Maxwell equation 是不是存在 bug？

01-04

電流周圍會產生磁場，但一個人跟電流里的電子維持相同的運動狀態，即電子相對於這個人的速度為0,磁場豈不是消失了！

恭喜題主獨立發現了經典電磁理論中固有的不對稱性2333這個例子是導致狹義相對論的經典思想實驗之一（愛因斯坦原論文《論運動物體的電動力學》就是從類似思想實驗開始的）。現在我們知道電場和磁場是電磁場張量 $F^{mu u}$ 的不同分量而已，這就好像你知道 $v_x$ 和 $v_y$ 是速度矢量的不同分量，那麼A和B測得的 $v_x$ 不同也就沒什麼可驚訝的了。

不知題主是否想過這樣一個問題：我們說運動的電荷會產生磁場，但運動不是相對的嗎？如果我與運動的電荷以相同的速度運動的話，那麼在我看來，該電荷產生的磁場是否存在？如何解釋/調和這個問題的矛盾？

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事實上，磁場與電場確實是同一種場！儘管在電磁學中，我們經常會將電和磁分開討論，初次聽說這個結論的人可能會有些不適應。

如何證明電場和磁場是同一種場呢？

如圖。

a 圖是導線外面有一個運動的負電荷。由於導線內的電流產生環形磁場，環形磁場作用到外邊的運動電荷上使運動電荷偏轉。

但看 b 圖。如果我們站在一個沿負電荷一起運動的參考繫上去看。這個負電荷就是靜止的了。靜止的電荷無法受到磁場的洛倫茲力。那麼要如何解釋粒子的偏轉呢？

答案是，當我們從一個參考系換到另一個參考系時，根據狹義相對論，相對運動方向的長度會縮短為

$L=L_{0} cdotsqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}} .$

由於導線中傳導電流的電子與組成晶格的金屬原子相對參考系的相對速度不同。使得它們的尺縮效應也不同。於是它們分別尺縮之後導線的正負電荷就不能剛好抵消了。這樣在 b 圖的參考系下，導線上帶有一個由於相對論效應產生的等效電場 $extbf{E}_{ m{rel}} = extbf{v} imes extbf{B}$ 。計算可以發現這個電場對外邊電荷的作用力與 a 圖的洛倫茲力一模一樣。

此即電場和磁場的相對性。磁場就是電場的相對論修正！！！

電磁鐵中的相對論_騰訊視頻視頻

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補充：什麼地方狹義相對論效應最明顯？

許多物理愛好者都知道液氦的超流與超導體屬於典型的宏觀量子效應，萬有引力屬於明顯的廣義相對論效應。那麼，您是否思考過什麼地方狹義相對論效應最明顯呢？是否存在典型的低速相對論效應？

實際上，電磁學中「運動的電荷產生磁場」就是一種非常經典的低速狹義相對論效應。儘管很多在高中讀過理科的與和大學本科不是物理系的朋友初次聽到這個結論時可能會很驚訝。下面聽我詳細分解~

電場與磁場都是電荷產生的，其大小和方向都與距離電荷的遠近有關，也都與電荷的大小有關。所不同的是，磁場還與電荷的運動速度有關。另外，電磁與磁場能夠互相產生對方。從三維空間的觀點看，兩者的最大區別就是是否與速度有關。但從四維時空的觀點看就不同了。狹義相對論說：電磁場是不可分割的一個東西的不同表現而已，沒有本質區別。就像一個立方體，你從一個側面正看過去是一個正方形，轉一個角度就變成了兩個矩形，再轉一個角度還可能是三個菱形。這三種不同的二維圖形是表觀上的區別，而本質上那只是一個正方體——就一個東西，根本談不上區別！

簡單地說，電力與磁力的統一大致是這樣的：在洛侖茲變換下，一個慣性系的靜電場，在另一個慣性系看來則是大小與方向都有所改變的靜電場加上一個磁場——原本沒有的磁場在變換中出現了！靜磁場也同樣可以變換出電場來。統一的四維電磁場二階反對稱張量

$oxed{ F_{mu u} = egin{bmatrix} 0 E_x/c E_y/c E_z/c \ -E_x/c 0 -B_z B_y \ -E_y/c B_z 0 -B_x \ -E_z/c -B_y B_x 0 end{bmatrix}.}$

共 16 個分量，但獨立分量只有 6 個，它們就是電場和磁場各自的 3 個分量。這個張量的「大小」在洛侖茲變換中保持不變，變化的是它的「方向」（因此它的各個分量會改變）。

磁常被認為是由電衍生而來的，這在一定意義上是對的，但要注意衍生是相互的，不是單向的。最好還是站在四維時空的觀點上把兩者就看成一種東西。當然，對於習慣了三維事物的人來說，這很難，需要較好的想像力和較高的數學水平，而對物理學的深入理解自然更是不可或缺。

磁場其實是時空特性的必然結果。也就是說，只要愛因斯坦的狹義相對論所描述的「尺縮鐘慢」效應的時空是真實的（非常多的事實已證明確實是真的），那麼在電力存在的同時就必須伴隨著存在磁力。

比如， $t=0$ 時刻在 $(x,y)$ 坐標的 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 兩處飛過兩個相同質量 $m$ 和相同電量 $q$ 的粒子，它們的速度都是 $v$ ，方向都沿著 $x$ 軸的正方向。設相對論因子為 $gamma=frac{1}{sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$ 。以下帶撇號的量都是在與兩粒子相對靜止的動系中測得的量，不帶撇號的量是相對地面靜止的靜系中測得的量。動系中，原點處的那個粒子在電力作用下產生的沿 $y$ 軸方向的速度 $u$ ，加速度 $a$ ；靜系中看，「尺縮」只發生在 $x$ 軸方向， $y$ 軸方向沒有，所以， ${ m d}y={ m d}y$ 。而「鐘慢」則與方向無關，所以， ${ m d}t=gamma{ m d}t$ 。所以， $u=frac{{ m d} y}{{ m d} t}=frac{{ m d}y$ 。總之，從純粹的相對論時空的運動學的觀點看，靜系中測得的粒子的加速度 $a$ 只有動系中的 $a$ 的 $1/{gamma^{2}}$ 。若取 $v=0.943c$ ，則 $gamma=3,a=a$ 。

再從動力學的觀點看同樣的問題，假如只有電力 $F$ 而沒有磁力 $f$ ，那麼一定會得出與上段運動學的結果相矛盾的結論。首先得知道動系中的 $F$ 與靜系中的 $F$ 是什麼關係，這可以從物體的「尺縮效應」的類比中得出定性的結果。動系中的圓球在靜系中看是一個在 $x$ 方向上壓扁了的橢球。類似地，動系中各向同性的電場線分布在靜系中看來則是在 $x$ 方向上變得稀疏、在垂直於 $x$ 方向的平面方向上變得密集；靜系中將看到兩電荷在連線方向上的電場變強，定量分析給出： $F=gamma F$ 。質量會隨速度而增大—— $m=gamma m$ ，所以， $a=frac{F}{m}=frac{gamma F$ 。這與上段中 $a=a$ 顯然矛盾！而有了磁力 $f$ 後，那兩個粒子間的磁力是相互吸引的，正好可以削弱電力以保證 $a=a$ 。定量分析的結果是： $F-f=frac{F$ 。這與運動學的結論就一致了。

綜上所述，完全可以說是相對論的時空觀要求磁力必須伴隨著電力而存在。反過來，也可以說，宏觀低速的世界中普遍存在的磁力正是相對論時空觀正確性的一個有力的證明！通常以為，宏觀低速的世界裡相對論的效應都小得可以忽略，但為什麼磁力又那麼普遍呢？最根本的原因就是靜電力常量 $k=9.0 imes10^{9} m Ncdot m^{2}/C^{2}$ 其實是極其巨大的，磁力作為電力的一個相對論的效應，雖然相對比值仍十分微小，但絕對值卻並不算小，以至於我們在日常生活里都可以感受得到。

讓我們做一個簡單估算。若電量 $q=1 m C$ ，距離 $r=1 m m$ ，則兩粒子間的電力 $F=9 imes10^{9} m N$ 。若 $v=10 m m/s$ （劉翔的平均速度），則兩粒子間的磁力 $f=10^{-5} m N$ 。若 $v=1 m km/s$ （子彈的典型速度），則兩粒子間的磁力 $f=0.1 m N$ ！巨大的電力之所以我們都沒有體驗，主要就是因為電荷有正負兩種，一般物體總是很接近於電中性的狀態。