數學專業研究生怎麼開始讀論文？

01-04

今年考上研究生，和老師交流開學之前的安排。然後就甩給我一篇發表在四大上的關於 the metric entropy of diffeomorphisms 的論文讓我看。說看完了 Walters 的 An Introduction to Ergodic Theory 就可以看了。最近看完了這本書。然後看那篇論文，黑人問號.JPG·········,還是一個字也看不懂········，所以想問問該怎麼(⊙o⊙)看人蔘中的遇到的一篇論文··········

謝邀。

我隨手搜了一下這篇文章——由於我現在在國內且不在用學校內網，我連不上谷歌，只好用百度搜出了這個鏈接：http://www.ams.org/journals/bull/1984-11-02/S0273-0979-1984-15299-6/S0273-0979-1984-15299-6.pdf。是這篇只有4頁的文章么？

我對動力系統完全不懂，那篇文章裡面定義unstable manifold我也不明白為什麼這麼定義，這個只能問動力系統的專家才能問清楚。如果你和我一樣對這篇文章裡面提到的基本概念、基本定理也不懂，那麼應該去問你老闆，讓你老闆給個綜述性質的解釋；或者你可以嘗試去看reference。

然後我個人的經驗是，在了解了論文當中基本概念和大定理們的含義以後，先不要去看這些大定理的證明，先假設他們成立，先把［論文本身的思路］理清楚；然後你再考慮證明細節，認真思考這一環環是怎麼推過去的。多點耐心，多花點時間；一個人一天時間能看完幾百頁的小說；但是學數學的學生看一篇十幾頁的數學論文花一個禮拜以上的時間，實在是很正常的事情；不要貪多圖快，兩個字最重要——理解。

Ledrappier-Young 關於可微動力系統的熵公式的工作兩篇都發表在Annals of Math上，是微分動力系統的奠基性的工作。它主要說的是當一個動力系統是可微的時候，它的熵可以用下面的方法計算或估計：

假定這個動力系統為 $f: M o M$ 其中 $f$ 是一個微分同胚。我們考慮 $f$ 的導數：

$Df: mathrm{T}M o mathrm{T}M$ 。它在切空間上的作用的平均行為可以被對角化，即有所謂的Lyapunov指數和對應的特徵空間。Ledrappier-Young的主要結果就是給出了動力系統的拓撲熵與正的Lyapunov指數的和的積分的一個大小關係（不等式），並給出了等號成立的條件。這個工作的應用非常廣，比如Margulis-Tomanov關於Ratner定理在代數群情況的簡化證明，Einsiedler-Katok-Lindenstrauss關於對於高維對角子群的不變測度分類定理，以及Eskin-Mirzakhani關於模空間上的關於 $mathrm{SL}(2,mathbb{R})$ 不變的測度分類定理，都很大程度上依賴於Ledrappier-Young公式。所以這是非常值得認真學習的工作。希望題主不要放棄，認真把這兩篇論文的精髓學到。

下面說說題主的問題，如何開始讀論文。首先要看看這篇文章究竟要幹什麼。它的主要的定理是什麼。如果定理的setup都看不懂那是不能往下讀的，先找資料或者問問老師把這些搞清楚。如果可能，再看看作者為什麼要研究這個東西，動機是什麼。也就是這個問題的來龍去脈，已有的成果。這個估計比較難。能了解多少算多少。然後再看他證明的方法。證明中用到的工具和結果可以不知道證明，但一定要清楚它說的是什麼。作者用了這些工具和結果以後又用了那些新的思想才能把這個定理給證明出來。當然如果可能最好就一些具體的例子進行思考，這樣能加深理解。讀得慢沒有關係，就怕讀完了文章還是有很多不清楚的地方，導致一知半解。

Walters的書沒有太多印象了，但是感覺讀完它是不能讀Ledrappier-Young的。但是個人認為從論文中找到自己不懂的東西然後反過來找相應的書或請教老師是更有效率的做法。

the metric entropy of diffeomorphisms 發在Bulletin of AMS上，這個不是四大，Journal of AMS才是四大。（我搞錯了，Bulletin上是個短的claim，文章整體在Annals上，見評論區）

Walters那本書是GTM79，我通讀過。老實說，看完這本書不應該對這篇paper一個字看不懂。

我個人的猜測是，你的基礎課學得不夠好，包括但不限於測度論、微分流形、復變、動力系統初步。另外，你不知道什麼叫沒讀懂一本書。

對於這篇paper和GTM79，找出你不認識或者不熟悉的名詞，回過頭找本教材複習複習。然後再回來接著看。

以目前的狀況，強行dive in或者看這篇paper的reference估計不太行，還是回頭打基礎吧。

之前寫過一篇文章，希望有所幫助。本人以前也是學習動力系統相關方向的，雖然目前已經離開了，但是方法依舊是可以用的。

分解任務：如何完成一篇論文

目前在公司已經工作了兩年多，也經歷過很多項目。後來回想一下，發現在公司裡面做項目和在學校裡面寫博士論文有不少相似的地方。於是在本篇文章中，就拿自己的博士論文《New Fibonacci-like Wild Attractors for Unimodal Interval Maps》為例，向大家介紹如何分解任務才能夠完成一篇博士論文。

（一）選題的重要性

通常來說，在項目初期或者博士論文開始之前都要進行選擇。對於項目而言，要選擇一個合適的項目，然後可以一點一點的把它做起來；對於論文而言，選題的好壞直接決定了未來兩三年的走勢。因此，在項目初期或者說選題的時候，就會顯得十分重要，基調一旦不對，後面所做的很多事情都是白搭。回到之前所提到的論文，其實這篇博士論文的目的是為了尋找 Wild Cantor Attractors 的存在性，通篇論文都是圍繞著一維動力系統的區間映射來研究的。

（二）初期調研的重要性

在選擇開始做這個項目或者課題的時候，一定要進行初期的調研工作。比如說，類似的項目在公司內外有沒有成功的案例，它們有沒有什麼經驗可以借鑒的。相似的課題在學術圈的進展如何，有哪些學術圈的團隊已經做過或者說正在做這些事情，能否在它們的基礎上更上一層樓諸如此類的問題。在項目開展或者博士論文的初期，無論是成功的案例還是失敗的經驗都是十分重要的。成功的案例可以給我們足夠的信心，讓我們更有信心做好這件事情；失敗的經驗則可以給我們一定的啟發，讓我們避免走同樣的彎路。除此之外，初期調研還非常有助於我們收集多方面的信息，讓我們對項目或者論文有一個整體的了解，也能幫助我們進一步制定整體的項目規劃。

就拿本篇論文為例，目的雖然說是為了尋找 Wild Cantor Attractors 的存在性，但是目前學術界的進展是怎麼樣的呢？這些是需要博士生去進行前期調研的。通過在 arxiv 和學術期刊上面搜尋論文可以發現，其實之前有學者發表過類似的文章《Absorbing Cantor Sets in Dynamics：Fibonacci Maps》，並且這篇文章在一開始的時候就說已經證明了 Wild Cantor Attractors 的存在性。除此之外，這些學者還發表過一篇有錯誤的文章《Polynomial maps with a Julia set of positive Lebesgue measure：Fibonacci Maps》。論文有錯誤就表示其他人還有機會繼續做下去，是一個學術圈未解的課題。綜上所述，我們可以得到一些學術資料供參考。

（1）成功的案例：《Absorbing Cantor Sets in Dynamics： Fibonacci Maps》，此時說明我們可以借鑒這篇文章的精華；

（2）失敗的案例：《Polynomial maps with a Julia set of positive Lebesgue measure：Fibonacci Maps》，此時說明其他人有機會去攻克這個問題。

（3）其它案例和工具處於調研階段。

（三）初期的分解任務

對於一個大項目或者一個博士生的論文而言，要做完都不是一天兩天的事情，總要花費大量的人力和物力才能夠真正做好這些事情。所以在項目的初期或者說剛開始做論文的時候，無論是工程師還是博士生都很容易被這種龐大的項目所「嚇到」，導致項目長期停滯不前或者說論文一直沒有進展。這種時候，基於所做的前期調研方案，就應該要拿出一個中長期的規劃，並且在具體實施的時候就要拿出本周的計劃，然後把本周的計划進行切分，最小切分到兩天或者一天這個粒度。

還是博士論文為例子，之前已經通過自己的調研發現了一些成功和失敗的案例，那麼此刻應該做什麼呢？那當然是去看這些論文，然後知道成功的論文是如何寫成的，錯誤的論文是在什麼地方犯了錯誤。在這種基礎上可以制定一個學期的計劃，那就是修完日常的研究生課程並且閱讀完這兩篇論文。不過，如果只是這樣則是遠遠不夠的，需要一些更詳細的規劃，把時間壓縮到一天或者兩天這個粒度。只有這樣，才能夠避免自己拖延的狀況。例如：

周一周二：閱讀第一篇論文的前五頁，並且同時去查看需要去補充哪些知識點；

周三周四：閱讀第一篇論文的五到十頁，並且同時去查看需要補充哪些知識點。

周五：本周總結，學了什麼基礎知識，讀了論文的多少頁，論文的進展如何，是否違背了之前所安排的計劃，並且同時安排下一周的規劃。

如果按照以上的時間安排，那麼就把任務進行分解到以兩天為一個粒度，可以從容不迫的按照進展來走。如果一開始就一直盯著最終的結果，那麼這個任務就會長期停滯不前。

（四）中期的分解任務

在做完了一個學期的調研工作之後，其實對這幾篇論文和學術的大概情況也有著一定的了解，此刻就應該針對自己的課題進行工作的開展。首先要回顧的就是這幾篇論文能夠給我們帶來什麼啟示，是否存在成功和失敗的經驗可以借鑒。然後，看看自己能否在此基礎上進行自主創新的工作。

通過之前的調研工作，我們可以發現有如下的啟示：

（1）Real Bound Theorem 的證明是必須要完成的；

（2）Random Walk 和 Martingale Theory 是那兩篇論文的重要技巧；

（3）有錯誤的論文其實在前九節都是沒有問題的，出問題的只是在最後一部分。

因此，在這裡就可以把論文《New Fibonacci-like Wild Attractors for Unimodal Interval Maps》拆解成為很多部分：

第一步：選擇一個合適的函數（之前的論文並沒有研究過的）；

第二步：針對這個函數，計算 Real Bound Theorem 的表達式；

第三步：在 Real Bound Theorem 的基礎上，使用 Random Walk 和 Martingale Theory 來解決手上的課題。

在搞論文或者項目的時候一定要評估風險點，在此的風險點有兩個：一是避免和之前的論文犯同樣的錯誤，二是之前的方案在這種函數下並不一定可行。

雖然讀博士是一件非常有風險的事情，並且能否完成博士論文也有著自己的風險，但是如果按照這樣的計劃來執行，那麼就會讓博士生一直處于思考問題的狀態，並且盡最大可能地推動論文的進展，而不是一直盯著一個最終的問題而無從下手，甚至長期停滯不前。

（五）尾期的分解任務

對於一個博士生而言，如果論文已經基本上完成，那麼就應該把論文寫出來，這種時候，同樣需要把任務進行分解。通常來說，一篇博士論文少說幾十頁，多則兩三百頁，非常容易讓一位博士生產生拖延症。所以，無論任何時候，都需要對論文進行分解，然後逐步完成整篇論文。

根據前期和中期的論文準備，目前的論文已經具備雛形，最重要的任務就是把它寫出來，然後查看一下論文中間有沒有漏洞，再看看整篇論文是否整體流暢。這種時候其實進行計劃的分解十分容易，因為很多事情都是可以按部就班進行的，不像做論文的時候有很多未知的變數。

所以，為了寫完這篇論文，可以制定一個月的計劃，並且把具體的計劃切分到兩天的粒度。例如：

周一周二：撰寫 Real Bound Theorem 部分；

周三：用 LaTex 作出在定理陳述或者在證明過程中所需要的圖；

周四周五：撰寫下一個章節 Limit Maps，並且制定下一周的計劃。

整個論文最有風險的階段已經過去，這種時候其實更多的是按部就班地寫出整篇論文即可。

就個人的經驗來說，一篇博士論文最有風險的階段是前期的調研和中期的開展。對於沒有科研經驗的人來說，第一步調研的工作就足以擋住一部分人，不少的人在這種時候就開始打退堂鼓或者轉成 master 畢業。對於順利地度過了第一步的人，在開展論文的過程中的所感受到的挫敗感會更加強烈，因為每天都要思考自己的問題，然後絕大部分時間都是沒有任何進展的。這種情況下，極易導致一個人的拖延，論文長期沒有完成，甚至導致博士生延期很多年。

對於一篇博士論文而言，只要在一開始選擇課題的時候靠譜，無論這篇論文本身有多複雜，它都可以被拆解為很多章節，段落，句子，甚至每一個詞語和公式。對於一個合格的博士生而言，理解一些公式和詞語應該是沒有問題的。最重要的事情就是把一篇論文分解成很多小塊，然後逐一完成即可。

Walters的書是遍歷論經典的基礎教材。基本上方向和我差不多的入門時都讀過。這本書好好讀完可以迅速接近前沿。但草草讀完的話可能不夠。估計你還得認真讀一下。

L-S那篇文章我沒讀過。看摘要大概是我讀過的後來那篇annals的準備工作或者可能只是個結果的宣告。那是微分遍歷論里的經典結果之一。不過只看Walters的書應該不夠，還需要非一致雙曲理論的一些內容，比如穩定流形，Lyapunov指數等，不知道題主有沒有修過相關課程。如果沒有的話可以問導師要書。嘿嘿，這方面書不少，只是我一時也想不到一本能完全講清楚的，相信你老師應該更了解。

研究生階段讀論文接近前沿，很多內容來不及（其實更多是因為懶）完整成體系的寫進教科書里。所以需要鍛煉自己找東西的能力。讀到不懂的地方就去查，有引用的去查引用的文獻，沒有的可以問老師，或者google，wiki，甚至百度都行。然後又是一堆文獻，找關鍵詞看摘要篩選直到找到想要的東西。這會是做研究的常態。

謝邀：你這老師有點厲害哦，我當時開始看的第一篇文章我都忘記是哪篇，反正是一個不太難的東西。你最好和導師見一面，直接說明為什麼看不懂。一般來說，我碰到這種一個字都看不懂的文章，都看reference裡面有哪些書，那些書才是真正的基礎，先看那些書。不過，一般情況下聽取導師的建議是最好，負責的導師會指出你需要的基礎，甚至開一個基礎課給你聽。然後會讓你就這篇論文開一個小型的seminar。我自己是這樣過來的。

P.S. 請嘗試去找一些和這篇論文同一主題的Ph.D/Master Thesis, 一般Thesis會寫得比雜誌的paper要詳盡和清晰得多。

難得看到知乎上居然有人討論動力系統，討論的居然還是我老闆的文章，趕緊登陸上來回答一下。

Peter Walters的書我是本科剛畢業的時候讀的，那篇文章也是我研究生低年級的時候讀的。我自己後來很多年沒碰過這些理論動力系統的東西，書正好還被學生借走了不在手上，不過憑我的印象，認真讀完Peter Walters再看Ledrappier-Young困難肯定會有，但絕對不至於像你說的一個字都看不懂，或者說你並沒有認真去讀書。

Peter Walters講得主要是經典的遍歷論，我沒記錯的話雙曲動力系統並沒有提到，所以讀完書再看Ledrappier-Young是有點不夠，推薦再看一本雙曲動力系統的書，把stable/unstable/center manifold, Lyapunov exponents這些概念都搞清楚。我當時看的哪本書記不清楚了，前面有人推薦過Katok的書很不錯，看這個就行。

學雙曲動力系統，腦子裡首先要有個基本的圖像，那就是所有的點不斷地被壓到不穩定流形上，同時不穩定流形上面/附近的點被不斷地拉開，或者說的更直白一點就是線性常微分方程組的相圖。有了這個圖像以後才能討論具體的問題和具體的證明技術，比如怎麼證明穩定/不穩定流形是存在的，為什麼會有MET（乘積遍歷定理），為什麼Entropy會和不穩定流形上面擴張的速度有關係(Pesin formula），什麼是SRB測度等等等等。

這篇明顯不是最好的入門paper，這老師有點不負責任。入門可以先看LSY的 what is SRB measure. 跟pesin formulae 的相關文獻。LSY 那兩篇成名作是對pesin formula的推廣並且找到了充要條件。

P. Walter 的書算是僅有的能看得點懂的GTM. 雖然還是不怎麼直觀，但不至於說看完一句話看不懂。當然看小說一樣看完不算

陶哲軒有幾篇博文中都提到了讀論文的技巧，值得一看：

On the strength of theorems

https://plus.google.com/+TerenceTao27/posts/78aoEHoPhpS

https://plus.google.com/u/0/+TerenceTao27/posts/TGjjJPUdJjk

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有空贊多的話會翻譯一下其中的精華

你可以看一點lyapunov 指數的書再來看這個文章會舒服很多。首先這是一篇綜述性的文章，所以很多具體的證明並沒有，故而初次直接念會有些障礙。我沒念過walters，不過我建議你可以看看viana寫的lyapunov指數的書或者pesin寫的光滑動力系統的書，然後再回來看這個文章基本就沒有障礙啦

看懂這兩篇文章確實不容易，我今天下午一直都試圖自己證明論文裡面結論，但是只可惜只能證明這個先行的不等式：

$h_m(f,mu)leq int_{M}lambda_i dim(V_i)dm$ .

實際上我們可以注意到 $Df$ 的長時間平均 $lim_{n o infty}frac{1}{n}log||D f^n||$ 是可對角化的，假設對角化之後的特徵值為：

$lambda_1leq lambda_2leq....leq lambda_{n-1}leq lambda_n$ .

將這些特徵值分成小於0，等於0，大於0的部分。

那麼將誘導切從的直和分解：

$TM=E_uoplus E_s oplus E_c$ .

其中 $E_u$ 是特徵值大於0的部分，對於這一部分考察更加精細的分解： $E_u=oplus_{k=1}^rV_k$ ， $V_k$ 為 $lambda_k$ 的特徵向量空間，維數為 $dim V_k$ .

顯然我們對於度量熵有等式：

$h_m(f)=frac{1}{n}h_m(f^n)=sup_{alphain partition set}frac{1}{n}h_m(f^n,alpha)$ .

對於後者， $alpha$ 是 $M$ 的一個可測的劃分，那麼 $alpha$ 總能加細成更小的劃分 $eta$ 時, $h(f,alpha)leq h(f,eta)$ .

我們知道任何劃分都能用邊界平行於foliation的小方塊加細，故只需要考慮 $alpha$ 是邊界處處平行於特徵向量的cube誘導的partition $eta$ 即可。

在這種情況下，我們只需要估計集合 $vee_{i=1}^n T^ieta$ 的大小即可，估計這個東西的大小很簡單，我們只需要注意到如下兩個事情：

1. $frac{1}{n}||Df^n||$ 幾乎處處意義下有極限，我們可以把foliation幾乎處處定義，至多差一個零測集，那個零測集實際上是M在f作用下的不動點集合。

2.在遠離不動點的地方，foliation局部上可以視為乘積空間，特徵值小於1的方向上不會改變 $vee_{i=1}^n T^ieta$ 的大小，等於1方向上是平移，只會多項式級別的改變 $vee_{i=1}^n T^ieta$ 的大小，而特徵值大於1的方向上會以 $e^{lambda_i}$ 增長，故乘起來就會得到： $h_m(f,mu)leq int_{M}lambda_i dim(V_i)dm$ .實際上這個證明只需要 $f$ 是 $C^1$ 的.

論文裡面的主要部分是定理A：

$f:M o M$ 是一個 $C^2$ 的同胚，M是一個緊黎曼流形，保持Borel測度，且 $h_m(f,mu)= int_{M}lambda_i dim(V_i)dm$ ，則典則的定義的 $M/W_{u}$ 為mod掉不穩定流形的商流形上誘導的測度 $m_{xi}$ 是絕對連續.

等號成立意味著某種程度上我們有定性的下界估計 $h_m(f,mu)geq int_{M}lambda_i dim(V_i)dm$ ，這可能意味著在f的fix point附近，即改變foliation拓撲的地方，我們有反向估計，這樣的反向估計可以導出拉到商流形上的測度的奇性的控制，從而導致 $m_{xi}$ 有好的正則性，這個思路有可能能夠證明論文裡面的結果，但是遠遠不是證明。

我感覺重要的不是怎麼讀，而是去讀。just 讀 it。

不知道題主是哪個學校畢業，要去哪裡就讀。

但是，這篇文章，我蘇大畢業要去科大的一個大四學弟看了，也不至於說完全看不懂。

當然，這篇文章水是挺深。你可以就你不知道的內容，向你導師索要點學習資料。

不過你們導師一上來就扔了這麼篇文章給你，著實可怕。

推薦兩本書給你。

還一本katok的動力系統，不在手邊。

此外，可以看看文蘭老師的微分動力系統。