物理的功為什麼用力和位移的乘積來表達？

01-04

在下高一，學到了能量那章，不明白為什麼F x S =W，為什麼功是這樣求的，這個公式為什麼會出現呢？書上說功的定義:力的大小與位移大小的乘積。
總之很混亂啊= =功為什麼能用這個公式表示呢！我理解是功是表示物體受到了一定的能量產生了變化，但是為什麼功能通過F x S得出啊！= =好糾結啊好糾結.

感謝樓主問這樣的一個問題。我讀了很多年力學，這個問題還是第一次仔細想， @曾博的回答想法是對的，只是動能項的解釋有點循環認證。我在Why does kinetic energy increase quadratically, not linearly, with speed? 發現是一個非常深刻和簡潔的解釋，這裡簡單翻譯一下吧：

基本的想法是伽利略不變原理，就是在不同的慣性系下物理規律是一樣的。

記動能為E = E(m, v)，即動能是一個關於物體質量和速度的函數。動能的定義，可以依據能量守恆，方便的定義為當一個物體以一定速度撞擊壁面並完全停止以後，所產生的熱量。這個就可以用溫度計實際的測量了。

因為動能是沒有方向的，所以嚴格說應該是E = E(m, |v|)。方便書寫，還是寫成E = E(m, v)。

1. 正比於質量。這個應該說沒有辦法純理論證明，實驗上在經典力學範圍內是可以得到的。就是E = E(m,v) = mE(v)。這裡我只能說這一步是純經驗的了。事實上出了經典力學的範圍，質量本身也不是常量，所以說這個是經驗性的，又符合很準確的線性規律了。

2. 速度關係。不依賴於第1條。

情景：兩個質量同為m的小球相向以速度為v相撞，併合成一個球。由於動量守恆，動能為0，能量轉化為熱能，為E(m,v)+E(m,v) = 2E(m,v)。

假若此時有一名觀察者在一輛速度為v的和其中一球同向的火車上觀察這個事件。那其中一球速度為0，而另外一球則以2v的速度撞擊此球，結果兩球合併一球並以v的速度運動。這時產生的熱量為E(m, 2v) - 2E(m,v)，其發熱量與觀察者的參照系無關，即:

E(m, 2v) - 2E(m,v) = 2E(m, v)

所以 E(m, 2v) = 4E(m, v)

動能可見是與速度的平方成正比的。

從動能的定義上，就可以按 @曾博的推導進行，得到功的定義式了。

註：我原來也以為這個平方律是一個人為定義式，感謝題主給我這個機會重新想這個問題。謝謝！

你先忘掉能量什麼的幾秒鐘，然後深呼吸一下。

首先書上寫到，功的（高中版）定義是力乘以距離。既然是定義，就是說這個式子所表達的那個東西就被稱作功，而後面的一切都是從定義出發的。這是正常的邏輯順序，不是反著來的。

但自然的問題就是為什麼要定義一個叫做功的東西。這個其實還是從牛頓第二定律出發的。你知道F=ma描述了物體的運動，而且這個式子是針對物體運動的每一個瞬間而言的。但通過這個式子解出物體的運動超出了你現在所學的數學。如果考慮一些簡單的情況，比如力是常數，物體做勻加速運動，我們在方程兩邊乘以一段運動的距離，得到Fs=mas，因為a=(v(t)-v(0))/t，s=(v(t)+v(0))t/2，於是得到

Fs=mv(t)^2/2-mv(0)^2/2

這個方程和原本的F=ma相比，有2個好處，一是它不涉及加速度這個不直觀且和物體自身狀態無關的量了，二是右邊的部分不再和整個過程有關，只與過程的開始和結束有關。這兩個好處使得它在使用時變得更方便。所以我們把左邊定義為功

W=Fs

右邊長得像mv(t)^2/2的東西定義為動能E，於是這個方程簡寫為

W=E(t)-E(0)

於是可以解釋成功等於動能的變化（據說叫做動能定理）。一些書會說功的物理涵義是力的效果在路程上的積累，不過我覺得這只是用來讓你記住功的定義用的。

至於這裡出現的能量是什麼，我覺得費曼的比喻很貼切。能量不過是一盒積木的個數，因為這個個數是不變的，所以你就能數一數有多少塊積木在盒子裡面，有多少塊積木丟了。換句話說，只是使用方便的標記而已，這裡沒什麼更深的遐想。

更重要的是，只要稍微修改功的定義，用更複雜的數學來推導，這個動能定理對於任何滿足牛頓第二定律的運動都成立。但這個修改也超出了你學過的數學，所以只能先將就一下了。

寫完才看到。這個更複雜的數學，就去看@曾博的答案好了。

$vec{F}=mvec{a}$

$vec{F}=mfrac{dvec{v}}{dt}$

$vec{F}cdot dvec{r}=mfrac{dvec{v}}{dt}cdot dvec{r}=mvec{v}dvec{v}=d(m frac{v^2}2)$

這意味著，對於一個質點， $(m frac{v^2}2)$ 的變化量可以用 $int vec{F}cdot dvec{r}$ 刻畫。

於是把 $(m frac{v^2}2)$ 定義為動能，用 $int vec{F}cdot dvec{r}$ 就能刻畫動能的改變數了。

簡而言之，就是數學上湊出了這樣的量，可以算一些問題。

功是能量的傳遞，有時候通過功計算能量的變化比較方便，就是這樣。

你可以認為：力乘距離恰好與其它的能量形式有等價性。

再深入討論，就可能是一個非常基礎的問題，它肯定涉及群論的知識，我搞不定。

你是高一是吧：

下面是原理和解釋：

$mdv/dt=F; K=1/2mv^2; mdv(ds/dt)=FdsRightarrow mvdv=Fds$

兩邊積分：

$Delta K=1/2mv(t)^2-1/2mv(0)^2=int_{a}^{b} Fds$

也就是，力在距離上的積分就是運動物體動能的變化

這是1維情形；3維時需要考慮矢量的點積

我覺得不應該和一個高中生扯積分！

如果我是高中生我就不樂意看！

因為我看不懂啥積分！

那麼，為什麼功是力和力方向上位移的乘積呢

我是這樣想的。關於能量交換，有兩種方式，比如我要和你進行能量交換，一種是我和你接觸進行熱量交換，一種是我推了你一把把你推開了。這兩種被分成了兩類。後一類就被叫做功。

當然前面的人說的對，就是定義啊，記住就好了，深究還得等以後能深究的時候。

我以前也喜歡想這些問題，我還想著能用一個小本子記下這些問題，等我長大了一點一點的搞清楚他們。

可惜沒能堅持下來。

長大了這樣的胡思亂想真是越來越少了。

還是希望你能這樣一直胡思亂想下去

力是改變物體運動狀態的原因，功就是在力的作用下，物體在位移方向上動能變化的積累。就是在有力作用的情況下，物體經過一段位移後，動能的變化量。至於為什麼是乘法，以位移為橫坐標，力為縱坐標，物體受力不變的情況下，從a點到b點的位移與受力值的乘積就是那個長方形的面積，就是力在位移上的積累效果了。功是一個標量，就是一個數值，沒有方向，只有正負。功是表達機械能的，屬於能量。如果你學到向量乘法了，你就會知道，功是力和位移這兩個矢量的內積。

理解位移和力的雙線性性質是核心。

高中物理中有兩個可以互相轉換的機械能公式，即動能和勢能。動能公式有二次項，對於理解線性關係稍微麻煩，所以我們用勢能更方便討論線性性質。

以質點重力勢能 $U(x)$ 為例，當垂直高度產生落差 $Delta x$ 時，勢能的變化關係如下，