數學是人為創造還是自然的規律？
數學存在很多人為設定的規律並以此為推導的基礎。
但同時是否存在由現實規律以印證出未知領域的規律。表述不當請諒解，請盡量結合例子給出答案。感謝每位答主的回答，新年快樂。
春節快樂！
====31/1/2017補充====
看了其它高票答案，很有意思。 Y Fan答主引用的話：「Physics reflects physical reality, while mathematics reflects all logically possible realities.」 基本上就是模態結構主義的思想。Yuhang Liu答主的思想的確是柏拉圖主義（但「柏拉圖主義」的思想不是柏拉圖那個人的思想）。zl General 答主的思想則體現了虛構主義的思想。恰好對應了本文介紹的三個流派。這正是哲學在各個思想界潛移默化的結果吧。
====================
題主，你的這個問題「數學是人為創造還是自然的規律」問的不完整，也略不恰當。比較完整的大概是：「數學是人為創造的規則、自然事物的抽象、還是理念法則的知識？」
就如同大部分哲學問題一樣，這也是一個「屁股問題」，即是說，你支持哪個主義或者反對哪個主義的根據基本上依賴於你是更加偏好於哪些本體論和認識論等哲學前提。對哲學前提的偏好不是偶然，而是建立在此人的哲學直覺和長期在哲學領域（或其它思想領域）中所學所做後形成的穩定觀點之上。非哲學訓練的人士通常憑藉著常識、或自身專業的知識進行判斷，而由於他們對所偏好的哲學前提的認知不足或缺乏進一步的思考，所以很多時候只能很粗淺地了解自己所站的主義的理論益處，以及很大程度上忽視或僅僅不知道其站定理論的缺陷。而這個文，就可以視作一個不深入具體的哲學討論，以來明晰化各主義的觀點、益處和其缺陷。
一般來說，如果要對題主的這樣一個宏大問題進行分析，其實涉及的方面是又深又多，非常艱深，足夠寫好幾本專著。但我們只是做一個初步的介紹，可即使如此，也要涵蓋到足夠多的要點。這個問題要牽扯到至少四個哲學大領域：本體論、認識論、語義學、應用性。簡單來說，本體論考慮的就是「在數學中，存在著什麼東西，這些東西是怎樣的存在等等」。語義學（在這裡的是哲學的語義學）是說一個數學命題，我們要如何和憑什麼指派這個命題是真的還是假的（一個數學命題，當我們賦予它的真值為真，可能是因為它的各詞項直接指稱了真實的事態；也可能是由於它可以被改寫為一套（不直接關涉於數學的）命題，那麼還存在著如何有規範的方法去改寫數學命題）；另外，也要考慮到，給定一個牽扯到數學命題的其它命題，比如物理命題，它的語義與數學命題的關係是什麼；以及更抽象的，如果用邏輯學語言形式化的重寫數學命題，要對其中出現的概念進行解釋（比如若採用高階邏輯，那麼這些對象又是啥？就牽扯回了本體論）。認識論則是詢問人類主體是如何認識到數學實體（如果它們存在的話）和如何知道命題是真的還是假的，如果在其理論中還涉及了其它實體，那麼自然也要考慮對它們的認識論考量。應用性則很好理解，即是說要解釋為什麼數學在自然科學取得了成功，這種成功是本質性的嗎？
一個理想的理論需要對全部的領域都有理想的回答，即完美的回答了問題，同時那些為了回答問題所預設的前提和推論本身又不會引發其它問題。暫時還沒有哪個理論能達到這種完美理想（而且不太可能有）。人們可以盼望的，只是那些能夠合理回答了問題（也許不是完整、絕對可信的），所涉及的東西不會引發嚴厲的問題（雖然會引起一些問題，甚至難題）。
接下來，就進入主題。
我們首先要對所謂的「人為創造的規則、自然事物的抽象、還是理念法則的知識」究竟都是什麼進行一個初步的說明。需注意，這種說明不是任意的，在某種程度上是為了符合理論上的需求而進行了裁剪，同時，這也不意味著是單純為了理論。
- 說「人為創造的規則」，大致是說數學是一套給定的規則和元素以及憑藉規則，發展出來的一套體系。這套體系的元素與任何現實存在的事物或柏拉圖式實體都不用相關。就如同一種棋，我們定好了基本的元素，比如棋盤上的棋子，以及規則，比如馬走田，象走日。然後，憑藉著這些基本規則，我們發展出來了一套象棋的法則。到數學，基本的規則就是公里系統或集合論，the axioms of ZFC等等，然後每個命題都是根據規則而導致的結論。就如同棋盤上的馬不指代任何外在的東西（或代表任何東西都無妨），數學中的「實體」也僅僅是一個這樣的實體，它指代什麼並無所謂。
- 說「自然事物的抽象」的意思是什麼呢？眾所周知，數學研究的對象不是任何現實的物理存在，但這不必然地表明它與現實的物理存在完全沒關係。在這裡，我認為其按容易理解的方式來說是說數學命題的真假在本質上依賴於實際存在的東西（或者可能存在的東西）。所有的數學命題的真正形式可以說是：對於所有的可能現實來說，如果一個現實是某個數學命題的實例化，那麼我們就說這個數學命題是真的，如果都沒有，那麼就說它是假的。
- 說「理念法則的知識」，就意味著數學的對象是種超物理的實體，這些實體在其理念世界中有其秩序，而人類則是直接發現了那些秩序，然後形成了數學，有的人洞察力強大，就成了知名數學家。而這個可悲的物理世界，只不過是那個理念世界的一個小小的實例化。
按照上面的理解，我們就可以來說，每個人偏好某種主義所訴求的根據會是什麼了。
粗略來講，有兩個詰難的存在使得關於數學本質的問題被劃分為兩個基本流派，在介紹兩個詰難之前，先介紹下兩個基本流派分別是：柏拉圖主義和唯名論。其中，柏拉圖主義聲稱數學對象的抽象的不依賴於物理現實或心理的存在，其數學命題的語義學——即確定一個數學命題的真值——直接依賴於這些數學對象。而唯名論則有所不同，他們都拒絕以上的這種柏拉圖實體的存在，所以其數學命題的語義學就依賴於其它的一些條件。
下面，會介紹上述的兩個詰難，然後會根據不同的應對將上述兩個基本流派細分：
兩個詰難：Quine-Putnam Indispensability Argument和Benacerraf"s Epistemological Problem。
前者是不可或缺論證，其基本論斷如下：
A1 我們應當承認全部並且僅僅是那些對於我們最佳的科學理論不可或缺的實體的存在性。
A2 數學實體對於我們最好的科學理論來說不可或缺。
C 我們應當承認數學實體的存在性。其中，不可或缺性基本是指，如果消去這些實體的存在，那麼我們的理論就變得不是那麼「理想了」。而在這裡，究竟怎麼刻畫「理想還是不理想」本身就是一個深入的研究問題，但粗略來說，這個應該是很好理解的觀點。
有一些數學哲學家認為，唯一一個靠譜的反駁唯名論的論證就是不可或缺論證。
後者是貝納塞拉夫認識論問題，它的提出使數學的本體論和認識論之間產生了深刻的矛盾，它基本是說：
假設人類只是一種現實的凡間存在，他們的認識論上的功能只是因果性的（或者說只可以接觸到現實存在或想像中的可能現實存在），那麼，如果存在著柏拉圖式的實體，人類怎麼可能去認知它們呢？
這個問題有至少兩種解答方式：其一，就是拒絕柏拉圖式的實體存在；其二，就是人類的確大有能力或有一種高深莫測的能力。如果對這些回應進行抽象，我們可以得到兩種態度：偏好認識論和非偏好認識論。 對於前者，我們更傾向於相信人類的認識論的確沒辦法夠著柏拉圖實體，而後者反之。
隨後：
如果我們拒絕不可或缺論證，同時支持偏好認識論，那麼就可以轉向一種叫虛構主義的流派。虛構主義的思想內核大致是：數學的對象不是柏拉圖式的實體，而只是一種類似於小說或故事中的實體；數學只是當我們處理物理現實時，為了某種德性（比如為了更快更好更方便），而創造出來的腳手架式的東西。數學是一套異常複雜深刻的話語體系，它不必然代表著任何東西（無論是柏拉圖實體還是現實），它的命題的真假指派只需符合人為的規則。
虛構主義之要如何解釋數學對於現實的應用呢？很簡單，如果自然科學不需要訴求數學，比如物理學不訴求實數，也可以取得眼下這般的成果話，那麼數學就是「偶然」的能應用，從而完全可以拒絕現實與數學之間的必然聯繫，即它們也許有某種聯繫，但說它們無也可以。
可以看出，這個流派既不會有認識論上的問題，也不會有本體論上的問題。
如果我們承認不可或缺論證，支持偏好認識論，那麼我們可以轉向一類叫非柏拉圖式（消除）結構主義的流派。這個流派的觀點是：數學的對象是結構，這種結構不是柏拉圖式的實體，而是現實事物的共性（比如一個魔方，這個魔方雖然有很多外在的屬性，但是它在某種程度上實例化了代數性質）（這種共性可以是先物柏拉圖式的，也可以是在物亞里士多德式的，我們在這兒考慮亞里士多德式的）。數學命題之所以為真或假，是因為在可能現實中，存在或不存在具有滿足這樣數學的屬性的現實存在。
這意味著，數學的對象真正來說是有界變元。對於一個數學命題，在自然數中2的意思是：對於全部的可能現實來說，對於那些滿足自然數結構的現實的第三個元素。 其外延就是一列蘋果的第二個，一個繩子上的第二個結諸如此類。當然這是一個最簡單的例子。
而說一個數學命題是真的（相對於給定的結構來說），即有這樣的形式：
滿足什麼數學屬性
在X中成立
,其中，X是轄域遍及全部邏輯可能的現實，而S即數學命題。
一個可能的困惑在於對於無限的結構，是否存在著現實的東西去實例化。的確是有辦法應對。（理論上一共有三條路，分別是本體論路，先物論路，模態論路；前兩條路在很大程度上靠近柏拉圖主義，所以文章只考慮唯名論的模態論路。模態論路不需要再去考慮現實的物理現實，而只是聲稱數學只需訴求「邏輯可能的現實」，也就是說，雖然我們目前的物理學告訴我們宇宙是離散又有限的，但實際上宇宙在更深層次是連續且無限的在「邏輯」上是可能的（哪怕這種可能性沒有一丁點物理意義），就夠了）
可以看出，這個流派也不會有認識論上的困難，他在本體論上的問題基本上也不是很嚴厲。
如果我們支持非偏好認識論，又承認不可或缺論證，那麼我們可以是一名簡單的柏拉圖主義者。所有的問題都不是問題，只不過有一點「小小瑕疵」：柏拉圖式的實體究竟是什麼鬼？我們人類憑什麼認識到柏拉圖式的實體？
回到題目。可以看出，最後給出的三個學派剛好可以對應三種不同的傾向。最後，為了各位更好的選擇自己傾向的流派，是要做一個總結。
不過在總結之前，哲學的一個重要的組成部分就是要trade off（權衡），如果一個人聲稱存在著什麼神奇的東西，那麼那個人就得為這個他聲稱的東西進行額外的合理說明，如果不這麼做或做得不好，那麼我們就不得不降低它的理論的信服程度。換句話說，這個人付出的代價，比較於不聲稱這種東西的人就要大。很明顯，只考慮到聲稱了這個東西，那麼通常來說，它的解釋力肯定比不聲稱這個東西的理論要大，所以也是會得到益處的。所以，一個良好的哲學理論，就是付出最小的代價獲得最大的益處。一些理論在形而上學上強一點，損失了一點東西，但可以在認識論，語義學獲得好處，也可以反之。
由於人類的有限性，所以歸根結底人類不知道任何數學對象存在與否的「事實」。所以
- 如果不認同「數學的實在性」來源於「物理學的成功」（或者說是哪怕不存在著數學，物理學照樣能取得今天的成果）（的確有著作給出了令人信服的說明），同時認為承諾柏拉圖式實體，其本體論、認識論要付得代價太多，不妨加入虛構主義的陣營。它付出的理論代價較少，但「情懷代價」非常大。
- 如果覺得「物理學的成功」本質上是依賴於「數學的實在性」（因為數學命題的真理不過是可能一切可能的現實的滿足，它也是現實的結構的反映），同時也覺得同時認為承諾柏拉圖式實體，其要付得代價太多的話，不放加入結構主義的陣營。它比虛構主義要多付出一點認識論和語義學的代價（因為模態-可能世界的引入，認識論和語義學會受損）。它的「情懷代價」付出的不多，基本很少。在結構主義內部，憑藉著付出本體論和認識論的多寡，還有著分支的流派。
- 如果覺得「物理學的成功」本質上是依賴於「數學的實在性」，同時覺得柏拉圖實體的代價可以負擔，不妨加入柏拉圖主義的陣營。它有著最大的「情懷」，有著最好的語義學，但要付出成噸的本體論和認識論代價。
至於什麼是「情懷」，這個就要靠自己思索了。
===31/1/2017補充===
虛構主義和結構主義實際上還避免了一個叫Benacerraf"s identification challenge的問題（意味著理論收益比起解決不了這個問題的理論更高），但我覺得這個不應加入以上主要內容去干擾思路。
====================
虛構主義：
- Field, H., 1980. Science without Numbers: a defense of nominalism, Oxford: Blackwell.
結構主義：
- Hellman, G., 1989. Mathematics without Numbers, Oxford: Clarendon Press.
柏拉圖主義：
- Balaguer, M., 1998. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
=====================
其它問題的收藏夾：
哲學回答 - 收藏夾 - 知乎謝邀。
首先贊同高票答案引用的那句話：「Physics reflects physical reality, while mathematics reflects all logically possible realities.」數學研究的對象，並不一定非要是物理世界中真實存在的東西，他研究的很多都是抽象的數學結構和pattern。比如有限群這種東西，物理世界中哪有什麼真實存在的有限群？但是很多物理實在自身的對稱性結構裡面會包含有限群（具體例子一下子不好舉，因為物理世界的很多對稱群都是連續的李群而不是離散的有限群。不過有限單群里的魔群可以和弦論扯上關係，這也算是一種聯繫吧）。數學研究的不是具體的物理實在本身，而是物理實在所具有的數學結構。比如PDE里的熱傳導方程，很多人知道它同時也是化學裡的反應擴散方程。熱傳導和反應擴散這兩種物理現象，乍一聽好像沒什麼聯繫，你數學怎麼就強行把這兩個東西攪在一起了呢？但是數學不管，這兩種物理現象背後的數學規律是相似的，可以由同樣形式的數學方程來刻畫，那我就先拋卻物理背景不關，從純數學的角度，從方程本身的角度，去研究這些方程。研究出來的結果，可以同時應用到熱傳導和反應擴散這兩種現象。這就是數學研究之「普適性」的一個體現。兩個表面上沒什麼關係的東西，只要他們具有同樣的數學結構，在數學上就可以把他們放在一起統一處理。
不過還是要多說幾句，如果一個數學對象有實實在在的物理背景，那麼對這個數學對象本身的研究還是有幫助的。因為你不僅可以從純粹數學的角度去研究這個數學對象，你也可以考慮這個數學對象所對應的物理現象、物理理論，從中去找到一些靈感、一些啟發。典型的例子，比如廣義相對論對黎曼幾何和PDE的促進，規範場論對纖維叢理論、聯絡理論的促進，弦論對Calabi-Yau流形、對復幾何的促進，等等。孔良教授最近寫了一篇科普文章：淺議現代數學物理對數學的影響_數理人文_傳送門 。我個人認為寫得非常好，最起碼我學到了一些東西，有志於做現代數學物理的人都可以去看看。
最後回到原問題本身。我說這麼多，是不是為了強調數學就是人為創造的呢？其實不是的。我上面說的這些話，只是在說明數學規律不能等同於直接描述自然界的規律，但我仍然認為數學不是人為創造的，數學家是在發現數學世界，而不是創造數學世界。（這一段是我個人觀點，不代表別的人也這麼認為）。我認為存在一個先驗的數學世界，這個世界獨立於我們生存的物理世界，可以說類似於某種先驗存在的精神世界。所有的數學真理，都已經存在於那個世界裡了，數學家不是創造新的規律，而是在發現那個世界已有的規律。我以前以為數學裡的「柏拉圖主義」就是說的這麼一回事，後來知乎上有人告訴我柏拉圖的想法跟這個還不太一樣，不過我也不想管他老人家到底是怎麼想的了～
我之所以會形成這種想法，是因為我感覺，數學家的探索道路，還是有「方向性」的。不是所有邏輯上為真的命題都能稱為數學命題，數學定理不僅僅要是真的，還要是有價值的、有意義的，還要是美的。整個數學體系，是由一部分真命題構建起來的宏大的數學大廈，他是有精緻的結構的，不是一堆雜亂無章的東西堆砌在一起的一個大雜燴。我個人不太相信是數學家自己創造出了這種豐富龐大的結構，而更相信這種結構他原本就在那裡，數學家是發現了這些結構，而不是創造了他們。這個抽象地存在著的數學世界，他與現實的物理世界有著千絲萬縷的聯繫，刻畫了現實物理世界中的很多pattern。然而探索這個世界的最好辦法，恐怕還是通過我們的思想與心靈～
……這些聲稱一個客觀的、唯一的數學體系的斷言，沒有說清楚數學存在於何處。它們只是說數學存在於某一超常世界中，恰似海市蜃樓，只能為人所感知。公理和定理並不是純粹的人類創造，它們更像是深藏在地下的珍寶，只有耐心地挖掘，才能使它們重見天日，但它們的存在就像行星的運轉一樣，是獨立於人的。
那麼，數學空間是藏在宇宙深處，逐漸被發現的一堆鑽石，還是一堆光怪陸離的人造寶石，洋洋自得的數學家也被弄得眼花繚亂？ ——M.克萊因 《數學：確定性的喪失》
數學是自然的還是人造的？
數學是天然的寶石，還是人造的鑽石？數學是被「發現」的，還是被「發明」的？我覺得克萊因這本書是比較符合題主的問題的。然而，問題本身並沒有答案，或者說答案需要題主自己去回答。我只能說，歷史上，兩種觀點都有，各有各的論據。過去，前者占（絕對的）主流，而現在，後者佔主流，但前者的支持人數也不少。我個人認為數學是人為創造的，不妨用一個比喻：
最初人們看到了樹，想要砍它，於是製造了斧子。斧子最初是用來砍樹的。但是一段時間後，人們發現斧子能做很多別的事情：它可以砍別的東西；如果反著拿，也可以用鈍的那頭敲釘子；如果你願意，也能用來削蘋果，等等。由於斧子有那麼多功能，人們對斧子崇拜不已。天哪，斧子一定是上帝創造的，我們不經意間發現了它！斧子實在是太偉大了！
這話放在今天，你覺得荒謬。但如果把斧子換作更加高深，不那麼容易理解的公式和定理，把砍樹、削蘋果換成天體的運動，把「一段時間」換成幾百年的話，你可能也會跟著讚歎斧子的偉大了。
粗略地說，19世紀之前，人們基本認為上帝創造了自然界中的規律（真理），而人們通過數學和科學不斷地認知、發現了這些真理。研究科學，研究數學，也就是一種理解上帝設計的自然規律的過程，是高尚的行為。上帝推動了日月星辰的運轉，而數學家、科學家們通過聰明才智，發現了上帝設計的規則，然後讚歎天工造物之巧妙。只要了解一些牛頓、開普勒、拉普拉斯等人的著作和言論，不難發現這種思想。這種思想一般稱為柏拉圖主義。
但這不是二十世紀之後的光景。現在人們如何看待數學和科學呢？有一個叫做「科學哲學」的領域專門研究這類問題。大抵來說，「科學」是一個假說體系。我們從一些假說出發，說明由這些假設能夠推演出什麼東西。我們能保證推演過程是符合邏輯的，但無從保證假設的正確性。進一步，假設本身隨時可以由事實來推翻（可證偽性），才能稱之為「科學」。如果實驗發現假設不對，我們就修正假說。比方說相對論假設了光速不變，它所有的結論都從這個假設可靠地推出，但是「光速不變」這件事情就可以（只是現在還沒有）被實驗推翻。
類似的，數學也是一個差不多東西，也就是公理體系。我們從幾條公理出發，給出可以由公理推出的各種定理和推論，推導過程都是可靠的。然而公理本身，是我們人為地假設的，不保證其正確，也不保證它符合客觀事實。如果把公理體系中其中一條去掉、替換成另外的一條，也可能推演出另外一套，邏輯自洽的公理體系，我們也能接受它。這裡典型的例子是非歐幾何：假設過一線外的一點只能作一條平行線，能夠推出一種幾何（歐氏幾何）；如果假設作得出多條平行線，能也推出一種幾何（羅巴切夫斯基幾何）；假設作不出平行線，又能推出一種幾何（黎曼幾何）。
那麼就可以問：這些幾何當中，哪種是客觀的？自然的？實際的？我們在直覺上覺得，它們是平等的，只是歐氏幾何比較符合日常看到的景象罷了。就像你面對一把十字的螺絲刀，一把一字的螺絲刀，一把三角形的螺絲刀。哪把是「真正的」、「自然的」螺絲刀呢？——我回答不了。只能說，它們都是螺絲刀，各有各的用處罷了。
換言之，如果地球上有另一種文明，他們會不會有數學？他們的數學和我們的相通嗎？會不會有一套完全不同地，理解自然的方式？從現有的觀點來看，這自然很有可能。說不定我們哪天也能弄出完全不同的方法來。只是現在我們沒有這樣的東西，所以這隻能是想像。
------------------------------------------------------------
然而事情又沒那麼簡單。代數是慷慨的。它的給予常常超過你的需求。——達朗貝爾
即使我們承認數學是人創造的，但是當我們把它「創造」出來時，它給予我們的東西遠遠地超出了我們的想像。問題就在這裡。
當人們從兩頭羊和兩隻蘋果當中發現了相似之處，創造了數字「2」時，有沒有想到「任一大於2的偶數，都可表示成兩個素數之和？」
當古希臘人發現拿尺子和圓規無法三等分一個角的時候，他們能否想像、理解「域擴張」這套東西？
當人們剛「創造」出整數時，無理數存不存在？圓周率存不存在？自然底數存不存在？特別地，無理數遍布整個實數軸，但是僅僅很少的幾個和我們現實生活發生關係。那些既不是圓周率、自然底數，又不是什麼著名方程的根，至今連名字都沒有的無理數，它們存不存在？
當人們為了讓所有二次方程都有根而「創造」了虛數時，他們知道不知道這個圖形？——這個集合叫做曼德博集合 對任意複數不斷地平方再加一常數，最後發散的塗成白色，不發散的塗成黑色，就形成了這個集合。它有一些很奇特的性質。
問題來了。這些奇妙的東西（特別是曼氏集的例子），在我們發現它之前，存在不存在？如果不是曼德博找到了它，別人會不會找到它？為此，只能說：對，它們本來就存在，某個數學家某天碰巧發現了它們。在發現它之前，它是存在的。同理，也有很多很多別的東西（集合、定理），它們也存在著，只是現在不知道。
這個問題又可往上追問一步：我們沒有「創造」虛數這種「工具」時，曼氏集存不存在？還是說，當數學家在紙上寫下i的時候，曼氏集就像一個深藏的寶藏一樣，突然間，「刷」的一下就被埋下了，等待著幾百年後人們去發現？這似乎不合情理。那麼，曼氏集、混沌學是我們刻意創造的嗎？顯然也不是。再走一步，複數的「創造」是解方程中的必經之路，我們早晚會創造出這樣一個單位來彌補解方程中的缺憾。那麼只好說，這種20世紀發現的奇妙的集合，早在人們拿整數解方程的時候就已經存在了。
類似地，我們也能問：圓周率存不存在？在人類學會數1，2，3的時候，「圓的周長比上直徑的那個量，無法用兩個整數之比寫出」，這個事實難道不已經存在了嗎？只是那時我們還沒那麼聰明，還不知道加減乘除，有理無理數，所以這些事情「尚不知道」而已。如果地球上有別的文明，即使他們有別的數學，他們不用1，2，3，不用四則運算。但是，在看待圓的周長與直徑的看法時，會不會和我們有一些相似之處？
這個規律不妨叫做：數學是慷慨的。我們為了一件小事創造出了一丁點兒東西，但就在這一丁點兒東西的背後，蘊藏了無數奇妙、未知的領域，是我們在創造之初完全無法想見的。更奇特的是，這些奇妙的、看似毫無實際用途的東西，還偶爾與現實世界發生關係，產生出無法預見的重要應用。
這件事情，讓我們經常感覺，數學是被發現的，不像是被「發明」的。或者說，「發明」只是偶爾為之，「發現」才是日常工作。我們絕大多數時候在已有的體系里「發現」各種新東西，然後，偶然間看到了一點兒缺陷，於是「發明」了一點東西去彌補。但又在這時，大自然又賜予了我們無數的寶藏。如果硬要用寶石的比喻的話，數學發展的過程，就像是我們路邊發現了一塊石子，踢了它一腳，卻發現它自己轉著轉著，變成了一塊十七面的鑽石一般。
所以，沒事多證證定理吧。
---------------------以上。本人工科背景，非數學專業，不保證內容全部正確。歡迎指正。簡單說，數學是人為的創造合適的語言來描述和理解自然的規律。
以前看過一點數學哲學相關書籍。裡面的理論大概意思是，數學的來源現在還沒有定論，但傾向於人腦補出來的。傾向於自然的假說稱為實在論，傾向於人腦補出來的假說稱為反實在論。
實在論和反實在論有幾大不同點，也分別有幾個尚未完全說得通的地方，下面大概說一下他們的衝突點(下面是我當時的筆記)：
A. 本體論
1、實在論認為數學對象獨立於我們的思想而存在，那個宇宙中還有無窮多、不可數個事物，且實無窮也是其中一個數學對象。但有認識論問題：我們如何能認識到獨立於我們的思想和我們的物質宇宙以外的東西的？2、反實在論認為數學對象是我們自己的假設，不是某個客觀的事物，只是通過邏輯推演出來的事物。但有應用性問題：如果是隨意設定的公理，那當我們應用於科學時，如何能推導出正確的定律？或者說，如何區分能應用於客觀世界科學的公理、定理和其他的命題？
B. 語言意義
1、實在論的指稱難題：實在論認為「pi是一個無理數」是和「太陽是一個恆星」類似的意義。但是，pi這個名詞和這個抽象的、獨立於我們的物質宇宙和思想的數學對象是如何建立一個指稱關係的？2、反實在論的語義學任務：反實在論認為 「pi是一個無理數」只是一個類似故事的陳述。但是，這種陳述的意義理論，還沒建立起來。「函數r(t)表示車的軌跡」這種混合了數學對象和物質對象的陳述該如何解釋？ 同時，反實在論的語義解釋必須從意義上揭示公理、定理和一般命題的不同。說明為何公理、定理在科學中能成功應用，而其他的命題不能。C. 認識論1、 我們如何能認識到獨立於我們的思想和我們的物質宇宙以外的東西的？更進一步，我們無法確定宇宙中一些事物的存在（比如外星人），一般人卻很肯定無窮的存在，這是為什麼？2、反實在論的認識論任務：與其語義學任務類似3、直覺主義，邏輯實證主義都以認識論為其哲學中心，但是並沒有完成反實在論的認識論任務。數學是人為創造的。
數學本質上是一個自洽的邏輯體系，由若干確定的知識延拓而成的一個自洽邏輯體系。它只研究在已知公理、命題的情形下通過適當邏輯推理能夠得到的結論。因此數學就是數學，理論上來講數學和真實世界是沒有任何關係的，其所有的討論都只建立在若干確定的、無條件正確的命題上，這些命題在建立邏輯體系的時候便規定了他們的無條件正確性，數學的根基也在於此，因而從這一點上說數學非常虛無，不可能是現實的。我們在實際中用數學來解決問題，只不過是因為現實生活中的規律與數學體系中的基本假設命題相同或近似相同，因此可以在實際中得出與在體系內類似的結論，並不能由此說數學是實際的、自然的。不好理解的話可以去了解一下歐幾里得的平行公理和非歐幾何。
另外，自然是模糊的、不確定的、並且帶有一定的主觀性；而數學永遠是清晰的、確定的。非要舉例的話，比如數學中存在虛數系統，如果你非要理解為要找一個數自乘得-1，那數學就是違背自然的；如果你理解為波形相移90°，那數學又成了反映自然的了。如果將數學作為自然的反映，則會推出各種矛盾的結論。
因此中肯的說，數學應該是人類為了探索自然的規律所建立的理想體系。但也正因其理想性和獨立性，數學作為一種工具才可以如此泛用。
數學是一種語言，人類用來描述世界的語言，是人的意識在認識世界時發明的一種精確的語言。它是人造的不假，但是它又不是隨意造的，就如同現代中國人不再用「耒耜」這個詞了一樣，許多與描摹現實世界規律關係不大的數學也失去了活力。
所以從某種程度上說，數學既是被發明的也是被發現的。其被發明的要素在於人類懂得了如何去更廣泛(如從曲面到流形)或更精細(如從連續到Holder連續)地描述自然，被發現的要素則在於新的規律在新語言(如新術語)的描述下被揭示了出來(如高斯絕妙定理引出後來的內蘊幾何)。用數學描述自然就好比把一塊布丟到虛空中的一個鐵框架上，布的形狀起伏勾勒了鐵架的結構，但我們並不能說布就是鐵架本身，但又不能說這塊布的形狀是隨意的，可以胡亂指定。
既然布並不是鐵架本身，那麼它就一定有偏離，的確如此。我們知道，歐拉方程可以描述無粘流體的運動。上世紀末有人證明了無外力源的二維歐拉方程存在一個弱解，可以從零解憑空變出速度，又回歸零解(存在一個對時間和速度是緊支的非零弱解)。也就是說，一渠池塘水在無風的情況下自己泛起了波紋，最後又回歸平靜，這顯然是違反能量守恆的。又比如，在數學裡，一個球體可以分解為有限個部分，重新組合後成為兩個與原球體同樣大小的球體。這些在現實世界裡都是不可能看得到的。
然而布一旦披了上去，它上面細緻的褶皺和起伏就反映了鐵架的性質，這就不是人類所能控制的了。公理一旦被確立好，它所描述的數學對象就不可再更改，我們只能發現定理而不是隨意杜撰。就比如黎曼zeta函數的非平凡零點滿足的對關聯假設，和數值實驗的結果完美地吻合。從這裡我們深深感到，數論是一門「實驗科學」，研究的對象就作為客體在那存在著，令人魂牽夢繞。真巧，正在讀一本數學的書，John David Barrow 寫的，第一章正好是他對這個問題的思考。
先說結論，他認為數學是尋找規律。John David Barrow教授，皇家學會成員，生於1952年11月29日。他是一位英國宇宙學家，理論物理學家，以及數學家。他現任劍橋大學數學科學的研究教授。Barrow教授也是一位成功的科普作家和編劇。
這問題沒有終極答案，如下是我簡陋翻譯，最好直接閱讀原文（見掃描）。
有幾種觀點（見第一頁）：1: 認為數學是客觀存在真理，被人發現了而已。2: 認為數學一堆規則，就像國際象棋、圍棋一樣，我們發明規則，並在這個規則下遊戲。但這兩種觀點很容易讓人糊塗。
如果數學是被發現的，為什麼不能用已知，來發明更多定理呢？為什麼所有定理必須被發明，或者發現呢？所以，還有一種聽起來不那麼理中客觀點（見第二頁）：
3: 數學只是一堆可能的規律集合。這種觀點能幫助我們更好理解這個物理世界。比如：建造牆壁，理解時間，織毛衣，畫對稱圖形等等。數學不過是尋找規律。
這個世界一定有規律，不然生物不可能生存。雖然很容易吃驚於，為何簡單數字和公式，能揭示世界上那麼事情。但數學也有局限性，在簡單物理科學上好用，但在複雜模型，如人類行為上，就不好用了。
推薦這本書。不懂數學也能看懂。且不悶。嗷嗷嗷～～《4分33秒》是美國先鋒派作曲家約翰·凱奇最著名的音樂作品之一。
任何樂器或樂器組合皆可演奏《4分33秒》，但比較常見的版本是以鋼琴演奏。可是，根據《4分33秒》的樂譜顯示，演奏者從頭至尾都不需要奏出一個音。一般來說，鋼琴演奏者在樂章之間會做出開合琴蓋、擦汗等動作，而在演奏這首樂曲期間聽眾聽見的各種聲響都可被認為是音樂的組成部分。因此，《4分33秒》具有機遇音樂的特徵。而因為這部作品在演奏時演奏者不會演奏出一個音，所以常被稱為「四分半鐘的寂靜」。另外，因為此曲的演奏會被環境與觀眾行為影響，所以每次演奏期間發出的聲音都會不同。wiki
謝邀，我有點不敢回答這個問題，因為理解也不是很深，只能姑且說說自己的看法。這個問題確實有一些爭議，原諒我孤陋寡聞，只能想到柏拉圖和亞里士多德的差異。重點在於，數的概念，是我們從各個具體事物經驗總結出來的抽象，還是獨立於具體事物的觀念。我們能從蘋果里抽象出1這個數字嗎？從兩個蘋果的組合里抽象出2？還是我們先天地有1、2這樣的區分，然後把這種觀念賦予到蘋果上去？康德胡塞爾等也討論了這個問題，因為這涉及認識的模式。從柏拉圖到康德及後學，可以視為兩大板塊，理性派和經驗派，雖然在具體問題上互相交叉不斷改變，但對於一個具體認識的立場也無外乎是那樣了：要麼是先天的認識形式，要麼是後天的經驗材料。我個人傾向於認為數是先天的認識形式，套用康德的體系來說，數量其實應該比時空更為基礎直觀，作為先天綜合知識這種橋樑。好吧無視以上廢話，簡單來說，我覺得數量這種概念是人的思維方式先天決定了的。好比綠色是一個客觀存在還是一個主觀存在呢？綠色這個概念顯然是人定義的，且只有在非紅綠色盲的人眼裡，綠色才有其特定的含義，但它又是客觀的，一片綠的葉子就是綠的，在光學上完全可以客觀測定。數字這個概念也是，在人的主觀中，我們把具體的事物看作抽象的數量，譬如一段距離，我們把它定義為1，那麼就可測量出另一段距離是2，實則它們根本沒有客觀的什麼分割，但是如果我們給定了這個主觀的形式，那麼就可以測出客觀的距離。至於數學的「規律」，只要不是錯誤，就可以說那是建立在主觀設定之上的「客觀規律」，在拋開具體應用時，這些規律可以是完全正確的，因為那純然是「分析命題」，不需要任何實證。並且既可以適用於已知領域，可以完全可以適用於未知領域。舉例來說，你可以想想一個不知道存在於哪兒的封閉的小宇宙，那裡的物理規律和我們這個世界目前觀測到的截然不同……但是你不能設想在那兒一加一等於三，對，you just can"t。因為只有把你的大腦換掉才行，否則一加一永遠等於二，在相對論里也等於二，在量子力學裡也等於二——只要沒有具體單位。但是在它沒有結合經驗材料之前，它也沒辦法是綜合的，也就是說，推導再多的數學公式，只要不用於實際，就不會產生任何新的知識……如果不把數學公式本身當作需要背誦的「知識」的話……所以未知領域的數學規律完全可以印證，只要保證我們對話的主體是正常人類，但其他實證規律無法印證。我其實不太知道題主是不是想問這個……以上只是我個人見解，大概數學系的同學會更了解一些~
數學是人為創造的用來描述自然規律的抽像語言
人為創造
在回答這個問題前，我想簡單地回顧一下題主的問題，該問題大概的意思是否是：數學是人為的發明？還是規律的總結？
又或者簡單一點，是否問的是：數學是發明？還是發現？數學是發明還是發現？這個問題困擾了數學哲學方面的學者很多年，關於它的回答在很多本數學哲學類的書籍中出現。那些答案多少能給我們一些啟示。上面許多知友也給出了不少自己或者是專家們的看法。
我看過一些相關的書籍，其中都有談論到這個問題。書中具體的觀點我已經記不清楚了，但我仍然希望能夠以自己現在的理解對這個問題做一個簡單的闡述，希望能夠幫助到所有看答案的人。
在回答數學是發明還是發現之前，我們首先要先明確一點：數學到底是什麼？現在相對普遍被大家理解的一種數學的簡單的定義是：數學是研究數量關係和空間結構變化的一門學科。這個定義用大部分學過初等數學的人來理解就是：數學就是學習幾何圖形和數字、函數、方程的學科。
這個定義比較粗糙和簡單，但是已經可以反映數學的某種實質內容了。舉個栗子：無論是古巴比倫人還是古埃及人還是中國人，無論我們用的符號差異多麼顯著，但是我們反映1+1=2的這個本質都是一樣的。這說明無論人們怎麼創造符號形式，符號形式中所反映的數學規律都是相同的。我們正是根據這種大家都能感受的到的規律（比如1個東西加1個東西變成2個東西）創造了基礎的數字。
再比如圖形中π的計算，無論是中國人還是希臘人，都自發地感受到了圓形的奧妙以及圓周和直徑之間的神奇比例，然後用自己的方式將之描述了出來。從這個角度來講，數學是人類對自然中數量關係和空間結構變化的規律的總結——這種總結就是一種發現。
但是數學不僅止於結果的總結，它更包含了其發現結果的過程。
我們可以這樣對數學做一個簡單的劃分：數學可以分為：1、作為結果的數學。2、作為工具的數學。3、作為文化的數學（這是當代數學哲學的一大重要觀點，這裡暫且不提）。
1、作為結果的數學。數學本身就是要找到這個物理世界的某種規律，並用人類能夠理解的語言（數學語言）將之表述出來並加以運用。從這個角度來看，我們一直在總結現實世界的規律，並希望通過對當前已知的結果進行邏輯整合（推理），以發現（證明）某些未觀察到的新的規律，最終以之解釋世界。所以作為結果的數學的本質是發現。
2、作為工具的數學。然而發現數學規律的過程不是那麼一帆風順的。因為現實世界的不可控因素太多，已知和未知的變數構成了大量的干擾因素，這極大地阻礙了我們對數學結果的探究。所以這個時候我們需要將現實中一些我們認為無關結果的因素排除掉，抽象出那些和數學結果有關係的因素，再對它們重新整合。在這個過程中，數學經歷了第一次抽象。然而這樣還沒完，即使是整理出了數學的直系因素，卻沒有對之進行有效地整合，也是無法得出最後的數學結果的。在這樣的基礎上，數學家們通過自己的奇思妙想，發展出了一套套處理「數學因素」的「數學工具」。舉個典型的例子：射影幾何。射影幾何作為非歐幾何的一大分支，在我們的生活中幾乎是完全碰不到，更用不到的。但是它正是通過對歐式幾何進行變化，忽略了其度量性質，採用綜合而抽象的方法來研究幾何，從而取得了單獨研究歐式幾何所難以得到的成效。通俗來講，我們可以認為歐式幾何就是對世界中的空間結構變化的一種簡單抽象，而射影幾何則是對歐式幾何的再抽象（其實當中還有仿射幾何，這裡略過不提。）。這種再抽象的形式在數學中比比皆是，比如抽象代數，比如泛函分析等等。像這類再抽象，甚至再再抽象的數學，就是作為：為了「發現數學結果」而「發明的數學工具」。它們也是數學，甚至是數學的主體。
其實我們之所以產生「數學究竟是發明還是發現」這樣的問題，根本的原因是在於這樣一個事實：
我們要學習數學結果。
為了學習數學結果，我們需要掌握數學抽象1.為了掌握數學抽象1，我們要先搞定數學抽象2.為了要搞定數學抽象2，我們要先拿下數學抽象3……所以當我們從數學抽象n開始學，辛苦學到數學抽象i（i&
個人認為，其實這個問題對數學並不那麼重要。就像上世紀初關於數學基礎的爭論，數學基礎雖然出了問題，但這並不影響數學的發展，也不影響之前的那些數學結果，它們仍具有深刻的意義。
但不給這個問題一個回答有點不爽，就像你說不清活著的意義但仍可以每天正常的活著，但總有些時候你會對說不清活著的意義不爽。而且今天正好看了Davies的《讓柏拉圖主義消亡》和Mumford的回擊《為什麼我是一個柏拉圖主義者》，略有感慨。
數學是人為創造還是自然規律？人為創造肯定不是的，這在下面貼出來的kodaira的這篇文章里說的很清楚。數學看上去可以自由選擇公理，但並不是所有的公理都能得到豐富的理論體系，公理的選擇自由性實際上為零。個人覺得，往往能反應現實世界的公理才具有豐富的理論體系，比如四維流形的特殊性。得到一個定理也用「發現」這個詞，不用「發明」。那自然規律呢？數學是像地球一樣客觀存在的嗎？我傾向於說是，但並不是那麼有底氣，有點覺得這個問題其實是不可判定的。竊以為大多數天天和數學打交道的數學工作者都會認為數學對象是客觀存在的，儘管不存在於現實世界，但這些概念定理都是客觀的。愛因斯坦似乎說過：「場在物理學家看來就如坐著的板凳一樣實在」，數學家也一樣，在他們看來，虛數i，彎曲空間，n維空間，無窮維空間...這些也都和板凳一樣實在啊。但僅憑概念在我們頭腦中是實在的並不能斷定數學的實在性。但我認為也沒有理由否認數學的實在性，有人說它與認識論矛盾，那是因為他對人類認識能力限制得太狠了，我認為憑人類的能力認識數學實體絕對沒問題。事實也確實如此，數學家對那些本不存在於現實的做出了很多了解，甚至有很好的直觀認識，像對寫滿一頁紙的張量運算看一下就知道結果，這種事情也是真實存在的。所以這個問題似乎沒有答案。
但說這個問題沒有答案並不能讓我滿意。我們來考慮相似但好回答一些的問題：現實世界是否客觀存在？大多數人肯定會說是。但事實上你並沒有證據來說明它確實是，你只能說現實世界的概念在你的頭腦中是實在的。但很少有人真的認為現實世界不存在，我們本能地承認與我們朝夕相處的現實世界是實際客觀存在的。既然如此，為什麼不認為那些在頭腦中實實在在的概念也是實際客觀存在的呢？它只是那些現實世界中具體概念的加工而已。所以，為了方便，承認數學的實在性會舒服很多。
我的觀點和下面這篇kodaira的文章差不多，這篇文章對這個話題有許多見解，這篇文章本身也是對數學的很好的介紹，值得一讀。竊以為，對於數學來講，聽聽這些真正做出數學成果的人的話，比研究數學哲學有用多了，說到底，我們還是要去「做」數學。
終於說通了，不說通不舒服。
數學是人類在觀察自然的基礎之上，為了研究自然規律，而人為創造的一套理論體系。如何構建數學體系和其中的結構，必然會受到人類對自然的理解的影響。但數學本身自己是獨立而自洽的，不受外界自然所影響的。
幾何是自然客觀規律，屬於科學。數學是人造規律，不屬於科學。
目前的數學是在人為設定1+1=2，並十進位的基礎上建立的規律。數學是從自然中抽象的、人為創造並演化的、用於描述自然規律的模型，既離不開人也離不開自然（我這一定是標準的辯證唯物主義）
「自然界的規律」這個概念本身就是人為創造的，而從定義來說，人類的所有創造又都屬於自然界的規律
這個不好說，這要看自然的屬性。如果自然是規律的可理解和認識的，即使外在看起來再混亂無序，也無非是混沌，只不過我們不清楚演算法和準確的初始參數罷了，在這種圖景下，數學是自然的唯一描述語言，不是人造的。相反，如果自然是隨機的不可理解和認知的，即使外在看起來在規則整齊，也無非是大基數下極低概率事件的發生，在這種圖景下，自然沒有可供描述的語言，數學是人造的。
古人云：在一個城堡里，一群蜘蛛在辛勤地結網，忽然有一天，一陣風吹來，網吹散了， 他們非常恐慌，因為他們以為支撐這城堡的，就是蛛網的力量
我們會用兩個詞來描述不同的數學知識：「發明」、「發現」。顯然從詞意上「發明」意味著創造，比如牛頓發明了微積分。「發現」意味原來就有，比如某某提出了什麼猜想。然後我們就覺得有必要對「發現」和「發明」兩個詞背後的意義來深入分析一下。先說我的結論吧。結論取決於提問者的立場。這句話的背後的意思是說；一個數學家，可以完全是站在與你相反的立場才發現或發明了某個數學知識。比如牛頓他當年發明微積分的過程可能是對自然存在著一種等待發現的完美方法的強烈信念才「發現」了微積分的。而哥德巴赫是抱著搭積木的好玩才創造「發明」出那個猜想的。
推薦閱讀：
※「功利主義」是不是流氓學說？
※唯物主義與唯心主義的本質是什麼？有什麼具體例子嗎？
※政治上的功利主義和哲學上的功利主義有什麼不同？
※人們進行邏輯推理時所依據的最基本的公理是什麼？
※有沒有可能有一種生物或程序，擁有高智能但沒有自我意識？