數和運算的本質是什麼？

01-04

最近學單片機，首先要了解二進位，八進位，十六進位以及他們的運算，然後就想這些不同的進位表達應該是自然界自然存在的某種量度（姑且稱之為數）的不同到等價的表述形式而已。就很想知道，有沒有大神能給我解釋一下數以及不同進位下具體的數的加減乘除運算的本質是什麼？儘管這個問題可能有點虛，但我希望能夠得到回答，謝謝！

謝邀。

我這個答案不會說得很「數學」，只是說說我自己的一些想法，可能沒什麼「數學價值」。

我一直覺得，自然數，如同他的名字一樣，就是個很自然的東西。什麼意思呢？雖然你可以通過Peano公理去定義自然數，通過集合論的方式去構造自然數；但是，自然數即使不被定義，他們也會自然而然地「湧現」出來。你在任何一個數學系統內，都可以討論自然數：因為你總要數數，你在集合論裡面要數「元素的個數」，你在邏輯裡面可以討論「邏輯操作的次數」，你在任何一個環裡面都可以定義「一個自然數與環元素的乘積——就是把自己加n遍嘛」。事實上「自然數的普適性」這個事情在代數幾何也有體現： any scheme is a scheme over Spec( $mathbb{Z}$ ), basically because any ring is a $mathbb{Z}$ -algebra.

其他的數系，比如有理數，實數複數，p-adic，有限域，等等，都沒有這種程度的普適性。你完全可以在一篇數學論文裡面徹底迴避有理數，但是要徹底迴避自然數（在這裡約定自然數從1開始，因為我感覺有時候似乎用不到0.。），似乎基本做不到。你完全不採用自然數，能夠做什麼樣的數學呢？哪怕在微分幾何裡面也要討論「流形的維數」嘛。。

至於四則運算，我認為是自然數上更精細的結構，是更高層次的操作（當然你也可以認為這是自然數上「自然而然」地帶著的東西）。只有「自然數之天然存在、無法避免」這個原始的、顯而易見的事實，我覺得才是真正神奇的事情。好吧有些人可能要說我胡說八道廢話連篇，不過我一開始就說了，這個答案沒什麼「數學價值」，大家隨便看看就好。。

等等，等等，別跑那麼快。步子太大會扯掉蛋的。把步子放小點你就明白了。

數字是什麼？

你和小夥伴是原始人，你們一起掏了許多個鳥窩，弄出來一堆蛋。你家山洞裡面更涼一些，所以小夥伴希望把自己的那份鳥蛋也放你家。

現在就有個問題：這一堆蛋放你家，你會不會偷吃呢？

小夥伴很聰明，他發現這堆蛋的數量剛好和兩隻手的所有手指頭加一隻腳的兩個腳趾頭一樣多。於是他就在牆上畫了兩隻手+一隻腳（加法！）——然後又劃掉了三根腳趾頭。

以後，每次從你家取走幾個蛋，他就從牆上劃掉幾根指頭。這就是減法。

後來，你們又一起去掏鳥窩了。掏完後，小夥伴又分了兩隻手加一隻腳的鳥蛋；同時，上次的鳥蛋還剩一隻手——加起來就是三隻手+一隻腳。

小夥伴忽然發現，其實他用不著畫腳。其實全畫成手就對了——4隻手和3隻手+一隻腳代表的鳥蛋數，其實一樣多。

甚至他都不需要畫4隻手。只要在上一排畫四根手指，然後再在下面畫一隻手就對了。

那麼，拿走一個鳥蛋怎麼辦呢？

小夥伴冥思苦想了一個多月，終於想出解決辦法了：

他在上面一排畫一隻手，然後畫個叉叉，再畫三根手指；然後在下一排畫一根手指，再畫個叉叉，然後畫4根手指——這意思是，三根手指那麼多的手上面的手指數，加上四根手指那麼多的手指數，他給你解釋。

當然了，現在我們知道這叫「五進位」；而「三根手指那麼多的手上面的手指數」，現在我們表示為3X5——這就是乘法。

嗯，如果你的小夥伴天生6指的話，他很可能就會發明六進位了。

但不管是五進位、六進位、八進位、十進位、十六進位還是二進位，它們最終表示的鳥蛋數量是一樣的——不然你這小夥伴要麼坑他自己，要麼就坑你。

既然鳥蛋數量是客觀實在的，那麼兩堆鳥蛋放一塊、或者一堆鳥蛋分兩堆，它們的總數量就總是固定的。

所以，數字所代表的數量是確定的，和它是幾進位無關；而加減乘除同樣作用於數量：在不同進位上，運算規則或許必須隨機應變，但最終算出的數量關係不變。

那麼，加減乘除都什麼意思呢？

嗯，翻開小學數學課本，跟我掰手指數蘋果……

——媽蛋你的基礎得有多不牢靠，還得我給你輔導小學數學？

攤手……

建議學習代數系統

首先正如答主說的不同進位數只是不同的表現形式茴字的4種寫法而已

自然數有理數實數等是基於自然人們主觀定義的集合集合中的加減乘除也是人工定義的二元映射為什麼從這麼多集合和映射中選出加減乘除呢大概因為這些集合和運算在現有科學下能夠較好的描述宇宙

代數系統中說明了加減乘除的一些性質（不敢妄言本質）正實數域的乘法和實數域的加法同構減（除）法相當於加（乘）上該元素的逆元

Ps:同構這個性質很是有趣我這個初學者的理解是2個有限的代數系統同構意味著只要改變一個系統里元素的寫法就可以完全變成另一個系統也就是他們運算的本質相同只是表象（元素的名稱）不同

什麼是本質？

以下僅僅是我自己的一點想法，如果不對請多指教。

我覺得你已經回答自己的問題了，運算就是從不同的角度來表示同一件事物。

10進位數，是以10的n次方為基準，對一個數進行分解，來表示。

16進位數，是以16的n次方為基準，對一個數進行分解，來表示。

而加法，是以加數和被加數，對一個數進行分解。

減法，是被加數為負時，對一個數進行分解。

這是我們以加法模式來分解一件事物，乘法模式也是一樣。

數和運算的本質是各種數集中的元素所進行的各種映射操作。

而進位只是人類對數的一種表示方法，與運算沒有任何關係。

按照人類文明的發展順序，這個過程可以總結為：先把真實的物體抽象成最容易理解的一進位自然數，再定義最基本的運算——加法，接著人類發現最原始的一進位表示法很繁瑣，根據平時數手指的經驗發明了十進位（有些文明發明了二十進位，你猜這是為什麼）。

由於「進位」這種高級的數的表示法的誕生，人類可以擺脫「用手指計數」的時代，從而定義更複雜的運算，產生更大的數集，數學開始飛速發展。

我也在思考類似問題。為什麼不能有第五種運算呢？開根算嗎？應當不算。

數可能是宇宙的本質

數是一種符號，運算是一種操作規則。

私以為沒有什麼本質一切都是人定義的你也可以認為是造物主的安排

強答一下，不能算本質算一個角度比較好。數的運算相當於一個RxR?R的函數。

我簡單說一下：

首先在數學上自然數是由Peano公理定義的，所以不存在解釋的問題，因為定義如此。

但離開數學的嚴格語境，在自然語境下，數是因為計數需要被人類歸納出來的。

譬如2，我有2個雞蛋，2頭牛，2個朋友。我發現他們雖然是不同的東西，但是有一個共性，我把這個共性抽象出來，表記為「2」。其他的自然數也是如此。而如果我的雞又生了一個蛋，我的牛又生了小牛，我又新交了一個朋友。那麼他們又具有了一個新共性，我們把這個共性表記為「3」，而上述三種行為又具有一個共性，就是施加了一種運算後，2變成了3，我們把這種運算性質定義為「+」。之前由於所有男生的小丁丁都具有的一個共性，我定義了「1」，所以有了1+2和3，我發現兩邊只是同一事物的不同說法，所以定義了「=」來表示同一種說法，1+2=3，加法就此誕生。

但是為什麼會有進位呢？只是為了方便表記而已。假設把10這種性質表記為A，以此類推，每一種性質都用一個新的記號來表示。數字少倒無所謂（16進位已經很蛋疼了），一萬兩萬的學習成本得有多大。聰明的人類又發現了，K（人類沒開竅之前也就是20的表記）這玩意兒不是可以拆成2個A（也就是10）嗎？這恰恰又具有之前定義的「2」這個性質，所以不妨用前面表記過的符號「2」來描述K的性質，也就是說K可以表記成2和A的一種關係，我們把這種關係表記為「×」也就是乘號了，也就是K=2×A。利用這種等價關係，我們可以基於0至9（十進位），甚至是0和1（二進位）把所有後面的性質都表示出來，省去了創造符號的時間成本和學習成本。換句話說，我們通過增加表達維數的手段來降低了符號數目。

至於為什麼現在普遍是十進位，那是因為人一開始用手指頭計數，就十個，你還能怎樣？二進位是為了以最少的字元數來與計算機溝通。至於六十進位，那就是古巴比倫人飽暖思淫慾無聊搞出來計時的。至於還有各種奇怪的進位，可能在不同領域，各有各的優勢吧。

現在我們只有自然數，至於其他數。。

高代要考試了，還在複習，等考試結束了我們再擴展數域吧。

其實沒什麼，只是某種方法論的一個體現而已，同種方法論可能還在其他方面有所體現。

考慮進位的話就是多項式的取值吧

數和運算是人類為了認識世界，從客觀世界裡抽象出來的。對應到客觀世界裡就是物質和物質運動規律。

進位即數的表示形式

運算即數的處理方法

數的運算本質即

一定條件下對數表示符號的增刪改.

詳情參照:可計算理論.

我不知道數的本質是什麼，我覺得運算的本質是在一些關係下得到一個量，再把量轉化成相應進位下數的過程，平時都是轉化為十進位的數字吧。

開個腦洞，數想像成康德口中的「物自體」，運算想像成「邏輯」。