為什麼要公理化實數而不是從自然數導出？
讀《陶哲軒實分析》，裡面是通過皮亞諾公理和集合論公理，利用自然數，經過比例數，然後用比例數的柯西序列導出了實數，然後證明了造出來的這東西符合我們對實數的一般的期望。也就是說，集合論公理+皮亞諾公理，再加上點定義就足以造出實數了。
然後我看卓里奇，用了一組公理刻畫了實數。然後自然數反倒是從實數集導出的。我就想問了，既然前者可行，為什麼還會有後面這種做法？按照我們的直覺，不是自然數更「小」，公理化這個東西並且假設它存在不是更加可靠嗎？還有，這兩種方法在什麼意義上等價嗎？--
其實如果你認真讀卓里奇的書的話，他其實已有解釋，內容在2.1.1節末尾。
卓在此節末尾問了兩個問題，1.此公理是否是一致的2此公理的模型是否是唯一的。Model theory這兩個問題 第一個問題答案是yes理由就是陶的構造，陶構造出了實數的一種模型，（這裡你要假設ZFC有模型）我們稱為實數的標準模型，有了這種模型後我們知道此公理是一致的，這是很重要的一點，數學家對沒有模型的公理不感趣。沒有陶的構造，我們無法知道這一點，所以陶的構造和卓的公理二者缺一不可，而不是同一事物的不同角度。
第二問題的答案也是yes卓沒有細談要你作課後題23和24.上面回答是否可以只有卓的公理，沒有陶的模型，答案是不可以因為卓的公理的一致性要由陶的構造保證。
那麼是否可以只有陶的構造，沒有卓的公理化？答案是在經典分析下，是可以的，但公理化給我們了以下好處1，讓我們知道實數只有一種，沒有公理化我們無法理解這一點。2.可以構造非標準實數，考慮一階peano算術Peano axioms，（陶書中peano公理和一階peano算術不同）可以構造出非標準自然數（這樣的模型有無數種這由L?wenheim定理保證），然後可以構造出非標準實數，這樣的非標準實數有無數種，我們只攷慮有趣的幾種，例如Hyperreal number， 你可以理解它是另一種實數，這裡「另一種」這樣理解，它合乎卓書中的除了公理IV（即Completeness of the real numbers）的所有公理，它和標準實數不同構，但合乎Transfer principle，（可以理解成一個命題在標準實數為真當且僅當其對應形式在hyperreal number中為真，見http://www.math.harvard.edu/~waffle/hyperreals.pdf 第三頁）從而可以推出Non-standard analysis沒有自然數的公理化，實數的公理化以上結論是不可能得到的。當然有人會説這些理論在現代數學中沒有很大的用處，這個我也知道，我只能説在目前它有助我們理解實數，或許未來會有用。
最後回答你的問題。讀《陶哲軒實分析》，裡面是通過皮亞諾公理和集合論公理，利用自然數，經過比例數，然後用比例數的柯西序列導出了實數，然後證明了造出來的這東西符合我們對實數的一般的期望。也就是說，集合論公理+皮亞諾公理，再加上點定義就足以造出實數了。
首先你要假設ZFC有模型（為何可以這麼假設，這是一個邏輯學問題，很複雜，這裡不談），然後得到皮亞諾公理有模型（陶省了這一步，作為假設2.6），然後一步步構造出實數，這個實數我們稱為實數的標準模型。我們不用假定我們所定義的自然數合乎皮亞諾公理，實際上這要我們去證明。但這個太技術化，所以陶省了這一步。在中學時公理被理解成絕對真理，但在現在數學中，數學公理沒有絕對的真假，真假總是相對於某個具體模型而言的。
然後我看卓里奇，用了一組公理刻畫了實數。然後自然數反倒是從實數集導出的
你沒看懂卓的書，卓給出了一組公理，但你如何保證它是一致的，（如果不一致在數學認為是沒價值的）在證明一致的過程，要用到陶的構造，陶在構造時就是從自然數造出實數的。根本不存在所謂的「自然數反倒是從實數集導出的」。
我就想問了，既然前者可行，為什麼還會有後面這種做法？
陶給出了一種具體模型，卓沒有給出來，卓公理的一致要用到陶的構造。
按照我們的直覺，不是自然數更「小」，公理化這個東西並且假設它存在不是更加可靠嗎？
我們沒有假定合乎皮亞諾公理東西存在，這是要證明的，陶省了而已，我們更沒有假定合乎卓實數公理的東西存在，這也是要證的，證明過程要用到陶的構造。
還有，這兩種方法在什麼意義上等價嗎？
我前面已回答，合乎卓公理的模型是唯一的，也就是陶的構造，所以二者是一樣的。
謝邀。
這代表兩種不同的觀點：一種是構造式的，我想要得到一個東西，就一定要把這個東西具體地構造出來，具體地寫出來；一種是公理化的定義，比如實數可以定義成「不可數的完備的阿基米德有序域」（我不確定有沒有記漏什麼必要的條件或者多寫了什麼不必要的條件），然後你可以證明這樣的東西如果存在，一定是唯一的（在同構意義下唯一）；然後最關鍵的是這樣的東西為什麼存在？有點耍流氓的做法是：我們可以通過經典的構造實數的方法（柯西列，戴得金分割，無限小數，等等，好多種不同的版本），構造出滿足這些條件的一個實數的模型出來。。所以它當然就存在了。。那麼在已經有具體構造方法的前提下，為什麼我們還關心公理化呢？因為這些公理刻畫了你想描述的對象的本質屬性。這個特點在實數理論裡面都還不是很明顯，在拓撲的同調理論裡面公理化的方法就顯示出它的好處了——拓撲裡面有N多種方法構造拓撲空間的同調群，但是「很巧」不同的方法構造出的同調群都是同構的。這是為什麼呢？有什麼比較自然的理由可以說明這一點呢？後來人們發現了同調群的幾個「關鍵屬性」，就是可以把它看成拓撲空間範疇到分次阿貝爾群範疇上的一個函子，這幾條「關鍵性質」可以描述成這個函子應該滿足的幾條公理。然後人們證明了滿足這些公理的函子是唯一的。然後用不同的方法具體構造出的具體的同調群通通滿足這幾條公理，根據general nonsense,他們自然同構。
其實這種思維方式對學數學是有好處的，它有助於讓你看到真正重要的東西，而暫時忽略那些細枝末節（但不是說細枝末節不重要，做具體的東西，比如具體計算的時候，細枝末節還是很重要的）。比如對行列式這個概念，非數學專業的學生，可能覺得這是個按照矩陣階數遞歸定義的一個東西，很凌亂，然後有些人或許知道行列式完全展開後是n!個單項式的交錯和，但是這種定義仍然很凌亂。對我來說，比較簡潔清楚的定義是：「行列式是定義在矩陣上的一個多重線性的、交錯（即反交換的）、歸一化（單位矩陣行列式為1）的函數」，這種說法就把行列式的幾條關鍵（代數）性質抽象成公理了，而且你可以驗證：這幾條關鍵性質，就已經把行列式完全決定了（即我上面反覆提到的 唯一性）。所以這也就解釋了為什麼算行列式的時候那些技巧如此有效，因為那些技巧用到的幾條基本性質（多重線性、反交換、歸一），真的就完全刻畫了行列式、保存了行列式的所有信息。
傳統數學中有實數的直覺，即柯西列的等價類。但很不幸，這個定義依賴於選擇公理。而選擇公理應該是能不用就不用的。很多時候為了專心研究應用，而非打基礎，乾脆把實數的性質（稠密，全序等）直接作為不可置疑的前提就完事了。
直覺主義的做法是承認自然數，然後定義有理數，定義Dedekind Cut作為實數，這就避免了選擇公理，乃至排中律的引入。Dedekind Cut的有趣之處在於我們可以定義出一大堆不同強弱的實數體系。這些實數譜系對數學基礎，邏輯學和理論計算機科學都非常有意義，但對應用數學家來說，無異於文字遊戲。
也有數學家，美國的Bishop結合了上面兩種思路，用可判定的柯西列作為實數定義，然後發展出了一套構造主義的數學分析體系。這項工作影響還比較大，有Bishop學派的說法。簡而言之，方便。
絕大多數的分析學論證，並不依賴於自然數有理數的底層。詳細地從自然數講到實數，加上練習大體需要一個月乃至更長，影響後面的內容。而對絕大多數學生而言，這樣做的動機不充分。你可以把有序對定義成(a,b)={a,{a,b}},然而這並不比說(a,b)=(c,d)等價於a=c,b=d給出了更多信息。
如果我願意把有序對定義成(a,b)={b,{a,b}},或者更複雜地定義為(a,b)={{{a},b},b,{a,b}}，也是完全可以的，只要保證了(a,b)=(c,d)等價於a=c,b=d，就是正確的定義。從邏輯上講，選自然數還是選實數作為不定義的基本概念並不矛盾，只是不同的口味而已。
比例數的柯西序列，這件事就需要實數公理。為什麼它一定收斂到一個實數？這是一件很不顯然的事情。而等價的最「顯然」的事情是戴德金分割，所以一般喜歡把它當作最基礎的實數公理。
不過用有理數構造實數應該算是基本方法吧，戴德金分割也是可以在稠密的有理數集合上完成的。但不管怎麼說，從有理數到實數這一步都必須增加一條公理，而不能像有理數一樣僅僅是定義。======================================================================我們還是用戴德金分割來舉個例子。實數中的戴德金分割公理是這樣描述的：對於任意的集合則稱A,B是R的一個戴德金分割。簡單來說就是把R分成了不相交的兩個非空集合，其中一個中的元素全部是另一個集合中元素的上界。
戴德金分割公理就是說，對於任意這樣的A和B，都有且僅有一個這個公理可以說是非常簡潔、直觀、深刻，僅這一條就描述清楚了實數最本質的性質：連續性。
戴德金分割也可以用在從有理數構造實數上，只要把分割的對象變成有理數：
繼續說定義的問題，考慮到不同戴德金分割可能會對應到相同的數，那麼我們就要把序的關係定義出來，比較直接的想法是用A集合的包含關係來定義序的關係：
對於戴德金分割若為有限集，則
無論如何，我們在用有理數的時候，腦子裡不是自然數對的等價類，在用實數的時候，腦子裡也不是戴得金分割或有理數柯西列的等價類。我們幾乎完全不關心它的構造，我們只關心它的運算（四則運算和比大小）。這樣簡單地把確定實數的全部性質作為實數的公理列出來，然後用前面的構造作為證明它存在的方法更合適。
由於本人不學數理邏輯好多年，以下回答僅憑記憶作出，故不保證準確性。如有錯誤歡迎指正！
我個人不太清楚實數公理化的內容，但下面的信息應該與之有關。至於某些答主「不關心實數是怎麼來的」的觀點，我只能說那是因為你不做基礎數學，所以才能將就。
根據集合論的觀點（至少是 UC Berkeley 的 Woodin 教授這一派）：
自然數的數量是N0，是最小的可數無窮數；
實數的數量是2^N0，即2的N0次方，是一個不可數無窮數；假設最小的不可數無窮數是N1，則有N0 &< N1 &<= 2^N0那麼問題就來了：N1是否等於2^N0？或者說實數的個數是不是最小的不可數無窮數？
有研究證明，現有的公理體系無法證明等式是否成立，即加某條公理可以讓N1 &< 2^N0，加另一條公理可以讓N1 = 2^N0。所以印象里數理邏輯那邊的一大爭論是「加哪條公理合適？」
如果加條實數公理，應該會被用於決定是等於還是大於了。公理是同源的
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