學數學分析（高級微積分）需要看哪些書?

01-04

現在大二開始補數學分析，知乎上的大神們推薦了很多的書。。。有點嚇到
但是知乎好多問題都是一股腦給你扔一堆書弄得我很慌
目前在看張築生，之前看了黑貓大大的那個回答也是給推薦的張築生
請問學數分需要看很多書嗎，還是吃透一套就行?非數學系，金融打數學基礎

謝邀：你這個問題其實是「目標控制」的問題。如果你把目標設定為「學好數學分析」這樣非常模糊的目標，那麼你得看很多本而且還不一定覺得自己完成了。好的目標要具體可操作，比如「學好數學分析」這樣的目標，如果我是你我會把它分解成下面幾個子目標：

level 1:能記住所有的重要概念和定理，以及一些基本的結論。會計算一些基本的微分和積分，判斷收斂性等等。

level 2: 能在腦海中梳理出概念、定理間的聯繫。完成一些有難度的課後習題，比如baby rudin。

level 3: 能博採眾長的梳理出自己對不同概念的理解，以至成一家之言。能非常熟練地使用數學分析這個語言來分析和解決各種「未知」問題。

如果你覺得level 1和level 2還是模糊，那麼你可以理解完成數學分析課後習題60%和80%-90%的水準(不要去刷幾米多維奇，裡面的題目重複率高，而且對於理解的幫助不是很大，有那個時間去刷rudin的「數學分析原理「)。特別是rudin的習題，做一做對你幫助很大。 當然了，習題無法幫你完成的是體系化的梳理。我的建議是你逼迫自己每一個章節畫一個腦圖，或者寫幾篇讀書筆記，好不好另說，但是這種行為本身就可以控制你的學習行為。

作為一個非數學類的學生，你可以完成level 2就很了不起了。那麼，以這個為目標，我覺得一套書差不多就可以了。level 3 不是一朝一夕可以完成的，也不是對非數學本科生的要求。知乎上常推的書選一本操翻它就可以了，張也好，rudin也罷。要完成level 3，是需要看很多很多書的。而且往往不是一下子達成的，是學到後期才能完成。

來，推薦Rudin的咱們好好出來嘮嘮。

你們是都沒看過Rudin還是怎麼著……Rudin不適合做數學分析入門書，再說一遍，Rudin不適合入門！

Rudin是給學過非數學分析（不講epsilon-delta）的微積分的學生準備的，如果沒有這個基礎就去看Rudin的話，開頭第一章都看不懂。而這些給你推薦Rudin的人是不會給你提供個Rudin閱讀指南的。

最下面林立那個答案就是典型的不知道自己能力的邊界在哪裡，本科生階段數學系的能看完五分之一就不錯了，全看完的話別的什麼都不幹也要一整年吧，重複的內容很多，純粹是浪費時間。

後來有人推薦微積分學教程，這個比Rudin還過分..........微積分學教程是好書，問題是你看完了還有時間看別的么？？？？

正經答題：

兩本書就夠了。一個課本，一個習題集。

如果沒有學過微積分，不管是什麼級別的微積分，課本不要選Rudin。國內的中科大的常庚哲或者北大的張築生都不錯，國外的教材裡面，陶哲軒的也可以（沒記錯的話都叫微積分）。如果一定要看Rudin，前兩章跳過不看，有需要的時候再回來看。

習題集在裴禮文和數學分析習題課講義裡面選一個吧。我更推薦前者，因為解答詳細。後者如果大部分題目會做的話水平已經達到數學系的一般水準了，但是題目難度高，習題部分的答案基本屬於聊勝於無。

如果你是非數學專業補數學分析的話……不是很懂為什麼非要補數學分析。但是切記一點，

你不是要每句話每個細微的知識點都要看懂的！

有看不懂的地方是允許的，對內容有個大概的印象，先看後面，更重要的是對整體內容的把握而不是在一個地方死摳。如果發現看不動了再回頭看就好。

在極限和連續性那一部分多花點功夫，找個筆記本多記點例子，就很不錯了。我（暫時）不是做金融的，所以不知道數學分析本身的應用有多少，有可能用到的是思考方法而不是具體內容。

至於黑貓的答案，你給我發個鏈接看看吧……金融我不如他，數學我猜他不如我，所以我很懷疑是不是真的有必要看數學分析。

更新：

提交完答案以後，大概看了一下幾個回答，忍不住來更新一下。

裴禮文的習題集一般是給學霸和數學專業考研的人用的，不適合非目標人群。不服的話請先看一下它的頁數，再隨便翻幾頁看看它的難度。

菲赫金哥爾茨的微積分學教程是我見過的最好的微積分教材，沒有之一，讀過之後對於微積分的理解一定會上一個新台階。但是讀起來真的非常花時間。

國內常見的幾本數分教材，比如復旦版，科大版或者華東師大版，它們後面的習題用來打基礎完全夠用了。尤其是華東師大版，因為使用廣泛，習題的答案也出版了，用來做參考再好沒有了。

以下是原回答：

------------------------------------------我是分割線-------------------------------------------------

我本科和博士都讀的數學，博士畢業以後在美帝一家銀行做risk quant。下面說一下我個人的經驗。

首先給靠譜的 @黑貓Q形態點贊。張築生老師的「數學分析新講」確實適合用來做學習數學分析的入門書。張老師在這本書的前言中說，微積分這座大廈是從上到下建立起來的，但是後世老師在教的時候卻一般都是從下到上開始的。從下開始學起，比如實數的完備性等，主要考慮的是學科基礎的嚴謹性，但是卻容易迷失在細節里以至於看不到微積分的威力。張老師想調和這種困境，而且做得非常成功。我剛開始學習數分的時候就非常認真地讀完了這本書，至今覺得受益匪淺。另外，張老師曾長期是中國數學奧林匹克競賽國家隊的領隊和總教練，講解問題的時候用語非常精準，以至於時隔多年，我現在仍然能回憶起這本書的很多細節和當時讀此書的心情。

至於其它的微積分教材，可以用來做參考書。Rudin的書一向以言簡意賅著稱，不適合初學尤其是非數學系的初學者使用。

從我個人的經驗來看，學完微積分和線性代數，測度論基礎，概率論和數理統計基礎這些課程，再進一步學習數理金融已經沒有什麼問題了。有了這些基礎，以後碰到問題時需要學什麼再學也不遲。我自己在讀書的時候學了非常多的數學專業課程，但是在工作中用到最多的還是那些基礎課程。

最後是一點建議。學習數學要多練(做)習(題)才能有進步，眼高手低看再多的書也白搭。當然如果你是天才，請無視我的話。

為了怕誤導人，還是有必要說一下的

張築生那本書屬於字典，就是我們搞金融的不需要全部吃透，但是看到什麼基礎概念需要查定義的時候一定要拿出來重新翻看，畢竟不是數學系的，不知道什麼地方會犯原則性錯誤。

至於為什麼那麼強調數學分析，是因為著給你日後選擇路線一定的方便。當年沒學學的時候看什麼「新的」東西都慌，上來個勒貝格積分直接慌的兩天沒吃飯，覺得自己一定是要死了。如果有數分基礎，這種沒有基礎的慌張會減小，所以才會那麼重要。就是什麼呢，天賦樹上最頂上那個支點，點了他才能往下點。因此才只推薦數分，而沒有硬推隨機分析這樣不接地氣的東西。

個人認為，金融係數學基礎，如果不指定方向，數分，線代和基礎概率論（不是一般概率論）就足夠了。這些是一切路線的出發點，也是日後不慌的底氣。日後這些會潛移默化的幫助人們建立概率視角，線性變換視角，和分析（逼近）視角，少一些民科的思維，無論如何是有幫助的。（你們搞那些機器學習里的數學知識90%也不會超過這三門），至於隨機分析，泛函這種，讀金融的除了腦子壞掉了（比如喵）還是算了吧……

至於很多人提金融里「去數學化」這個概念，斗膽說個觀點：只有懂數學的人才有資格說去數學化（顯然喵我沒有資格），因為只有他們才知道什麼時候是過度使用了，不然很多構造其實非常複雜的模型，產品和情形，沒有一定數學基礎上去就拍一個「去數學化」真的跟找死無異

憑個人經驗回答一下。我讀的是理論物理，現在在做 quant ，勉強算半個金融從業人士吧。儘管如此，我家裡唯一一本金融相關的書是 Andersen 和 Piterbarg 的利率模型的第一卷，其他全是數學，物理和計算機。

關於教材，其他人說了很多。對於數學分析這種成熟的學科，優秀教材之間的差距沒那麼大，中國的和外國的優秀教材之間的差距也沒那麼大。看一本傳統的，比如常庚哲和史濟懷，再看一本現代的，比如 Rudin 或者 Zorich，大約就夠了。

我想說的是有沒有必要的問題。從我個人的經驗來看，除非你將來打算做很數學的研究，其實沒必要按照數學科班的標準來強求自己的數學學習，尤其當你還不是數學專業的。我自己這些年的感受主要有兩點。

第一，自學數學很難。不跟班聽課的話，很容易陷入證明的汪洋大海之中而抓不住重點。當然，這個困難還是可以克服的。多讀幾本書，多花點時間想想，總是能夠把這門學科的整體框架理清楚。然而，不要忘了，作為非數學專業的學生，還有其他專業課程需要投入大量的時間。時間怎麼分配，到底是多學數學還是多學點專業知識，時間的價值也是要衡量的。

第二，自學數學有沒有必要。作為非數學科班的人，數學系課程里學到的東西，絕大部分情況下是用不到的。因為用不到，很多東西學了也是很快會忘掉。我平時用到的數學知識，無非微分，積分，伊藤引理，Feynman-Kac，偶爾解解常微分方程。所以，數學分析里討論的一些精細的結論，比如跟級數相關的 Raabe，Gauss，Dirichlet，Abel 判別法，從來都用不上。除非確定將來會做跟數學相關的研究，否則沒有必要去強迫自己學那些嚴格的數學。

不過話又說回來，數學還是很好玩的東西，作為業餘愛好學一學也還是可以的，不然人生那麼長那麼無聊，總得找點自己感興趣的事兒來做吧。

我覺得建議答主刷成數學系水準的題主應該再仔細思考一番。數學系最大一門課數學分析，理論上也是花時間最多的一門課，是極難讓一個金融系的同學在一個學期內學習精熟的。據我所知天才勤奮如華羅庚，系統學習數學分析也用了一個月。

所以我不建議題主按照這個題目下說的看卓里奇的數學分析，或者是刷吉米多維奇習題集的方式去做。

我個人覺得覺得金融系使用數學，主要還是和工科類似。數學本質上是個工具。就像上學期和我的經濟數學老師（湖大經濟學博士）交流時他說的，他的數學並不怎麼厲害，甚至遜色於部分經管優秀本科生，只是需要時會用就查資料，然後會用就行了。

因此我覺得答主對數學分析只需要有個高於高等數學的系統了解就行了，允許小部分的看不懂，也不需要死理性派一味證明。因為數學思維與經濟學思維本質上是不一樣的。例如中級微觀經濟學一本不錯的教材，北大平新喬的《微觀經濟學十八講》，以數學分析的方式描述微觀經濟學，但很明顯的體現出數學在中間是以工具存在的。

在這個基礎上，向你推薦張築生老師的《數學分析新講》，以及那本紅色習題集。在完成了數學分析的學習之後，再繼續學習實分析。

金融的學生看我旦陳紀修爺爺的數學分析就足夠了。。。rudin的書實際上定位比較尷尬。。。總有高不成低不就的感覺，我是看了一半就換stein的了。

都在推薦Rudin卓里奇，沒人推薦陶哲軒實分析么……陶大神的書是對我這種數學渣渣最friendly的一本了，每次翻閱都似乎能看到大神用關愛智障兒童的眼神看著我，還能不厭其煩地用大白話講[捂臉][捂臉][捂臉]

華東師範大學數學系編寫的《數學分析》作為自學的書是極好的，這也是我本科階段的課本。

如果你只是學金融，那麼把以上的書課後習題練好基本就夠了。如果你想更深入一點。那麼再輔以裴禮文的《數學分析中的典型問題與方法》與謝慧民的《數學分析習題課講義》

多加練習。相信您在微積分這一塊兒能有所進步。不謝。

隨便哪個有名的數學教授的分析學教材，看明白一本就夠了。

貪多嚼不爛。

大部分人學業之精深程度根本輪不到需要多本教材互相參考。

我的結論倒是和很多答案完全不一樣。

高等微積分(數學分析)是人類三四百年以來最傑出最優秀的大腦思考十年二十年甚至是一輩子的結晶，你能自學看懂了(大神除外，看你這個問題咱們還是認清現實，自認非大神吧)那不是說牛頓萊布尼茨拉格朗日柯西威爾斯特拉斯克萊因什麼的都白做研究了么。。。

何況清華基科班國科大用卓里奇，中科大用史濟懷，那你想能考上清華中科大那是什麼智商和學力，人家的學生大部分還是得老師帶才能學的(越是大教授越是帶基礎課)，你能自學那隻能論證清華科大那一幫是傻逼么？除了老師帶，人家還要配碩士博士畢業的助教帶習題課討論班，你自學可是只能自己對著九陰真經悟了，不走火入魔已經很可以了。

所以我還是旗幟鮮明地說一句，咱們要腳踏實地。非數學系，金融向的完！全！沒必要去陷入證明題的汪洋大海，能會算是夠了(從這個意義來說，被數學系噴出屎的吉米多維奇反倒是適合你)，你有空想多打數學基礎，那其實真不如多去看看概率論，以後遇到問題現查來的好。

當然你說在校生時間多，還是想認真學習，對於這種好學的青年確實應該好好鼓勵。但是說真的，你能練到熟練計算概率統計里各種積分比會證明還是重要地多啊。

綜上，結論三點∶

1*什麼rudin，卓里奇還是別看了吧。那是數學系和大神看的。一是書太難，二是書沒有配套的視頻課。(大神們莫噴，你們是神！)真要看反倒是復旦陳紀修和科大史濟懷還好，因為有視！頻！課！啊！！！看一本夠了。真的配合視頻看完了，做完了全部課後習題，你自然知道還要做別的什麼。

2*能看完一本，明白知識的結構已經足夠。其實知識結構這東西不就是目錄么，編者幫你總結知識結構，屌不屌？？把目錄背下來，重要的證明在哪個目錄下背下來，最多加一點子目錄，夠了，畢竟時刻牢記根本點:金融是算是用，沒讓去證明。

3*概率論和高等代數反而更重要一點。這倆用什麼書怎麼學，自己知乎去吧。

推書:史濟懷，陳紀修，吉米多維奇。

最好是帶有習題和習題解答的，或者

張築生《數學分析新講》

鄧東皋《數學分析簡明教程》

周民強《數學分析習題演練》

微積分與數學分析引論

作者:柯朗約翰

我買的一共四冊。兩章

這本書簡單直觀(邏輯連續)，所以很容易理解，但是卻沒有失去數學的嚴謹(相比其他類型這本書也不是純粹的嚴謹，但是我覺得足夠了)。這本書更容易教你一個數學的思考方式。各個部分都有脈絡。作為已經學完數學分析的人來說。再看這本書仍然可以獲益良多。然後說說習題部分，比其他的數學分析書成堆的習題來比要少很多。。。但是，很難。當然如果啃下來，也是有非常有益的。

樓上回答都很深奧，本人很是信服，補充一點，淘寶買一套吉米多維奇，六本，刷一遍人生美妙，羽化成仙。

事實上比較intuitive的書的話strichartz的the way of analysis就還不錯（但貌似證明不是很嚴謹）。如果是需要偏向calculus的書的話 Courant and John的 Intro to analysis and calculus。雖然說rudin不適合入門的數學分析，但rudin的習題其實非常適合做。

Courant John 那套書不錯，

作者是應用數學大家，

寫作風格不是那種令人生厭的「定義-定理-證明-例題」模式。

精讀一本就夠，但是要精心選擇。要是只讀陳紀修的書是肯定不行的。我以前讀書的時候就很困惑：如此平凡的一本書為何能拿「全國優秀高校教材一等獎」？有沒有人能解釋一下？看來我旦數學的能量很大啊。

幾點建議：

1. 看美國教材，不看蘇聯或國產教材。

2. 作者任教於美國名校。

3. 優先考慮最近出版的書。老書普遍讀起來比較枯燥，比如Rudin。

下面是幾本個人比較喜歡的：

1. Real Mathematical Analysis, by Charles Pugh.

2. Fundamental Ideas of Analysis, by Michael Reed.

3. The Way of Analysis, by Robert Strichartz.

大二的時候轉的數學。看了一圈沒人提。。。我個人比較喜歡stephen abbott的understanding analysis。簡單易懂，習題有答案，網上有資源，非常適合自學。用這本打個基礎，後面再看rudin就不會很吃力了

一本Rudin就夠了，也不需要刷什麼題，Rudin的課後習題做一做就挺好。

不建議數學分析看好幾本書，金融的話好好學實變函數可能更重要，而且學了實變函數對分析的理解會高一個台階，不是整天捧著各路數學分析教材能夠達到的。當然直接上實變函數估計你吃不消。

有些人可能會和你強調基（刷）礎（書），但這些人都是數學背景，他們學數分不僅有GPA方面，還可能有考研方面的考慮。但對於金融出身不修數分的同學最重要的是能快速達到讀paper沒有困難的程度，而不是整天悶頭打基礎。

understanding analysis

高等微積分高木貞治