利用微分法計算定積分的結果是真實值嗎?

01-04

比方說把一個曲邊梯形分成無數個小矩形，書上說每一個小矩形都有一個可以忽略不計的誤差，都是近似，那無數個這種誤差算出來的結果和真實的面積值真的一樣嗎？

題主如果對這個近似存在疑慮的話，可以看一下達布和。

利用分割成小梯形的方法求得的面積一定小於等於達布上和，一定大於等於達布下和。而只有當達布下和與達布上和相等，這個積分才是達布可積的。

換句話說，如果達布可積，設達布上和與達布下和為A，那積分值就是一個介於A和A的值，你還敢說它真實值不是A嗎。

這個問題問的挺好的。一般的高數書的確說的有點模糊。因為說下去就是一堆數學分析的內容。大概的思路是: 你已經知道了微元法出來的是標準答案加個誤差，但為什麼加上了這個誤差，標準答案還是這個答案？這就涉及到實數是怎麼定義的。粗略說，實數是一堆有理數數列的極限。在對梯形寬度做極限的時候，也對你的答案做了極限(並不總是對的)，通常的結果就是那個實數。

好問題。這就是黎曼可積性理論想要回答的問題。

==========最開始研究積分：土地測量==========

這個小小的例子的目的是幫助題主從直覺上相信黎曼積分積出來的就是面積。而且這個小例子裡面有很多幫助我們繼續走下去的線索。

現在我們要量一塊黑土地的面積。我們先假裝有個數軸把黑土地切成兩段。我們現在先算在 $[a,b]$ 區間上的數軸上半部分的黑土地面積

設上邊界由函數 $f(x)$ 給出。設 $M([p,q])$ 為區間 $[p,q]$ 上 $f$ 的最大值， $m([p,q])$ 為區間 $[p,q]$ 上 $f$ 的最小值。那麼就有

$m([a,b]) imes (b-a) =S_mleq S leq S_M=M([a,b]) imes(b-a)$

畫個圖：

也就是說 $m([a,b])leq frac{S}{b-a} leq M([a,b])$

問題是怎麼把 $frac{S}{b-a}$ 弄出來呢？人們一拍腦袋說，我就隨便在 $[a,b]$ 上選一個點 $eta$ ，把 $f(eta)$ 當成 $frac{S}{b-a}$ 好了......

不靠譜。

非常的不靠譜。

簡直不靠譜到了極致。

但是奇蹟般的這個估計的不靠譜程度是可控的。

由於 $m([a,b])leq f(eta) leq M([a,b])$

那麼就有 $|f(eta)-frac{S}{b-a}|leq M([a,b])-m([a,b])$

也就是說 $|f(eta) imes(b-a)-S|leq (M([a,b])-m([a,b])*(b-a)$

可控的不靠譜還是不靠譜。那麼我們怎麼把它變得靠譜一點呢？我們隨便選一個點 $cin(a,b)$ ，並且在 $[a,c]$ 和 $[b,c]$ 上依舊按照上面的套路操作。那麼我們得到的估計是什麼呢？

$egin{align} |f(eta_1) imes(c-a)+f(eta_2) imes(b-c)-S|\ leq (M([a,c])-m([a,c])) imes (c-a)\ +(M([c,b])-m([c,b])) imes (b-c) end{align}$

加入了分點之後，不靠譜程度的變化如圖所示

變小了！

真的變小了！

我們不禁要問，加入更多更多的分點，是否能夠繼續把不靠譜程度縮小？

更進一步的，不靠譜程度能不能縮減到任意小?

能的。

這就是黎曼可積性理論給出的結論。當函數 $f$ 幾乎處處連續的時候（也就是說隨便抓一個點，以概率1抓到連續點），只要 $lambda(Delta)$ 足夠小，不靠譜程度可以縮減到任意小。這也就回答了題主的問題。無窮多個小誤差疊加起來，可以任意小。

如果不追究數學上的嚴謹的話可以不往下看了。

==========嚴謹化==========

方便起見，我們來回憶一下定積分是怎麼算出來的。這裡假設積分區域為 $[a,b]$ ，被積函數 $f$ 連續。不連續的證明會麻煩許多，但是思想都是這一套。

step1. 分割

$Delta: a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b$

step2.求（黎曼）和

$S(Delta,{eta_i}_{i=1}^n)=sum_{i=1}^nf(eta_i)(x_i-x_{i-1}), eta_iin[x_{i-1},x_i]$

step3.取極限。設

$lambda(Delta) = max_{i=1,...,n} (x_i-x_{i-1})$

那麼如果當 $lambda(Delta) ightarrow 0$ 時， $S$ 收斂，則稱原函數 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積。

第一次見到這個定義，看到最後莫名其妙出來一個蜜汁收斂，我自己是懵逼的。懵逼的原因是因為 $S(Delta,{eta_i}_{i=1}^n)$ 中， $Delta$ 的選點是xjb選的（就叫他剖分任意性吧）， ${eta_i}_{i=1}^n$ 是xjb選的（就叫它選點任意性吧），你告訴我只要 $lambda(Delta)$ 足夠小， $S(Delta,{eta_i}_{i=1}^n)$ 的值就會收斂到確定值？你有考慮過剖分任意性和選點任意性的感受么？

這就是黎曼積分最好玩的地方。只要函數性質夠好（最終極的結論是幾乎處處連續，也就是在 $[a,b]$ 上隨手一抓，以概率1抓到 $f$ 的連續點），那麼只要 $lambda(Delta)$ 足夠小，這兩個任意性真就翻不出什麼浪花。最終 $S$ 就是要乖乖收斂到真實值上去。

=====控制選點任意性======

我們用類似於土地測量的方式消除選點任意性。令

$M_i=sup_{xin[x_{i-1},x_i]}f(x)$

$m_i=inf_{xin[x_{i-1},x_i]}f(x)$

$S_M(Delta)=sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1})$ （叫做分割 $Delta$ 的上達布和）

$S_m(Delta)=sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})$ （叫做分割 $Delta$ 的下達布和）

那麼就有

$S_m(Delta) leq S(Delta,{eta_i}_{i=1}^n) leq S_M(Delta)$

成功控制住選點任意性。

====== $epsilon$ -靠譜分割的存在性======

下面證明對於連續函數 $f$ ， $forall epsilon>0$ 存在一個分割 $Delta_epsilon$ 滿足 $S_M(Delta_epsilon)-S_m(Delta_epsilon)<epsilon$

證明：對 $forall epsilon>0$ ，由於 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續故其一致連續。也就是說 $exists delta>0$ ，使得如果 $|x_1-x_2|<delta$ ，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|< frac{epsilon}{2(b-a)}$

為了利用這個性質控制 $S_M(Delta_epsilon)-S_m(Delta_epsilon)$ ，我們要控制 $M_i-m_i$ 。為此，我們取 $Delta_epsilon$ 為 $[a,b]$ 的 $N=lceil frac{b-a}{2delta} ceil$ 等分 $Delta_epsilon:a=x_0<...<x_N=b$

由函數的連續性可知，在分割的第i個區間 $[x_{i-1},x_i]$ 中， $exists y_m,y_Min[x_{i-1},x_i]$ 使得 $m_i=f(y_m),M_i=f(y_M)$

然而 $|y_M-y_m|leq|x_i-x_{i-1}|<delta$

於是 $M_i-m_ileq frac{epsilon}{2(b-a)}$

所以

$egin{align} S_M(Delta_epsilon)-S_m(Delta_epsilon)\ =sum_{i=1}^N (M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\ leqsum_{i=1}^N frac{epsilon}{2(b-a)}(x_i-x_{i-1})\ =frac{epsilon}{2(b-a)}(x_N-x_0)\ =frac{epsilon}{2}<epsilon end{align}$

證畢。

（縱觀這個證明， $f$ 的一致連續性幫了我們大忙，對於一般的有界函數的處理將會麻煩很多......）

=====建立任意分割與靠譜分割的關係：加細======

我們現在來消除分割任意性。注意到我們證明了存在一堆分割，不管你要求不靠譜程度有多小，你都能從這一堆裡面找到一個分割。那麼為了消除分割任意性，我們要想方設法把一個xjb選的分割 $Delta$ 和 $Delta_epsilon$ 扯上關係。這個手法叫做分割的加細。具體而言

令 $Delta_1:a=x_0<...<x_n=b$ , $Delta_2:a=y_0<...<y_m=b$

把集合 ${x_0,...,x_n}cup{y_0,...,y_m}$ 的元素從小到大排序，得到的結果記為 ${z_1,...,z_t}$ ，那麼 $Delta_1,Delta_2$ 的加細 $Delta_1cupDelta_2$ 即為

$Delta_1cupDelta_2:a=z_0<...<z_t=b$

另外，說 $hat{Delta}$ 是 $Delta$ 的加細，當且僅當 $Delta$ 的分點都是 $hat{Delta}$ 的分點

定義了加細之後，有什麼性質呢？回憶土地測量的例子，我們發現：

加細之後， $S_M$ 變小， $S_m$ 變大， $S_M-S_m$ 變小。這可以通過 $sup_{xin[a,c]}f(x),sup_{xin[c,b]}f(x)leqsup_{xin [a,b]}f(x)$

$inf_{xin[a,c]}f(x),inf_{xin[c,b]}f(x)geqinf_{xin [a,b]}f(x)$

完成證明。證明具體過程略過。

這也就是說，對於一個分割 $Delta$ ，我想把他改造的比 $Delta_epsilon$ 靠譜，只需要做 $Delta$ 和 $Delta_epsilon$ 的加細即可。

通過這個手段，我們成功的去掉了分割任意性。不管你xjb取什麼分割 $Delta$ ，我如果想讓他的不靠譜程度小於 $epsilon$ ，就只要做 $Delta$ 和 $Delta_epsilon$ 的加細即可。

=====一致性： $f$ 連續且 $lambda(Delta)$ 足夠小，就一定能保證 $S_M(Delta)-S_m(Delta)$ 足夠小=====

對 $forall epsilon>0$ ，我們先來探究想要使 $S_M(Delta)-S_m(Delta)<epsilon$ 的條件。我們先取一個 $hat{Delta}$ 保證 $S_M(hat{Delta})-S_m(hat{Delta})<frac{epsilon}{2}$ （留 $frac{epsilon}{2}$ 用來放縮），然後考慮加細 $Deltacuphat{Delta}$ 。為了讓 $Delta$ 的每個小區間內部最多包含 $hat{Delta}$ 中的一個點，我們提出第一個要求：

$lambda(Delta)leqfrac{lambda(hat{Delta})}{2}$

下面我們考慮 $Deltacuphat{Delta}$ 與 $Delta$ 的差異。我們考慮 $Delta$ 中的一個小區間 $[x_i,x_{i+1}]$ 。我們提的第一個要求保證 $(x_i,x_{i+1})$ 中至多有一個 $hat{Delta}$ 中的一個點。如果沒有 $hat{Delta}$ 中的點，那麼在這個區間上 $Deltacuphat{Delta}$ 與 $Delta$ 的所有東西都一模一樣。所以我們考慮有一個 $hat{Delta}$ 中的點，設為 $y_j$

======未完成，待續更======

@cxqd17 回答很到點。我稍作補充。

這其實很有意思，比如說一般我們說無限小，可能一般人就覺得就是很小很小很小罷了，然後不做深究。那麼無限小乘以無限大又是多少呢？

但無限小也有很多，也「可以相互比較」。

就比如，在h趨於0時，若 $g=o(h)$ ，那麼g就是一個比h要「小」的無限小，具體來說就是， $limlimits_{h o 0}frac{g}{h}=0$ 。

就是說，h和g都是無限趨於0的，但是「在這個過程中」g比h又要小無窮倍。

一個例子就是 $h=frac{1}{x},g=frac{1}{x^2},x oinfty$ ，h和g都趨於0，但是 $frac{g}{h}=frac{1}{x}$ 也是趨於0的。

那麼回到這個題主的問題，這個問題的答案就是這樣

雖然有無限個無窮小的誤差，但是他們的和依然是個無窮小。

不嚴謹的說明：

把一段連續函數等分成 $n$ 段，每段長度為 $h$ ，我們能保證每段的面積誤差都是 $o(h)$ ，那麼一共的誤差就是 $n,o(h)=frac{l}{h}o(h)=l,o(1)=o(1)$ ， $o(1)$ 也是無窮小咯。

所以誤差是無窮小的。取極限就是0，也就是說是沒有任何誤差，完全精準。

最後如果再深入一點的話。你有可能有這個問題，有那麼多種積分（Riemann,Darboux,Lebesgue...），哪種積分才是我們的面積？

其實我們這討論的都是常規的，人類能想像的「面積」，對於這些圖形（幾乎）所有種類的積分所得到的答案都一樣的，也就是我們常說的「面積」。

那麼對於一些複雜的圖形，就比如說函數

$[ f=egin{cases} 0 x ext{ is rational} \ 1 ext{otherwise} end{cases} ]$

這個圖形就不是，（比如說）黎曼可積的，那麼這個函數在0到1之間的面積是多少？

說不上來。

但是它的lebesgue積分又是0，那它的面積是0咯？

所以其實，面積就是通俗版的積分，有很多種積分，也就有很多種對應的面積。

至少我認為，面積就是積分的值的另一個名字。

所以，「真實」的面積就是積分的值，積分的值就是真實值。

一樣。黎曼積分是黎曼和的極限，意味著誤差可以任意小，就像 $0.9999cdots = 1$ 一樣。

真實面積（曲邊梯形面積）和黎曼和（小矩形面積和）的誤差隨著分割變細趨於0，而且黎曼積分和具體分割無關，只要最寬的小矩形寬度趨於0就行，這樣就可以把真實面積定義成黎曼積分。類比 $0.9999cdots = 1$ ,好比左邊就是黎曼積分（黎曼和的極限），右邊就好比是真實面積，一樣的。

我以前總覺得不是，總感覺差了那麼一點，要比真值小，但事實上就是真值。絕對的真值。

理解這個問題的障礙在於是否理解無限的概念。

來看一個問題：

1=0.999999999……這個等式成立嗎？

似乎0.99999…永遠到不了1，但如果是無限個9，那就是1了。「無限」這概念與「很多很多」是有區別的。

下面是該問題證明：

1/3=0.333333333……

兩邊同乘以3得

1=0.999999999……

證畢。

同理，曲邊梯形的面積當被切割成無限個矩形面積之和時，這無限個和則是所要求的面積。

不知你有沒有get到我想說的，我就是靠這個證明才理解了無限的魔力…

這個問題問得好，不像其他答主說的，無限個誤差加起來不一定可以忽略不計！無限個無限小的誤差加起來才有可能可以忽略不計。所以這個問題的答案是不一定。我們只需要弄出一個不走尋常路的劃分（partition），使得mesh不趨近於零，然後這個黎曼和的極限就不一定是黎曼積分了！

比如說，對於區間[0,1]，我們取劃分{1, 1/2, 1/3, 1/4, ... , 1/k, 0}，無論k取多大，它的mesh都是1/2。也就是說，始終有一個矩形，它的底邊長為1/2，它也就不是一個很好的近似值，誤差很大，但這並不妨礙它成為一個黎曼和。正因為有這個不走尋常路的矩形在，這個黎曼和的極限不一定是黎曼積分。

這就是為什麼通常我們都不會取一些奇怪的劃分，第一次學微積分的時候通常都用的是partition evenly，也就是讓每一個小矩形的底邊長相等，這樣可以保證黎曼和收斂到黎曼積分（前提是黎曼可積），也就是面積。

分析學的本質是不等式。

「極限」是用不等式定義的存在則唯一的值，而積分則是極限的衍生物——用不等式定義的收斂則唯一的值，這麼想來不是很自然嗎。

難道不是。。。。上極限等於下極限嘛？哪裡來的。。。。誤差？

本來就可以拿勒貝格測度定義面積吧，不過我想題主肯定不是這個意思。

回到本題：可以積的出來的話就是的，積分是分割求和取極限的過程，分劃和標誌點都是任意的，對任意分劃取每個小區間上被積函數的上下確界分別得到達布大和和達布小和，圖形的大小就夾在兩者之間，可積的話兩者極限存在且相等於積分值也就是圖形的面積（具體證明看數學分析的書）

你的問題很好，其實在算積分值之前還有一個必要的步驟，證明可積性。可惜工科的教材不太注重這一點，隨便什麼函數拿來就做積分。

進一步說，可以這麼處理的函數叫做可積函數。你擔心的情況是有可能發生的，這種稱為不可積。

我們將x軸分成了無數個小微元。這個微元有多小的？定義是「任何正實數都比這個微元大」。這裡的小是數學意義的無窮小。這一點保證了題主說的「小誤差」足以忽略不計。

另外。用計算機算積分的時候。計算機會將函數圖形拆成一堆小直角梯形。通常認為這種近似計算對於實際問題可以當真實值用。

是真實的。

用無數個矩形逼近，可以使用「面積小於真實面積」的方法，也可以使用「面積大於真實面積」的方法。當這兩種方法求出的面積相等時，則求出的面積為真實面積。

很簡單，推導定積分書上是近似為矩形，題主主要加上三角區域即可，然後你會發現定積分計算出面積和真實面積關係是：

真實面積 = 矩形面積和+三角面積和+誤差

真是面積 = 矩形面積 + 0(矩形面積)

也就是說：除了矩形面積剩下的就是個無窮小量，其實定積分面積就是n取無限極限值，這個極限值就是真實面積了(●—●)

任意黎曼和收斂等價於黎曼積分收斂

你說的方法等於均分下的黎曼和，會收斂到黎曼積分上

我們說實數a，並不是指這一個數，而是誤差無線小的一堆數，a1，a2，a3……

小梯形之和在這一堆數之內，所以我們說它等於a。

題主的明白？

是真實值

積分本身是黎曼和的極限

極限本身是一個確定的數值

重點在「可以忽略不計的誤差」.

什麼時候用矩形逼近曲邊梯形的面積就可以忽略了？不是任何時候都可以忽略不計的，因為無限多個無窮小的誤差之和可能不是無窮小了。

所以要對這些誤差有一個估計或者控制。比如每塊矩形的逼近誤差是曲邊梯形面積的高階無窮小的時候就可以了。什麼時候可以滿足這樣的條件呢？至少函數是有界閉區間上的連續函數都能滿足.

以上說的這些其實都是黎曼積分的定義，題主找本數學分析的書看看，上面的意思都寫了，黎曼上和，黎曼下和，振幅總和等等，描述了上面的意思，只不過是用公式的形式寫的.