數學中有哪些條件看似很弱卻能推出很強的定理的例子？

01-04

如題。

區域不變性： $U$ 是 $R^n$ 中的任意開集， $f:U ightarrow R^n$ 是任意連續單射，那麼 $f(U)$ 是 $R^n$ 中的開集，且 $f$ 的逆映射是連續的。

這是拓撲中的真正基本的定理，反映了歐氏空間的內蘊性質，由L.E.J.Brouwer於1912年證得。這個定理只需要 $f$ 是連續單射（反函數定理要求 $f$ 是連續可微的且Jacobi矩陣非奇異），只用了較弱的條件就證明了非常強的結論（開集不變）。因此這個看起來像是數學分析的定理，其實要用到很深的拓撲知識才能證明。聽文爺爺說，這個定理由於條件容易滿足而結論很強（連續單射推出其逆連續），在研究中有廣泛的應用。

謝邀。龐加萊猜想（現在應該叫定理）。3維單連通閉流形一定同胚於3維球面。單連通雖然不是很弱的條件，但同胚於球面這個結論太強了。這個定理連同Thurston的幾何化綱領告訴你3維流形其實「不是特別多」，還「數得過來」。所以現在幾何拓撲學家們開始折騰4維流形了。4維流形難度做起來就大多了，哪怕單連通的情形也不是這麼容易。主要在於從4維開始，同胚的拓撲流形可以有不同的光滑結構，也可以沒有光滑結構。

Harmonic functions are infinitely differentiable.

任意 $uin C^{2}(Omega)$ 使得在 $Omega$ 上 $Delta u=0$ ， $u$ 是光滑函數（無限可導）。第一次看到時很震驚...

看到了@Yuhang Liu的答案想起來一個，微分球面定理，其實我覺得這個比Poincare猜想更有趣，至少對我來說。

假如triangulated category存在finite set of generators（classical，strong或者weak），則很多很難驗證成立的性質只需要對有限個object驗證就行了，所以看起來就是用很弱的假設（性質X對有限多個object成立）推出很強的結論（性質X對所有objects成立）。

舉個例子：假設 $M$ 是canonical bundle trivial的Liouville manifold，並且Fukaya category $mathcal{F}(M)$ 上存在 $mathbb{C}^ast$ -action（不嚴格地說，就是Fukaya category的morphism spaces是 $mathbb{C}^ast$ 的rational representations，並且 $A_infty$ -structure關於 $mathbb{C}^ast$ -action equivariant）。假設存在有限多個exact Lagrangian submanifolds的集合 ${L_k}$ ,使 $M$ 中的任意exact Lagrangian submanifold $L$ 滿足 $mathit{HF}^ast(L,L_k) eq0$ ，並且 $mathcal{F}(M)$ 上的 $mathbb{C}^ast$ -action在top degree Floer cohomologies $mathit{HF}^n(L_k,L_k)$ 上是weight 1的，那麼對於任意exact Lagrangian $Lsubset M$ ， $mathbb{C}^ast$ 在 $mathit{HF}^n(L,L)$ 的action也是weight 1的。

上述結果存在對任意reductive group的推廣，只不過幾何上沒有好的應用。容易看出， ${L_k}$ 實際上是split-closed derived Fukaya category $D^pimathcal{F}(M)$ 的weak generators。原本要對 $M$ 中所有exact Lagrangian驗證的weight 1條件，現在只要對有限多個exact Lagrangian驗證了。看上去推出了很強的結果。

另外，數學的基本原理是有多麼強的假設，就能推出多麼強的結論。有時因為人類的愚昧加了很強的假設，卻推不出足夠強的結論。但是絕不可能出現很弱的假設推出很強的結論這種事情，這只是一種錯覺。比如上面的結果之所以成立，在於要求triangulated category存在有限多個generator，這其實是很強的假設。雖然構造一個不存在有限多個generator的Fukaya category不是一件容易的事情，但是絕大多數triangulated category都不能被有限多個objects generate。就像不容易構造出一個非緊的non-Kahler manifold，但其實絕大多數非緊複流形都non-Kahler一樣。這是因為數學的發展都是基於例子的，而人類總是從好的例子開始研究。

泛函分析里的逆映射定理！

第一次聽到命題的結論會感覺很顯然，然後仔細想，越想越不顯然。

這個定理的所有應用都給人一種很神奇的感覺…

Reeb定理。存在只有兩個臨界點的莫爾斯函數推出拓撲同胚於球面，Milnor和Smale最著名的工作最後都用到這個定理。

註：1. Milnor在證明他構造的七維怪球拓撲同胚於標準七維球面時，用的就是該定理。見他的那篇獲得菲爾茲獎論文。

2. Smale在證明五維以及五維以上Poincare猜想時，最後用的也是這個定理。見馬天的《流形拓撲學》這本書或Smale的論文。

拓撲條件能推出幾何性質的定理都感覺符合問題的條件，比如：

1. Mostow rigidity theorem

2. Donaldson關於四維單連通definite微分流形的分類定理.

3. 所有維數Poincare猜想.

復解析雙射的逆也解析。

C--&>C的entire function只要取不到兩個點就必為常函數。

跪求不是複分析的例子。。。

這真的要提一下高中學的Schur(舒爾)不等式了！

Schur不等式:

對於所有的非負實數x、y、z和正數t，都有：

當且僅當x = y = z，或其中兩個數相等而另外一個為零時，等號「=」成立。當t是正的偶數時，不等式對所有的實數x、y和z都成立。

證明:

由於不等式是對稱的，我們不妨設 x≥y≥z

。則不等式

顯然成立，這是因為左邊的每一項都是非負的。把它整理，即得舒爾不等式。

從證明來看，這個不等式就很簡單，兩個非負項相加大於等於0。告訴你這個不等式很緊，好像有點扯淡。

下面用一道題(好像是某一年的國家隊集訓題以及某個省的預賽試題)來看看這個不等式:

(這麼多字母好難打啊，只能手寫了，字丑勿噴)

我記得這個題的原證明很繁瑣，特別是那個某省預賽給出的答案，然而這個證明確很簡單(在知道對稱不等式用牛頓多項式去代替換元的情況下)！

看了證明會發現，有趣的是，Schur不等式僅在比較「緊」的一塊區域行得通，反而很容易證出的部分不能用！

Weierstrass逼近定理(1885):

有界閉區間上的任意連續函數都能被一系列多項式函數一致逼近.

後來被H.Stone推廣：1.有界閉區間可以換為任意緊緻豪斯道夫空間X；多項式列可以換成C(X)中任意滿足分離點條件的子代數.

J.Milnor在從微分觀點看拓撲中很靠前的位置上展示了怎樣把一個特定的對光滑函數類成立的定理推廣到連續函數類上. 例如，先用微分拓撲方法對光滑變換建立不動點性質，然後藉助Weierstrass定理推廣到一般的連續變換上去.

看的目瞪口呆.

Zermelo定理。通俗地說，任何能在有限步內結束的完全二人博弈遊戲，都有一方(先手，或後手)存在必勝策略，或者雙方都沒有必勝策略而都有平局策略。

(所謂完全，可以理解為雙方信息對等且遊戲不受隨機性支配。)

此定理適用於小學奧數中常見的抓硬幣類問題、ox棋、五子棋、對循環棋步有禁止或判和的規則下的中國象棋和國際象棋、對循環劫有類似以上規則的圍棋，等等。

Zermelo定理的證明意外地簡單，這裡留給感興趣的讀者。

可是為什麼我們至今仍沒有找到這些棋類運動的必勝規則呢？和真正的必勝策略相比，最頂尖的人類棋手是不是都是在"瞎jb下"？這個問題也留給感興趣的讀者。

The Elements

martingale L1有界可以推出a.s.收斂

證明在這個回答里貼著：你見過最巧妙的數學證明是什麼？ - 知乎

martingale L2有界不僅可以推出a.s收斂，還可以推出L2收斂，甚至可以把martingale第n項寫成極限對filtration第n項的條件期望

證明不難，也沒有什麼特別巧妙的地方，就不貼了。

當時學的時候還是很吃驚的，主要是受到了泛函的影響。在泛函里，有界能推出弱收斂或者弱*收斂子列就不錯了，強收斂和a.s.收斂想都不敢想。現在再看發現martingale本身就是一個很強的條件了，然而martingale條件的達成又不是那麼困難（至少在離散序列的情況），所以感覺也勉強可以用來回答這題。當然，看似很弱的條件也只是直覺上很弱而已

復變解析函數零點孤立性可以推出唯一性定理。俗話說，《複變函數論》研究的函數性質極好，此言誠不欺人。

各種分類定理啊。。所謂分類定理就是指給出某些條件，我們可以完全地列出這個對象的同構類。最著名的應該是有限單群分類定理，就是說滿足某些單性條件的有限群必然屬於下面列表中的一項：

1.素數階循環群 $mathbb{Z}_p$