抽象代數（近世代數）在工程領域有什麼具體用處？

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大學數學主要分為2大塊，分析和代數。其中分析方面的實分析，複分析在工程領域都用處極廣。請問代數，抽象代數在工程，計算機科學，金融等方面有什麼具體用處？

在數字通信中，比特流通過信道後會產生錯誤。為實現可靠通信，需要在發送的時候加入冗餘，並在接收端利用這些冗餘來糾正錯誤。所謂加入冗餘，就是加入一些比特，使之與信息比特滿足一定的數學約束關係，而在接收端利用這種數學約束關係來糾正錯誤。這就是糾錯編碼。不同的糾錯編碼方案採用不同的數學約束關係。糾錯碼中的一大類——代數編碼，就是利用抽象代數中的群,環,域等代數結構來構造的。

在編程開發中，抽象代數被（或者說本應被）廣泛的應用於指導實踐，例如：

**Monad**作為範疇論和群論的產物，揭示了程序設計過程當中的很多普遍模式的本質，這些普遍模式包括：IO，Exception，Promise 等等。Monad的概念已經直接體現在了某些函數式編程語言（如Haskell）當中。

**柯里-霍華德同構**闡述了推理系統和類型系統之間的同構關係（不確定這兩者是否能看做抽象代數的研究對象，此處需要確認？？），在這一結論指導下產生了**Hindley-Milner類型系統**，這一類型系統也已被用在一些程序設計語言（如Haskell，ML）當中。

另外，從很多小的細節方面講，Monad，Functor，Monoid等等這些抽象代數中的概念，已被廣泛應用於某些編程語言（這裡主要指Haskell之類）當中，並成為了其標準庫的一部分，程序員可以用它們來實現各種具有抽象代數結構的實例。看一下Haskell的部分代碼你能有一個大致的體會：Data.Monoid，Prelude

本人程序員一枚，也是最近在學習過程中意識到抽象代數的強大，回答中不免會有概念不準確的地方，希望交流，共勉。

數學基礎課在計算機領域的應用有哪些？ - 互聯網

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對代數了解比較淺，說幾個在理論計算機的應用：

自動機：

1. 自動機理論有個研究方向是用monoid來抽象自動機，即每個自動機都有一個等價的monoid，然後利用一個定理打通自動機和群的關係：Monoid的group-free 等價於Automaton的Permutation-free 等價於non-counting語言。

2. Barrington"s theorem ：大概意思是利用5階對稱群的不可解的性質構造識別正則語言的方法。具體證明就不搬了。

數理邏輯：

我了解不多，知道的僅僅是把群、環、域作為一種和圖、自動機、資料庫類似結構用來研究邏輯，比較直接的應用就是Automatic deduction。所以，群、環、域特有的性質沒有體現出來。

密碼學：

相對用的是用的最多的：Group-based cryptography

如果說真實的工業應用的話，我不是很熟悉，不過密碼學還有通信編碼之類的肯定是要用到抽象代數的的。

在統計這邊的，做農業或者工業中的實驗設計時，因子設計Factorial Design可以用finite Abliian groups的理論進行構造和簡化。

不過我覺得抽象代數的所謂應用大部分都是在理論層的，真到了實際的工業層面，都是直接用現成結論來著。

最近不是流行理解`Monad`么

小朋友，等你到高年級你就知道是沒有什麼東西不用代數的。。。我過了一遍我博士的課好像也就操作系統沒用過。

我們玩的遊戲是由遊戲引擎製作出來的。

遊戲引擎中的旋轉是靠單位純四元數的集合來表示的。

而單位純四元數則是最基本的李群。

參見

Understanding Quaternions3D Game Engine Programming

抽象代數是代數的抽象，所有用到代數的地方都是用了抽象代數，代數在工程上應用之廣就不用說了吧。

大規模連續性語音識別的解碼就用到了有限狀態自動轉換器（WFST），其背後的原理和各種優化演算法都是基於近世代數的。我讀書少，就知道這一個例子。

用計算機求符號積分，integrate(f(x),x)，演算法實現。典型的是risch algorithm。

在求符號積分的時候會遇到一個函數RootsOf，就是把一個一元多項式的根全部求出來，問題是1元5次多項式的根是不能用公式表達的，所以會必須使用這個符號。

學下haskell 你就明白了

在信息安全，密碼學中用的比較多

量子化學，計算化學

信道編碼。

通信加密，比特幣