我們可以對強場下的輸運問題建立一個半定量的唯象模型，這對理論和實驗研究無疑都是大有裨益的路標。

當然，Drude模型的圖像基本還處在費米液體理論的水平，相互作用太強時就不管用了。

物理學家想用一個模型解釋材料的一切宏觀性質，只要記住幾個公式和一些基本參數就可以計算出比熱容、熱導率等等，於是Drude模型就誕生了，雖然和實測值有偏差，但趨勢都是對的，又能給出成體系的解釋，非常了不起。

Drude model 是試圖用經典物理來闡述金屬中自由電子的運動的最簡單的模型，也可以得出金屬在和電磁波相互作用時的dispersion 的關係。也可以得出一個很簡單的結論，當電磁波的頻率小於某個特定的值(w_p)時，電磁波是無法通過金屬的。當大於w_p頻率的電磁波照射金屬時，電磁波就會導致自由電子在特定頻率下的運動，我們把這種現象叫做volume plasma. 這也是plasmonic 最簡單也是最基礎的內容。

請問各位大神，小弟有個問題，就是應用於plasmon中載流子濃度計算的時候，公式中那個阻尼係數γ說是約等於plasmon振動峰的半峰寬？這個應該怎麼理解？

固體物理學真是太難了，掙扎著學了一學期，太痛苦了，唯一好笑的一點是，我們老師把這個模型叫做「豬的模型」