高維空間點的旋轉問題？

01-04

在二維空間中，有點 $P = (1,2),Q=(2,1)$ ,要想將 $vec{OP}$ 旋轉到 $vec{OQ}$ 所在的方向，只要先計算 $vec{OP},vec{OQ}$ 兩個向量之間的夾角，然後按照旋轉矩陣進行旋轉，就能將 $vec{OP}$ 旋轉到 $vec{OQ}$ 所在的方向。
那麼，在三維情形下，比如 $P=(1,1,2),Q=(1,2,2)$
如何將 $vec{OP}$ 旋轉到 $vec{OQ}$ 所在的方向？更高維呢？

寫個想法拋磚引玉了.

所謂旋轉, 是指一個矩陣變換, 這裡的變換矩陣是行列式為1的正交陣.

所以題主的問題也就是: "如何求出一個行列式為1的正交陣, 使得它作用在 $overrightarrow{OP}$ 向量上, 所得的結果和 $overrightarrow{OQ}$ 向量平行". 或者說, "如何求出一個行列式為1的正交陣, 使得它作用在 $overrightarrow{OP}$ 的單位向量上, 得到 $overrightarrow{OQ}$ 的單位向量".

需要說明的是, 當空間的維數大於等於3時, 這樣的旋轉並不是唯一的. (可以想像以下例子, 比如要把赤道上的一點旋轉到北極去, 那麼轉到位之後, 還可以複合上一個以地軸為軸的任意的旋轉)

這事兒可以這麼做.

我們假設 $overrightarrow{OP}$ 的單位向量為 $e_1$ , $overrightarrow{OQ}$ 的單位向量為 $f_1$ .

在n維向量空間里找一組單位正交基 ${e_i}_{i=1}^n$ , 同樣地, 找一組單位正交基 ${f_i}_{i=1}^n$ . 使得 $e_1,f_1$ 是兩組基中的第一個元素, 注意在選取的時候保持這兩組正交基的定向一致(行列式都為1或者都為-1).

這可以通過Gram-Schmidt方法得到. 注意在n=2的情形下, 這樣的基的選取(幾乎)是唯一的(幾乎是指 $e_2,f_2$ 只有兩種選擇, 而且這兩種選擇本質一樣, 無非是 $(e_2,f_2)=(u,v)$ 與 $(e_2,f_2)=(-u,-v)$ 而已); 然而在 $nge 3$ 時, 選擇方式就有無窮多了.

我們的變換可以由基變換誘導, 即

$Tleft(sum_{i=1}^nalpha_ie_i ight)=sum_{i=1}^nalpha_if_i$ .

具體到題主的例子. $e_1=left(dfrac{1}{sqrt{6}},dfrac{1}{sqrt{6}},dfrac{2}{sqrt{6}} ight)$ , $f_1=left(dfrac 13,dfrac 23,dfrac 23 ight)$ .

我們可以取 $e_2=left(dfrac{1}{sqrt{2}},-dfrac{1}{sqrt{2}},0 ight)$ , $e_3=left(dfrac{1}{sqrt{3}},dfrac{1}{sqrt{3}},-dfrac{1}{sqrt{3}} ight)$ ;

$f_2=left(dfrac{2}{sqrt{5}},-dfrac{1}{sqrt{5}},0 ight)$ , $f_3=left(dfrac{2}{3sqrt{5}},dfrac{4}{3sqrt{5}},-dfrac{5}{3sqrt{5}} ight)$ .

householder變換

剛好這學期學了計算機圖形學，可以來答一下。

你需要的是一個線性變換，可以用矩陣乘法來描述。

$B = egin{vmatrix} x_1 x_2 x_3\ y_1 y_2 y_3\ z_1 z_2 z_3 end{vmatrix} ast A$

==================先跑個題=================

矩陣乘法的意義是什麼呢？

上面這個矩陣的基本工作就是將A向量的三個正交基底（默認為正則基底Canonical Basis）

$e_1=left( 1, 0, 0 ight),e_2=left( 0, 1, 0 ight),e_3=left( 0, 0, 1 ight)$

投影到

$e_1$

用圖像直觀描述就是（圖中看起來像坐標系，然而其實只是互相垂直的三個單位向量，坐標系始終不變）（啊啊啊右邊寫錯了(x1,x2,x3)改為(x1,y1,z1)，以此類推）

對於任意一點 $p$ ，由於其舊坐標

$p = left( x, y, z ight)$

的定義是 $p = x * e_1 + y * e_2 + z * e_3$ （這是Column Vector的定義。不要理解為空間中的向量(x,y,z)。在更general的情況下基底可以不互相正交，甚至可以不是空間向量！反正只要滿足向量空間的公理的就可以稱為向量空間，其元素就可以叫向量。比如複數空間在實數域上是一個二維向量空間，在複數域上是一個一維向量空間。在矩陣中真正參與運算的是線性組合的係數們。）