普特南數學競賽上的一道老題？

01-04

我覺得怎麼算也算不出來啊ln（1+√2） A5（ii）

謝謝邀請，也希望以後多被邀這類問題。

質點的動能和角速度 $omega$ 的關係：

$E_1=frac{1}{2}Ma^2omega^2$

桿的重力勢能變化量和已經旋轉角度 $heta$ 的關係：

$E_2=Mga(1-cos heta )$

由於能量守恆 $E_1=E_2$ ，所以

$Mga(1-cos heta )=frac{1}{2}Ma^2omega^2$

得到如下關係：

$omega( heta ) =sqrt{frac{2g}{a}(1-cos heta )}$

易得 $dt=frac{d heta }{omega( heta ) }$ ，然後兩邊積分得

$t=sqrt{frac{a}{2g}} int_{frac{pi}{2}}^{pi }frac{1}{(1-cos heta )} d heta$

然後解這個積分，是唯一有難度的地方，解法如下

$int frac{1}{sqrt{(1-mathrm{cosx})}}dx =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{mathrm{sin}frac{x}{2}}dx=sqrt{2}mathrm{ln}|mathrm{tan}frac{x}{4}|+C$

帶入上述定積分，得

$t=sqrt{frac{a}{g}}(mathrm{ln}1-mathrm{ln}mathrm({mathrm{tan}frac{pi }{8}})=sqrt{frac{a}{g}}mathrm{ln}(1+sqrt{2})$

取 $heta$ 為桿和初始位置的夾角，那麼該處桿的角速度 $omega=sqrt{frac{2g}{a}(1-cos heta)}$

時間

$t=sqrt{frac{a}{2g}}int_{pi/2}^{pi} frac{d heta}{sqrt{1-cos heta}}$

主要是計算不定積分

$int frac{d heta}{sqrt{1-cos heta}}=frac{1}{sqrt{2}}intfrac{1}{sin( heta/2)}d heta=sqrt{2}log{frac{sin( heta/4)}{cos( heta/4)}}$

$t=sqrt{frac{a}{g}}log{frac{cos(pi/8)}{sin(pi/8)}}=sqrt{frac{a}{g}}log(sqrt{2}+1)$

奇怪了，明明是道物理題……

初始y = a，下降過程中，根據機械能守恆，物體運動的速度為：

$v = sqrt{2g(a - y)}$

改用桿從起始位置轉過的角度 $heta$ 表示，則

$v = sqrt{2ga(1-cos heta)} = 2sinfrac{ heta}{2}sqrt{ga}$

由於線速度始終沿著圓周，用積分計算總時間：

$t = int_{frac{pi}{2}}^{pi} frac{a}{2sinfrac{ heta}{2}sqrt{ga}} d heta = -sqrt{frac{a}{g}}int_{frac{pi}{2}}^{pi} frac{1}{1 - cos^2frac{ heta}{2}} dcosfrac{ heta}{2}$

$= -frac{1}{2}sqrt{frac{a}{g}}left.lnfrac{1 + cosfrac{ heta}{2}}{1 - cosfrac{ heta}{2}} ight|_{frac{pi}{2}}^{pi} = -frac{1}{2}sqrt{frac{a}{g}} left(-ln frac{1 + frac{sqrt{2}}{2}}{1 - frac{sqrt{2}}{2}} ight)$

$= sqrt{frac{a}{g}} ln frac{2+sqrt{2}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{a}{g}}ln(1 + sqrt{2})$

挺基礎的啊