如何理解希爾伯特空間？
事實上，我問的是如何「理解」，這和如何定義，是有區別的，要我一個非物理專業的人去理解維基百科或是曾老師版量子力學裡所談到的，非常抽象非常空洞，滿版圖的公式與算符。這對於非數學物理專業人來說，我光去從裡面的一個個定義追根溯源，都絕對是噩夢。
我想知道的，只是作為量子力學數學意義的希爾伯特空間該如何理解，對於這種抽象的數學問題，你不知道如何解，我更不知道如何問，也許我只需要一個能理解這個定義在物理上應用價值的答案，也許是我問題提的的不夠完善，造成了您的困擾，特此補充。===========================能不能改成一個物理小白或數學小白如何理解希爾伯特空間？
說說我的理解: 做個類比,一般的3D矢量空間(我們最常見的)和Hilbert空間.在3D的矢量空間中, 基底是i,j,k. 維度是3(有限維). 這三個基本的基矢量是完備的(矢量空間中任何一個元素都可以用這3個基底展開,係數唯一), 正交的(不同的基底做點積為0.). 矢量空間中的任意兩個元素之間可以定義算符F, 也就是操作. 我們常常對保持元素A長度(自己和自己點積,A*A)不變的操作感興趣, 這樣的操作形象上講是轉動, 抽象些講是滿足F^2=1的操作,或者叫變換. 好了, 再看看Hilbert空間, 基底一般是函數,常見的是含有各種頻率的平面波函數,一種頻率對應一個基底 維度是無窮.這些基底, 即平面波函數是完備的(Hilbert空間中的任何元素都可以用平面波函數展開, 其實就是指傅里葉變換), 正交(平面波函數做"點積"為delta函數). Hilbert空間中任意兩元素也可以定義算符G, 也就是操作. 我們常常對保持元素"長度"(自己和自己"點積")不變的操作感興趣. 由於Hilbert空間是複數域上的,常見的3D矢量空間是實數域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 雖然表達式相同.建立Hilbert空間的目的是為量子力學中的計算提供強有力的數學基礎, 也方便了抽象出其中更本質的運算.包括之後進行的關於對稱性的討論, 都是定義在Hilbert空間上的.注意上面的論述中並沒有涉及到矩陣. 因為矩陣其實只是抽象定義的一種表現, 或者說是抽象的定義的一種表示(representation)而已. 這是群論的思想.所有這些後面發展起來的表示理論, 在Hilbert空間中表示後,(尤其是算符的表示)顯得非常重要.
上海交通大學公開課：數學之旅——函數空間
什麼是賦范線性空間、內積空間，度量空間，希爾伯特空間 ？ 現代數學的一個特點就是以集合為研究對象，這樣的好處就是可以將很多不同問題的本質抽象出來，變成同一個問題，當然這樣的壞處就是描述起來比較抽象，很多人就難以理解了。既然是研究集合，每個人感興趣的角度不同，研究的方向也就不同。為了能有效地研究集合，必須給集合賦予一些「結構」（從一些具體問題抽象出來的結構）。從數學的本質來看，最基本的集合有兩類：線性空間（有線性結構的集合）、度量空間（有度量結構的集合）。對線性空間而言，主要研究集合的描述，直觀地說就是如何清楚地告訴地別人這個集合是什麼樣子。為了描述清楚，就引入了基（相當於三維空間中的坐標系）的概念，所以對於一個線性空間來說，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在給定基下的坐標即可。但線性空間中的元素沒有「長度」（相當於三維空間中線段的長度），為了量化線性空間中的元素，所以又在線性空間引入特殊的「長度」，即範數。賦予了範數的線性空間即稱為賦犯線性空間。
但賦范線性空間中兩個元素之間沒有角度的概念，為了解決該問題，所以在線性空間中又引入了內積的概念。
因為有度量，所以可以在度量空間、賦范線性空間以及內積空間中引入極限，但抽象空間中的極限與實數上的極限有一個很大的不同就是，極限點可能不在原來給定的集合中，所以又引入了完備的概念，完備的內積空間就稱為Hilbert空間。這幾個空間之間的關係是：線性空間與度量空間是兩個不同的概念，沒有交集。賦范線性空間就是賦予了範數的線性空間，也是度量空間（具有線性結構的度量空間）內積空間是賦范線性空間希爾伯特空間就是完備的內積空間。大概的說，hilbert空間是這樣一個抽象的空間，其中存在向量可以被用來描述量子力學中體系的狀態；這些向量都必須存在正定的內積，也就是這些狀態的概率非負；這個空間存在厄米運算元，其代表可觀測量；這個空間存在UNITARY 操作，對應的是3維空間中的旋轉操作，表徵保持狀態概率不變的那些操作。說到這裡就很清楚了，hilbert空間是為了描述量子力學態而引入的一個抽象空間（也可以是早就存在在數學體系中，被借鑒的一個空間）。因此hilbert空間中存在很多更加抽象的性質，一般的物理學家是不會用的。你只需要知道量子態的矢量，長度，對偶矢量，厄米運算元，unitary操作，概率矩陣和 trace，子空間的直和和張量積，態的實空間表徵和動量空間表徵以及一些微擾論即可。具體的，角動量casmir operator和角動量的合成，還有oscillator的ladder operator的求解，這些基本就是一個general physics 所需要的非相對論性量子力學的全部了，這也是量子力學最有用的部分。很多人學了很高級的東西這些東西也沒有搞透。。。
如果不深入的追究，Hilbert 空間實際上理解起來很簡單，從定義來看就已經很清楚來啊。
Hilbert空間是作為完備函數系用來展開其他函數的。這個基本是微積分一開始就教的內容。一開是理解積分的時候，是把一個函數的定義域等間隔分成一些區間，（從圖像上看比較清楚）然後算出每個小區間的面積，然後累加起來。這個累加可以寫成向量(矩陣)的形式。然後如果我們要算兩個這樣的向量的內積，就簡單的用向量內積的定義就可以了。
可是問題在於，這是兩個函數啊，怎麼能有內積呢？實際上這個內積就是這兩個被積函數乘積的積分的近似(只需要上面積分的定義域分割區間越來越小，也就是分割的區間個數越來越多，對應的就是向量的維度越來越大)。這樣我們就根據向量內積定義來函數的內積。(這個大概大家都知道了)
通過這樣的類比，有些函數其實可以像向量一樣使用，等價於一個無窮維度的向量(當積分的分割的小區間的個數趨於無窮的時候，這個積分才是準確的，也就是說我們定義的函數的內積的準確值等價於兩個無窮維度的向量的內積)。(換句話來說，如果我們需要用到無窮維的向量空間，那麼向量的內積需要用積分來算。)
不過，Hilbert 空間是一個很廣義的概念，我們的歐式空間是屬於 Hilbert 空間的。歐式空間希爾伯特空間名字聽上去似乎很難理解，但是真正弄明白其與線性空間之間的關係就會發現並沒有那麼難。
我們一般接觸的是線性空間（向量空間） ，首先看線性空間和各種空間之間的關係：
1.線性空間（向量空間）
線性空間又稱作向量空間，關注的是向量的位置，對於一個線性空間，知道基（相當於三維空間中的坐標系）便可確定空間中元素的坐標（即位置）；線性空間只定義了加法和數乘運算。
如果我們想知道向量的長度怎麼辦？—-定義範數，引入賦范線性空間
2.賦范線性空間
定義了範數的線性空間！！
如果我們想知道向量的夾角怎麼辦？—-定義內積，引入內積空間
3.內積空間
定義了內積的線性空間！！
4.歐式空間
定義了內積的有限維實線性空間！！
如果我們想研究收斂性（極限）怎麼辦？—-定義完備
5.Banach空間
完備的賦范線性空間！！！
6.Hilbert空間
完備的內積空間！！！（極限運算中不能跑出度量的範圍）
他們之間的關係可以用下圖表示：
舉個簡單的類比例子：我們知道水果是個很大的類別，在水果的基礎上加一個限定，如紅色的水果，那麼想到的可能有蘋果、櫻桃等，如果在蘋果、櫻桃兩類水果上再加一個限定，例如果實較大，那麼想到的便是蘋果。 這裡水果可以看成線性空間，紅色的水果可以看成賦范線性空間，果實較大的紅色水果可以看出內積空間。 Hilbert空間便是在線性空間的基礎上加入了幾個約束或者限定條件！
@章魚喵 的回答很好理解，可以參見！
第二點，希爾伯特空間是一個完備的空間，其上所有的柯西列等價於收斂列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。
這一點博客柯西序列可以幫助理解。
內積-------&>距離--------&>柯西列
第三點， 希爾伯特空間為基於任意正交繫上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。
待填充。。。
再生核希爾伯特空間：
為什麼要用核？ （核--------&>核本質是一個函數）
SVM -支持向量機原理詳解與實踐之三
高斯核函數的解釋？
SVM中，高斯核為什麼會把原始維度映射到無窮多維？ - 知乎SVM分類器會用到內積的形式，但不是每個分類器都會用到內積吧，那這樣是不是核函數不是很通用呢？
code？？？？？
再生核Hilbert空間 - pi9nc的專欄 - 博客頻道 - CSDN.NET我覺得希爾伯特空間最大的好處是可以定義內積，有了內積，你就可以討論很多熟知的幾何性質，比如定義兩個函數的夾角，而能定義夾角你就知道了什麼叫做正交性，同樣可以定義（隨機變數）相關性等概念。以前還聽一個老師說過，平方可積的信號叫做能量受限信號。那麼如果你把函數看做是這個物理世界的一個信號的話，希爾伯特空間的信號才能定義能量，這一物理學上極其重要的概念。
和$l^2$同構的空間，很接近歐式空間
你總該學過傅里葉變換吧?
所有可能的物理狀態構成一個集合，比如骰子可能有6個結果，那麼{1,2,3,4,5,6}就是這樣一個集合。經典物理里，這樣的狀態集合是沒有什麼特殊的結構的，比如上面這個例子。但是量子物理里，可能存在「疊加態」，比如「50%是2，50%是3」的狀態。這樣一個狀態用一個向量表示，比如2是東方方向、3是南方方向，這個狀態就是東南方向。這樣組成的所有可能狀態的集合就是一個「希爾伯特空間」（細節省略）。
前面回答是在數學上對希爾伯特空間解釋，題主可能是想問希爾伯特空間的物理意義，或者說量子力學為什麼用希爾伯特空間作為數學基礎，作為物理學渣，來說一下自己想法，不對之處，請輕打臉。
首先，量子力學實驗基礎就是各種粒子的波粒二象性，能自洽地描述波粒二象性的說法就是幾率解釋。數學上，如果用A描述物理態的話，由A應該能計算幾率。其次，態應該具有可加性，這個說法可以從電子干涉和光干涉實驗得到啟示。所以態用矢量描述是最方便的。第三，態是矢量，幾率是數，由矢量到數的映射，數學上就是內積了，但內積有正有負，所以取內積模方為幾率。數學基礎目前為內積空間。第四，獨立的物理態有無窮多個，所以內積空間維數無窮大。無窮大涉及收斂的問題，某些參數取無窮大時，相應的物理態不能跑出空間去，所以數學上需要任何一個序列的極限仍在空間內，即空間要完備的。綜上，量子力學需要的就是希爾伯特空間。對@qang pan 的內容進行了總結和自己的理解： 線性空間（向量空間， 對數乘和向量加法封閉所組成的空間）--（定義範數）--&>賦范線性空間（向量具有的長度）--（定義內積）--&>內積空間（向量之間具有了角度）--（完備化）--&>希爾伯特空間。 如有錯誤請指正
你如果是想從量子力學角度了解 ，我不知道怎麼說，因為真和量子力學沒什麼關係，量子力學現在狀況是找不到任何可以依靠的理論，純靠實際應用的大好前途和大把吃瓜專家在扯大皮 。。。
量子物理沒有專家，他們連最基本的量子結構和純在形式都沒搞清楚就瞎扯蛋。。。
希爾伯特空間雖然是數學概念，但其實用得最多的是計算機底層演算法上，用來做空間索引和人工智慧訓練之類。。。
空間索引。。明白為啥量子物理學家要研究他了吧，他們也很想真正找到自己研究的東西。。。。。。
算了，不說了，說多又被民科了，反正可以肯定的是構建這世界的最基本規則絕對有希爾伯特空間，另外希爾伯特空間和高斯定律有千絲萬縷的關係。。。
這個問題有意思。
寫個在量子物理方面的理解（參考Nielsen, Chuang的書）。這個希爾伯特空間是線形代數里常用到的。但是我們可以用線形代數來描述物理里的量子（微觀粒子）系統。
大家都知道，微觀粒子的狀態可以用波函數來表示。這個狀態有時間演變，就是說狀態隨著時間在不停的變化，但是這個狀態的某些（細節省略）特性不會變，可以把這個狀態理解成一個向量，它的方向一直在無窮的變化，但是長度保持不變，只是在作旋轉。當然我們也可以人為的去操作這個狀態，改變它的方向或者其他的性質。這樣的話一個微觀粒子就可以有很多狀態。
現在我們定義一個這麼個狀態空間，使得一個微觀粒子的所有可能狀態都能被包括在內，也就是說把這個希爾伯特空間定義成一個狀態空間。這個空間里每個元素就是一個狀態，滿足某些性質。
更直觀的理解就是，它就是一個符合某些性質的集合，裡面的元素是我們要研究的微觀粒子狀態。
數學是從具體到抽象，希爾伯特空間就是從歐式空間（平面、三維空間）和函數空間抽象出來的。抽象或者說公理化的結果就是感覺純注重公式推導，忽略了具體的案例，這部分需要你自己找書看，才能夠發現，抽象的好處，它比直接做有很大的優勢（Bertrand Russell）。你要習慣這種邏輯公理化的思維方法，至少這些知識是好的（王小波）。至於說到和量子力學的關係，我就不懂了。我學希爾伯特空間的時候，做的主要事情把這些複雜的公理放到三維空間的特例中考慮。所以，學習這些是出於一個抽象與具體的反覆交替的過程中的啊！
f（x）的x取三個離散值 對應有三個f（x）值 構成一個三維的向量。f（x）的x連續變化 對應有無數個f（x） 如果把它們寫下來 也可以寫成無數維的向量坐標。
範數為
貼個網址，第三個視頻。網易公開課 雖然有的定義不太嚴謹，但講的很清楚。
勒貝格空間 和希爾伯特空間 其實對不研究物理的人來說 一個是矢量空間 一個是函數空間 就好 我這麼說只是對想了解了解這些的人說的 我說的是非常不嚴謹的 … 求各位大手別噴
數學上很多東西都是在規定我們要討論個什麼東西。這個東西是什麼樣子的，就是它的定義。事實上按照你的說法，對於這種數學上高度抽象的東西，只是「理解」是不可能的。只有按照定義從向量空間，內積，算符，極限自己走一遍才能明白是怎麼回事。到時候你就「理解」了。親身經歷！
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