如何評價Rudin微分形式的積分這一章？

01-04

鏡像問題有關，這一章有什麼背景？
(Soft Question）
本問題關註：

在採用Rudin教材學習微分形式上的積分時，感覺閱讀起來過於緊湊，以致有些地方不能很好地形象理解，私以為學習微分形式還是最好有圖形結合方能更好理解，很多人對這一章的評價也很大相徑庭。
在用Rudin學習這一章時需要注意些什麼，有什麼其他的學習材料能幫助對微分形式的理解？在不引用外代數張量的情況下學習這一章是否會影響對微分形式的認知？
很多人也許會提到 Munkres，Spivak，Zorich的教材，那麼這些教材對於微分形式乃至流形的介紹都各有什麼優劣！
提前謝謝各位dalao的分享與指點！

謝邀。

Rudin，Zorich我都沒有讀過，我學數學分析就是用復旦的高等數學+數學分析+樓紅衛老師的那本《微積分進階》（我轉專業到數院的所以會學過高數也上過樓老師的課），所以我一直覺得自己分析基礎不太好。。

至於微分形式的系統學習，我當時看的是《From Calculus to Cohomology》，這也是一本奇書，從微分形式外微分一直講到黎曼幾何，最後好像還講了示性類，Gauss-Bonnet-Chern定理，把很多微分幾何、微分拓撲和代數拓撲的內容都雜糅在一起講了；我當時看這本書是因為上了傅老師的討論班，他讓我們報告這本書，兩個學期報告完（其實他原本打算一個學期報告完的。。）而我當時只是個大二的學生，當時復旦的拓撲課安排在大三學。。我只堅持了一個學期就退出了，所以我只看過這本書的上半部分。這本書講的很嚴謹，很形式化，比如第二章它花了整整一章來講多重線性代數，然後又講了纖維叢、切叢、餘切叢，然後在此基礎上定義微分形式，也就是定義成餘切叢的wedge product的截面——我第一次系統學微分形式就是通過這種邏輯上很嚴格、但同時也很不直觀的方式學的，但很幸運，我當時還是花了些時間思考，就能夠接受這種定義了。至於說推不推薦這本書？我的答案是因人而異；對於死理性派、學數學一定要根據邏輯先後順序來學的人說，這本書可以說是最好的微分拓撲入門書之一；對於講求直觀，一看見抽象的代數符號就頭大的人說，看這本書恐怕會是一場噩夢。

對於想通過更直觀一點的方式來學微分形式的人，Arnold的《經典力學的數學方法》的第七還是第八章講微分形式的那種講法可能很適合你們，他就是把微分形式近似看成高維的無窮小微元，而積分則看成黎曼和的極限。另外系統學習微分流形也可以看看《Smooth Manifolds》，GTM之一，雖然我並沒有看過。

你看rudin竟然能看到微分形式，你才是dalao好吧→_→

美國的那三本對著讀過，隨便談談讀後感吧。學的不好，看看就行。

Baby Rudin 前八章寫單變數分析寫的很好，第九章寫多元微分也還可以（就是 rank theorem 我覺得講得不太好），第十章講的太簡略，建議多元微積分看 Munkres/Spivak。第十一章也是太簡略，直接看 Royden 這種吧。

具體來說這個第十章跟其他書對比會發現寫的很不一樣：不少定理有更強的條件限制，根本不提 manifold； form 的引入比較奇怪； simplex 的定義也不標準（隨便找本代數拓撲書看就知道一般怎麼定義的了），導致證明 stokes 定理時候計算上有不必要的麻煩（我覺得像 Spivak 那樣用 cube 講明白思路就夠了，雖然 Rudin 自己在 remark 解釋了為什麼用 simplex，不過據說第二版用的是 cube）。反正我是不喜歡這一章。

其他書的話，Spivak 是六十年代的，Munkres 是九十年代的，都是在波士頓寫的，估計 Munkres 肯定參考了很多 Spivak，具體來說就是寫的更詳細，適合自學。Spivak 很多內容放到習題裡面去了。

至於你說微分形式的理解什麼的，我引一段 Spivak 的 Preface：

The reader probably suspects that the modern Stokes" Theorem is at least as difficult as the classical theorems derived from it. On the contrary, it is a very simple con-sequence of yet another version of Stokes" Theorem; this very abstract version is the final and main result of Chapter 4. It is entirely reasonable to suppose that the difficulties so far avoided must be hidden here. Yet the proof of this theorem is, in the mathematician"s sense, an utter triviality-a straight- forward computation. On the other hand, even the statement of this triviality cannot be understood without a horde of difficult definitions from Chapter 4. There are good reasons why the theorems should all be easy and the definitions hard. As the evolution of Stokes" Theorem revealed, a single simple principle can masquerade as several difficult results; the proofs of many theorems involve merely stripping away the disguise. The definitions, on the other hand, serve a twofold purpose: they are rigorous replacements for vague notions, and machinery for elegant proofs.

我個人覺得追求直觀理解微分形式有點緣木求魚的感覺，因為微分形式就是曲線曲面積分形式上的推廣，追求的就是形式。不妨學完了再用這套語言回顧 vector analysis。

第一次學微積分/數分不要用rudin！

微分形式的積分這一章，作為第一次學習的教材或者作為今後拓展學習的基礎都是不足的。

在我看來，rudin的意義在於給了數分一個簡潔自封的框架，用數分的技巧和語言總結數分的問題，作為中間複習總結或者回顧的材料，效率才是最高的。就比如微分形式這一章，看起來rudin非常簡潔利落地把stokes定理和相關的所有內容都建立起來了，可是你真正把這塊當成工具用的時候才會知道他省了多少東西……如果你的願望在於物理圖像的建立或者了解其他領域的聯繫，那應該去選其他優秀的教材，Zorich或者Arnold之類。

我個人看過do Carmo寫的Differential Forms and Applications這本小冊子，感覺不錯，國內有賣

當年也是對於Stokes定理的興趣於是想徹底研讀微分流形，說來還是學數學分析的時候，那老師順帶把一般stokes定理寫下來了，感覺太妙！最後走上微分幾何的賊船，雖然最後進入了用pde做幾何的這種不太喜歡的套路。但是當時確實被Stokes定理的形式美所吸引！後來又聽這位數分老師講pde，講到廣義函數和Sobolev空間的時候，他說我們做的一切不過是分部積分罷了！我恍然大悟，把一切形式，無論是Stokes公式，廣義函數都看成分部積分，一切是那麼自然。我建議的話，最好在學的時候一直強調分部積分的觀念就好了，別被抽象形式迷惑！然後外微分真的是很神秘的東西，一直到今天數學家也難以理解是全部奧秘！

龔升的簡明微積分講的很詳細，感覺很好。

我是工作很多年以後開始學的數分，啥都忘了。第一本書學的就是這本。看得很痛苦，啥都看不懂。我把這本書從頭到尾幾乎抄了一遍。

後面受不了換了高教版的數分。

學完這本再去看Rudin，覺得 Rudin的書真不錯。但是真不適合入門。

Rudin的第十章按照我們教授來說其實講的不是很好.... Spivak的話最後好像寫的太快了....反正我們學analysis2的時候基本是懵逼的。我感覺的話munkres可能是比較友善的，他花了大概4倍的篇幅起講spivak一丟丟的東西，所以會更好理解一點？

rudin適合第二遍學，看看梗概什麼的，可以用來複習。第一遍就算了，抽象的東西難上手。