將n個數（1.2.3.4……n），隨機排序做成離散圖，波峰數和波谷數的和的數學期望是多少？

比如10個數：隨機排序後1、3、5、7、9、10、8、6、4、2。

波峰數：1（波峰：k&>k+1k&>k-1，k為序號）

波谷數：0（波谷：k&總計：1

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數學期望是可加的，於是，甭管兩個變數XY是否獨立，E(X+Y) = E(X) + E(Y)，於是：

E(波峰數+波谷數)

= E(波峰數) + E(波谷數) = E(波峰數)*2 //根據對稱性

= (E(位置2出現波峰) + E(位置3出現波峰) + ... + E(位置n-1出現波峰)) * 2

= (n - 2) * E(位置2出現波峰) * 2

= (n - 2) * p(a[2] &> a[1] a[2] &> a[3]) * 2

= (n - 2) * p(a[2]是a[1, 2, 3]中最小的那個) * 2

= (n - 2) * 2 / 3

各種表述比較隨意。。。

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==========割==_(:з」∠)_=========

@陳霜 其實已經給出了過程，但是我不能只擺一個答案在這裡，特此填坑。

先簡化問題。要求期望就要有概率，並且直覺告訴我們「波峰」和「波谷」出現的概率應該是一樣的，於是我們要先算出：在此離散圖的任意位置 ，出現「波峰」的概率是多少。根據題中「波峰」的定義，

既：

且

(代表在位置上的數)

所以要算波峰出現的概率，只需要考慮該位置上的數和與其緊鄰的兩個數就夠了。根據題目，這三個數必定兩兩不等，必然會有大、中、小這樣的次序。全排列之：

大中小

大小中

中大小

中小大

小大中

小中大

其中，符合「波峰」的有

中大小

小大中

兩種，所以波峰概率為。（同樣，可以看出波谷概率相同。）

接下來，如 @陳霜 所說，E(波峰數+波谷數) = E(波峰數) + E(波谷數) = 2 * E(波峰數)。

又因為在數列兩端點不可能出現波峰或波谷，E(波峰數) =

E(波峰數+波谷數) = .

完

（ps. 數學向來硬傷，錯誤疏漏請隨意噴 _(:з」∠)_ ）

（pps. 其實這個問題可以計算機算出幾組數據畫個圖就能看出關係，再想辦法證_(:з」∠)_（數學歸納應該可以吧。。））

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從數學上的計算 @陳霜 的答案已經很完美了。

不過既然樓主問題的標籤中含有編程，那麼我從使用計算機模擬的方面也給出一個方法，權做開闊一下思路。

核心的代碼如下(Python3.x)，使用simulate函數來模擬size個數的情形：通過反覆模擬count次，返回其中波峰/波谷的平均數。

def simulate(size, count=None):
xs = np.arange(size)
count = 10**5 if count is None else count
total = 0
for _ in range(count):
np.random.shuffle(xs)
for i in range(1, len(xs)-1):
if (xs[i] - xs[i-1])*(xs[i] - xs[i+1]) &> 0:
total +=1
return total / count


對n = 2,3,4,..,32依次模擬，得到相應的波峰波谷數目，然後得到擬合的直線方程為：

完整的python代碼與運行結果如下：

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def simulate(size, count=None):
xs = np.arange(size)
count = 10**5 if count is None else count
total = 0
for _ in range(count):
np.random.shuffle(xs)
for i in range(1, len(xs)-1):
if (xs[i] - xs[i-1])*(xs[i] - xs[i+1]) &> 0:
total +=1
return total / count

x = np.arange(2, 33)
y = [simulate(n) for n in x]

a, b = np.polyfit(x, y, 1)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(15, 5))
fig.suptitle("$E_n = %.2fn%.2f$" % (a, b))
ax.plot(x, y)
ax.set_xlim([2, 32])
ax.set_xticks(np.linspace(2, 32, 8).astype(int))
ax.grid(True)
ax.set_xlabel("n")
ax.set_ylabel("E")


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怎麼定義波峰和波谷呢？在多大的區域是極大值 或 極小值。是不是比左右兩邊的值都大(小)就算是極大(小)值？

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