有哪些物理學反哺數學的理論？
我們經常可以看到當物理學家在研究新的物理理論的時候從數學工具箱里找到所需的數學工具。有沒有什麼物理研究是自己發明數學工具並反哺了數學的？
K3 surface在溝通物理學及幾何中有著重要的作用。
物理學家(大栗博司, 立川 裕二和他們的老師江口徹)在算K3的elliptic genus時發現laurent展開的係數和Mathieu groupK3的模空間是heterotic string的 compactification 的模空間:
, 因為M理論在K3上和heterotic string theory在
上是對偶的。
雖然從小聽著這個說法長大，但我個人的看法/感覺是，物理和數學的關係不是「問題和工具箱」的關係，或者說21世紀了，這個說法/觀點不應該繼續被強調。
0. 數學和物理各自都是完整的學術系統，他們各自有一套價值觀、方法論、問題產生、解決的渠道。
一個簡單的例子就是金融業跟 IT 業。我們不能因為金融行業用到電腦、信息技術就說 IT 業是金融業的「技術工具」；IT 不僅僅是（提供）一套工具，它也是一套生活理念方式，解決問題的重要思路和渠道，獨立的價值觀和審美體系。
推而廣之，指代一個領域——尤其是是研究型領域——是另一個領域的「XX工具」是不恰當的說法；每個領域所研究的東西，都有其內秉的理念和追求，並不是作為另一個領域的工具。
1. 數學和物理是糾纏在一起的。時常他們研究的是相同問題，只是側重點不一樣（關注的細節、方向不一樣，但本質是同一個系統，同一個問題），所用的語言不一樣（就像一個中國和美國研究者，一個用中文一個用英文研究單擺運動）。這時候的數學和物理特別吸引人。
2. 可以區分的主要是「物理學家」和「數學家」；而事實上也有不少「物理學家」干著「數學家」乾的事情，或者反過來；這種些人的正式稱呼只能根據他們的僱主來確定。
3. 物理學家不產生「數學工具」（數學不是工具），而是新問題，一套基於物理量的新方法/思路；這些東西通常不會被數學家直接拿來用，他們會對從物理學家那學來的東西進行簡化、改造，變成他們的語言，然後繼續往另一個方向發展這些問題、方法。
在數學和物理的交互領域，它們更像是行走的雙足巨人的兩條腿，有時是一隻腳在前，而有時是另一隻腳。
物理問題對數學研究產生正影響的一點點例子（這些領域中，數學和物理的界限已經很模糊了）：
1. Witten 相關的工作：Donaldson-Witten （揭示4維 規範理論和瞬子模空間的拓撲結構的緊密關係），Gromov-Witten （揭示 2 維非線性 Sigma 模型與辛流形模空間拓撲的關係），Seiberg-Witten（也是 4 維
規範理論，基於物理問題提出了新的能夠刻畫黎曼流形微分結構的微分方程）
2. Nekrasov 相關的工作：基於-deformed
理論計算了 Nekrasov 配分函數。這個配分函數後來在 AGT 中扮演核心角色，大家可以用 class-
規範場論來研究 W-algebra、共形場論。
3. Mirror symmetry：topological string、GLSM 的方法來研究 Calabi-Yau 的幾何。
4. 非線性 sigma 模型的提出了 bi-Hermitian 結構，後來 Generalized geometry 又獨立發現並發展了這個結構。
5. Moonshine 項目（並不懂）
6. 大家提到的各種特殊函數（也不懂）
7. 群眾最喜聞樂見的廣義相對論、量子力學、Yang-Mills 理論對黎曼幾何、線性代數、纖維叢理論帶來重要的正面影響，影響的深度和廣度都很難用「例子」來描述。
數學公式中帶 t 的很多都是來自物理學
理論物理中規範場理論（比如自對偶聯絡的模空間）促進了4維拓撲的發展。下述理論結合代數拓撲理論可以推出4維歐氏空間R^4上存在怪異微分結構。
愛德華?威騰拿菲爾茨獎算不算。哦，對了。還有馬克西姆?孔采維奇
弦理論里有一些在研究空間結構時得到啟發，解決很難的數學問題。有空我在去看看那本弦論的書，裡面特地指出了，即使現在弦論發展不順利，但還是意外發現了一些幫助解決數學難題的成果。同樣的，在研究太空科技時，也產生了很多技術應該到民用。學科之間不是隔離的，宇宙的所有東西都是關聯的，學科只是我們為了方便進行了分類，現在這種分類也在被一次次的打破，跨界的越來越多。
各種數學物理方程和特殊函數應該是最典型的物理反哺數學了吧，在相當長的的一段時間內這些東西曾經是研究熱點，當然現在的數學系學生可能都未必學這些了。還有狄拉克的δ函數，物理學家們發明並定義了這麼一個東西，數學界開始著手研究這些都是後來的事情了。
向量大概是一個，不過不知道到底是哪個學科先出現向量的，有興趣的可以去考證一下。
太多了，沒有現實世界就不會有數學，所有數學概念都不是憑空產生的。
傅里葉是在研究熱傳導問題時提出的傅里葉級數。
牛頓在研究運動的過程中發明了微積分。
變分法以至泛函的概念是在研究物理中最速降線等問題的時候逐漸演化出來的。
海森堡研究量子力學的時候發現了矩陣和矩陣計演算法則，他當時不知道這方面的數學，可以想像，如果當時沒有矩陣，他可能就創造了一種新數學。
矢量的概念應該是脫胎於物理中的位移和力等等。
更別說各種微分方程和特殊函數了。
狄拉克的delta函數讓數學家不得不擴充他們的知識。
龐家萊在研究三體問題時的發現。
洛倫茲的氣象研究，發現了混沌效應。
關於海岸線長度的研究和分形理論。
七橋問題和拓撲學。
還有個四色問題。
愛因斯坦求和約定，這個實在太好用了，愛因斯坦說這是他對數學的最大貢獻。
像什麼內積外積這些概念應該最早也是物理上面的需求。
物理和現實問題，是新數學的來源。數學從來都不是純粹思想的產物，不是憑空想出來的，沒有這些現實問題不可能有數學。
牛頓爵爺的微積分算不算
大神們都忙著說最專業的東西呢。來個最簡單最好理解的:
矢量相加的三角形定則來源於位移矢量疊加原理，平行四邊形定則來源於力的疊加原理，內積來源於做功原理。
1.牛頓曾發明微積分（calculus），用於計算變速質點運動的位移。微積分正式成為計算連續變化的數量/物理量的數學手段。後來又由數學家加以嚴密化，成為數學中的標準概念。
微積分是高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學、級數及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
via 知乎 微積分 話題說明2.向量（vector）源於物理學中既有大小，又有方向的量。物理學常常稱為矢量。
向量是數學的基本概念，指一個同時具有大小和方向的幾何對象，因常常以箭頭符號標示以區別於其它量而得名。直觀上，向量通常被標示為一個帶箭頭的線段。線段的長度可以表示向量的大小，而向量的方向也就是箭頭所指的方向。向量在自然科學與工程技術中也被稱為矢量。物理學中的位移、速度、力、動量、磁矩、電場強度等，都是矢量。與矢量概念相對的是只有大小而沒有方向的標量，就是數學上的實數。
向量與實數一樣，被定義了一些運演算法則。其中加法源於物理學中求合力、總位移等；數量積源於物理學中的功；向量積源於物理學中的力矩。
via 知乎 矢量 話題說明，略有改動。3.量子場論重正化，可推出全體正整數之和
在現有測量精度內，計算結果與實驗十分吻合（一個經典的例子就是 Casimir 效應）。從而拓寬了數學家對級數的認識：原來， 根據不同的定義，可以使初等微積分框架內發散的函數收斂化！
最簡單的答案，1+1=2。
Witten的數學成名作Supersymmetry and Morse theory
不知道具體是不是這樣的。麥克斯韋方程式的第三個方程，高斯定理，推出了面積分和體積分的關係
Dirac delta function.微積分是數學和物理愛的結晶，這功勞物理不敢獨吞。不過 Dirac delta function應該是完全符合題目要求的。
數學僅僅是邏輯推理的精確化工具，而物理則是客觀世界的實證集合。兩者性質完全不同。
沒學過工程數學嗎？
有一個牛頓時代的數學問題：最速降線問題。
大意是求讓一個球從一個點滾到另外一個低一點的點的最快路徑。這條路徑不是直線，也不是拋物線或者圓弧。一個數學家根據光總是走兩點間速度最快的那條路徑的原則來來解。
大概原理是利用折射，涉及一個連續變幻的界面，可以參考維基百科：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E9%80%9F%E9%99%8D%E7%B7%9A%E5%95%8F%E9%A1%8C#.E7.BA.A6.E7.BF.B0.C2.B7.E4.BC.AF.E5.8A.AA.E5.88.A9.E7.9A.84.E8.AF.81.E6.98.8E
豆瓣也有篇文章：
復活節閑扯：一場激動人心的數學公開挑戰賽 | 科學人 | 果殼網 科技有意思
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