數學家最初發明行列式和矩陣是為了解決什麼問題？

01-04

怎麼從本質上去理解矩陣和行列式？它們之間有什麼聯繫？它們有什麼實際應用？尤其是在計算機方面有哪些應用？

下面是我們《馬同學線性代數基礎班》的節選，正好回答這個問題的一部分：「矩陣、矩陣乘法的由來是什麼？「

矩陣、矩陣乘法最初的目的是為了解線性方程組。

在現實生活中有很多線性方程組，比如：

1 $YC_ rC_ b$ 色彩空間

電視機成像的原理大概是，通過一把電子槍，把電子打到屏幕上：

不過對於這樣的彩色圖片：

根據之前對色彩空間的介紹，我們以 $RGB$ 為基，可張成整個色彩空間。

所以，我們可以使用三把電子槍，分別是 $RGB$ ，來呈現出彩色的畫面：

但是，電視台那邊過來的信號不是 $RGB$ ，而是 $YC_ rC_ b$ ，其中 $YC_ rC_ b$ 是對色彩空間的另外一種分解方式。

這點從我們電視背後的介面就可以看出，在下圖中標註的色差介面，即 $YP_ rP_ b$ ，其實就是 $YC_ rC_ b$ （兩者的區別不是在色彩分解上，而是電視成像技術中的「逐行掃描」以及「隔行掃描」。也有資料說，一個是數字信號，一個是模擬信號，僅供參考）：

下面是之前彩圖的 $YC_ rC_ b$ 分解，第二幅圖就是灰度圖，也就是 $Y$ ：

這是有原因的，因為最早的電視是黑白電視，升級到彩色電視，但是依然要保持對黑白電視的兼容， $YC_ rC_ b$ 中的 $Y$ 正好是灰度圖，可以讓黑白電視成像。

假如你是黑白電視，背後應該就只有一個視頻輸入介面，只需插入電視台過來的 $Y$ 信號就可以觀看了。

但是，如果是彩色電視，那麼得到電視台傳過來的 $YC_ rC_ b$ 信號，就需要解如下方程組得到 $RGB$ ，給三把電子槍使用：

$egin{cases} 0.299R+0.587G+0.114B=Y\ 0.500R-0.419G-0.081B+128=C_ r\ -0.169R-0.331G+0.500B+128=C_ b end{cases}$

這個方程組怎麼解呢？

2 高斯消元法

已知 $YC_ rC_ b$ 求 $RGB$ 實際是一個線性方程組，解這種方程組有一個通用的辦法，高斯消元法。

2.1 高斯消元法的目標

之前的方程不好計算了，我們舉一個簡單的例子：

$egin{cases} 1x+2y=3\ 3x+4y=5 end{cases}$

從幾何上來講，兩個方程都是直線，求解方程組就是找到兩根直線的交點：

因為都是直線，所以我們稱為線性方程組。

求解的思路幾乎是句廢話，即找到交點的 $x,y$ 坐標：

也就是把方程化成這個樣子：

$egin{cases} x=?\ y=? end{cases}$

這就是高斯消元法的目標。

2.2 高斯消元法的思路

要達到這個目標，高斯消元法的思路是，第一行把這些給消了：

第二行把這些給消了：

第三行反過來，把這些給消了：

第二行，把這些給消了：

最後，達到目標：

2.3 例子

下面我們看看怎麼用高斯消元法來解。

先標註一下方程組， $r_1$ 表示第一行， $r_2$ 表示第二行：

$egin{cases} 1x+2y=3 (r_1)\ 3x+4y=5 (r_2) end{cases}$

$r_1$ 表示新的第一行， $r_2$ 表示新的第二行，我們進行以下操作：

$r_1$

其中， $r_2$ 的意思就是：

我們得到新的方程組：

$egin{cases} 1x+2y=3 (r_1)\ -2y=-4 (r_2) end{cases}$

按照這個思路，完整的解題過程如下：

$displaystyle egin{align*} egin{cases} 1x+2y=3\ 3x+4y=5 end{cases} qquad xrightarrow {r_2$

至此，解出答案：

3 標記法

英國數學家，阿瑟·凱萊（1821－1895）

阿瑟·凱萊對於看似簡單的高斯消元法進行了研究，得出了驚人的結果。

他當時研究矩陣的動機出於對線性方程組計算的簡化。

比如，下面是一個線性方程組：

$egin{cases} a_{11}x+a_{12}y=b_1\ a_{21}x+a_{22}y=b_2 end{cases}$

對於這樣一個線性方程組，在固定未知數的順序（ $x$ 出現在第一個位置， $y$ 出現在第二個位置，常數在等號右邊）後，且保證每個未知數都出現(不出現時，係數為0)，方程組就只需要係數來表示了。

按照上面的規定，方程組可以簡寫為如下數塊：

$egin{pmatrix} a_{11} a_{12} b_1 \ a_{21} a_{22} b_2 end{pmatrix}$

3.1 練習題

$Q$ :將

$egin{cases} 2x+z=2\ 2y+3x-z=1\ 4x+y=0 end{cases}$

用數塊來表示。

$A$ :

在保證順序且每個未知數都出現的原則下，原方程組可改寫為：

$egin{cases} 2x+0y+1z=2\ 3x+2y-1z=1\ 4x+1y+0z=0 end{cases}$

因此，方程組寫成數塊形式為：

$egin{pmatrix} 2 0 1 2 \ 3 2 -1 1 \ 4 1 0 0 end{pmatrix}$

4 凱萊的高斯消元法

我們開始用凱萊的方法進行高斯消元法。

4.1 方程簡化

還是解之前的方程組：

$egin{cases} 1x+2y=3\ 3x+4y=5 end{cases}$

將方程組簡化為數塊：

$egin{pmatrix} 1 2 3 \ 3 4 5 end{pmatrix}$

之前說過，高斯消元法的目標是：

$egin{cases} x=?\ y=?\ end{cases}$

寫完整點就是：

$egin{cases} x+0y=?\ 0x+y=?\ end{cases}$

因此我們的目標就是要把數塊變成下面這個樣子：

$egin{pmatrix} 1 0 ? \ 0 1 ? end{pmatrix}$

對應之前的高斯消元法：

$displaystyle egin{align*} egin{pmatrix} 1 2 3 \ 3 4 5 end{pmatrix} qquad xrightarrow {r_2$

得到結果：

$egin{pmatrix} 1 0 -1 \ 0 1 2 end{pmatrix}implies egin{cases} x=-1\ y=2end{cases}$

正如你看到的，解起來並不複雜，但是要將過程描述清楚卻很繁瑣，這很不數學。

能不能更優雅的展現這個過程呢？

4.2 數塊乘法

數學家發明了一種數塊的乘法，簡潔地進行高斯消元法。

4.2.1 單行乘法

對於：

$egin{pmatrix} 1 2 3 \ 3 4 5 end{pmatrix} qquad xrightarrow {r_1$

用數塊乘法表示為：

4.2.2 多行乘法

對於：

$egin{pmatrix} 1 2 3 \ 3 4 5 end{pmatrix} qquad xrightarrow [r_2$

之前的式子都忽略了 $r_1$ ，這裡為了更清晰一些，標註了出來。

它表達了兩個過程。

$r_1$

將此定義為：

$egin{pmatrix} 1 0 \ -3 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 2 3 \ 3 4 5 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 2 3 \ 0 -2 -4 end{pmatrix}$

其中第一行運算的結果放在第一行，第二行運算的結果放在第二行：

4.3 過程簡化

有了這個運算規則後，整個高斯消元法就可以表示如下:

$displaystyle egin{align*} egin{pmatrix} 1 2 3 \ 3 4 5 end{pmatrix} implies egin{pmatrix} 1 0 \ -3 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 2 3 \ 3 4 5 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 2 3 \ 0 -2 -4 end{pmatrix}\ qquad \ implies egin{pmatrix} 1 0 \ 0 -frac{1}{2} end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 2 3 \ 0 -2 -4 end{pmatrix}= egin{pmatrix} 1 2 3 \ 0 1 2 end{pmatrix}\ qquad \ implies egin{pmatrix} 1 -2 \ 0 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 2 3 \ 0 1 2 end{pmatrix}= egin{pmatrix} 1 0 -1 \ 0 1 2 end{pmatrix}end{align*}$

至此，得到答案：

$egin{pmatrix} 1 0 -1 \ 0 1 2 end{pmatrix}implies egin{cases} x=-1\ y=2end{cases}$

還可以簡寫如下：

$egin{pmatrix}1-2\01end{pmatrix}egin{pmatrix}10\0-frac{1}{2}end{pmatrix}egin{pmatrix}10\-31end{pmatrix}egin{pmatrix}123\345end{pmatrix}=egin{pmatrix}10-1\012end{pmatrix}$

可見，數塊以及對應的乘法，在高斯消元法的過程中，非常簡潔清楚易用。

5 總結

阿瑟·凱萊在1858年的《矩陣理論紀要》的論文中，給這個數塊以合法的數學地位，取了一個名字：矩陣。剛才的數塊乘法自然也被稱為了矩陣乘法。

後面，又發現了現實中有很多線性方程、線性問題（比如微積分），所以又扯出了一大串內容出來。但不管怎麼，都是從這裡開始的。

打一個硬廣，對《馬同學線性代數基礎班》感興趣的可以到公眾號：「馬同學高等數學「去報名參加。

行列式最初發明的時候就是用於解線性方程，矩陣很明顯，就是用來表示線性方程的係數。根據維基百科（行列式）「行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發展起來的。最初的雛形由日本數學家關孝和與德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨立得出，時間大致相同。」

如果你說要理解，我可以很簡單地說說看。其實匿名用戶說得很好，我願意說得再具體些：

（1）行列式是一個函數，但是這是個廢話——我們要知道它對應的值究竟是什麼——具體的說，這個函數的返回值是一個體積。例如：2 x 2 的行列式明顯就是一個平行四邊形的有向面積，具體怎麼理解，還是看維基百科。這樣，你就可以理解，為什麼行列式如果有兩行相等，得到的值等於零了，因為根本張不開，體積當然為 0。

（2）矩陣用來表示線性變換。一個矩陣，右乘一個向量 v，得到一個向量 u，這個矩陣就完成了從 v 到 u 的變換。

在計算機方面有很多應用，且不說計算幾何中幾乎處處都是於此有關的問題，矩陣的分析對於圖論問題也是很重要的，例如一個圖的鄰接矩陣稍加修改，則頭幾個本徵向量就可以對應稱對圖的 Community Detection。

關於這些理解，隨意看看參考書應該都能找到，我說個大概，你再多想想，自然也就明白了。

好的線性代數參考書，推薦《線性代數應該這樣學》。

歡迎看看中文維基的相關條目：

行列式

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F

矩陣

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5

最近看到了幾篇非常經典的博客，加深了我對矩陣和行列式的理解。如果想要對線性代數有更進一步理解的朋友不妨去看看。下面貼出博客的地址：

矩陣的理解（一）：http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511

矩陣的理解（二）： http://blog.csdn.net/myan/article/details/649018

矩陣的理解（三）： http://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

可以簡單的認為矩陣最初是為了簡記方程組並求解，後來通過改變觀察角度例如分塊解讀出了巨量信息。

先講個不相關的故事。英國作家Lewis Carroll的愛麗絲夢遊仙境大受歡迎後，聽說女王下令讓他把他寫的所有書都寄給女王一本。於是女王收到了An Elementary Treatise on Determinants, With Their Application to Simultaneous Linear Equations and Algebraic Equations（淺論行列式，及其在線性和代數方程組中的應用），大家可以帶著這個故事再去讀愛麗絲。

下面回答：

行列式是一個函數。他取一個方矩陣為變數，得到一個數。

矩陣和行列式從發明以來，就用來處理兩個問題：方程組，空間變換。

這兩個問題何處不在？所以矩陣和行列式何處派不上用場？

常見的一元函數y=f(x)是研究兩個數x,y 的關係。當研究多元參數的關係時，可把它們看高維空間里的多元向量 (x1,x2....) (y1,y2....)之間的關係

矩陣是對多元向量的線性操作，如 (x1,x2....)經過矩陣M的變化可變為 (y1,y2....)

矩陣的行列式代表操作的強度，感覺像是"我這個操作要把這個向量拉長N倍"

行列式為0代表矩陣M做的是降維操作，即矩形M把可把向量 (x1,x2....)拍扁成向量 (y1,y2....)，但 (y1,y2....)無法通過逆操作恢復到原來的向量 (x1,x2....)，有些信息已丟失。

怎麼講呢，矩陣的作用有很多，單純從矩陣的定義來看，只是一個二維數組而已。

但是，從數學標準教科書上來講，矩陣的引入來自求解線性方程組，對於一個線性方程組，可以把其表示成AX=B的形式，其中A為n×m矩陣，這是通過研究這幾個矩陣來研究方程組解的關係，我猜測這大概是最初的引用(僅僅是猜測)

對於計算機來講，一個是影響是二維數組，這僅僅是一種數據結構；二是在數學方面上的影響，這個有很多，矩陣在數學中表示的含義會衍生出一種種在計算機中的應用，如矩陣在研究方程組的解(不僅僅是線性)、圖論、幾何(方陣可以表示旋轉)、以及很多數值計算(很多非線性的東西用線性來逼近精確解，線性就用到矩陣)。

至於行列式，只是一個函數而已，從方陣到方陣中元素所在集合的一個映射。行列式的值和矩陣的性質有些關係。

只說說矩陣和計算機相關的部分吧，我記不了太多，大家幫著補充。

1、用矩陣配合lup分解，可以求解線性方程，類似的方法可以用來解決線性規劃的問題（單純形法），線性規劃在工業領域運用還是比較廣的，比如鋼材原料是10米，需要切成4.7米、3.2米、1.3米各多少多少根......怎麼切最省材料。

2、最小二乘需要用到矩陣，該方法主要用作從一組（包含x，y兩個值）存在一定誤差的實驗結果，反推函數。

3、配合矩陣，有種匈牙利方法，用於解決指派問題（也可轉為二分圖的最大匹配）

4、有種叫做楊氏矩陣的數據結構

5、矩陣乘法可以用來解決最短路徑問題，也可以用來求聯通圖裡面2點間指定長度的路徑數量。

6、矩陣乘法或矩陣的冪可以用來求斐波那契數列的第n項（可以推廣到廣義斐波那契數列）。

7、用於計算一組向量之間的距離。

8、矩陣運算本身就涉及眾多演算法。

b站有個不錯的視頻從幾何角度可以很容易理解

線性代數的本質

降維打擊

拿自然語言處理裡面文章分類來舉例，行列式和矩陣可以加快分類的速度。省去買1000萬設備的錢。

根據2016年8月今日頭條給出的官方數據，他們的「頭條號」平台的賬號數量已經超越19萬個，假設平均每人每天發布一篇，那麼保守估計一周就能產生100萬的文章。

今日頭條是屬於你喜歡什麼就給你更多類型的平台，那麼當他知道你喜歡看帶雞血的雞湯文時，怎麼知道新產生的這100篇文章哪些是雞湯文要推薦給你呢?

首先要做的是分類

怎麼分類來著？可以回顧我之前總結的三步如何把一堆文章分類

在確定了辭彙表，並且計算出各文章的辭彙向量後，就要兩兩對比了。這是一道小學數學題：

100萬文章，兩兩對比，一共要比幾次？

答案是：[100萬*(100萬-1)]／2 = 5000億

此處附帶一條基礎信息：一台計算機每秒可以比對1000次。

那麼求要多少年？

答案是15年。

卧槽.... 這是不是太慢了... 這才一周的文章啊

能不能加個速？

方法有兩個，

第一是用一些並行計算的工具，比如像google的MapReduce之類的工具，用多台計算機並行處理，比如買上個1000台，那麼計算就只要0.015年，5.5天了。

第二是把大學線性代數裡面的矩陣挖出來，把大矩陣拆成三個小矩陣相乘，時間可以直接減少到0.015年。所以... 矩陣相關的運算有時候還是有實際價值的，比如幫你節約1000台電腦的錢，按macbook1萬一台來算，大概值個1000萬RMB。

線性方程組的公式解問題

線性代數是用來描述運動的，矩陣是運動方向，向量就是對象。這是建立在多維空間上的運動的計算。矩陣相乘是新的矩陣代表新的方向，矩陣乘向量就是對象新的位置。

最近在上線性代數習題課，所謂矩陣的產生我覺得是由於解多元線性方程組的解，然後消元的過程發現未知量沒什麼用直接去掉，單獨拿出來的一個數學工具。

在高等代數裡面，引入行列式和矩陣都是通過方程組引入的，以及初等變換都是通過方程來解釋的，所以可能因為方程書寫太麻煩，就用行列式和矩陣來表示吧

把複雜的空間概念，甚至四維，五維的概念，可以用平面的二維結構進行整理和計算，這難道不神奇嗎？

現在的推薦演算法所要解決的問題，可以用矩陣準確的抽象出來和建模。把人和物的關係用矩陣的行和列分別對應，矩陣對應坐標為某人對某物的一個rating。所以推薦演算法就是由這些已經填充的值，通過某些transform來填充那些未知的值。這就是推薦演算法。

矩陣用於表達是R^n到R^m的線性映射，可以認為是方程組表達方式的一種語法糖。