代數幾何在數學以外的領域有哪些應用？

01-04

有一個類似問題：Representation Theory(表示論)與Algebraic Geometry(代數幾何)在(理論，但不僅限理論)物理上有什麼聯合應用? - 數學，但那個問題問的是什麼情況下同時應用 AG 和表示論。

我希望知道的不是「xxx 可以從代數幾何的角度來理解」，而是代數幾何可以帶來什麼新的東西。

昨天在朋友圈上看到一本神書。。我就想問問有人看過沒。。

Author"s page : Algebraic Geometry and Statistical Learning Theory

http://bio.math.berkeley.edu/ascb/

在error correcting codes，elliptic curve cryptography這些方向也有應用。

謝邀。不是很了解，瞎寫一點。

新對象？代數化後很多幾何問題有了新描述，最漂亮的結果莫過於GAGA，告訴我們其實流形和代數簇很相似。許多複數或實數的結果推廣後會怎樣，是很豐富有趣的（Representation Thoery for p-adic groups and Modular forms）；有時global case竟會由這些local case決定（Hasse Principle and Local Global Principle），而後者在實際應用中基本見不到因而也發展的很晚（二十世紀初才開始建立）。

邏輯思維？演繹的基本法則之一，由簡單情況推知複雜情況。從finite field到p-adic field（Neron model and Reduction for Abelian Variety），以及很多大工作都是從小問題不斷發展的（丟翻圖方程簡直魔性，兩千多年前誰能想到abc conjecture啊我摔！）。好像是哲學的範疇，有點貽笑大方。

夾點私貨，半年前想到個問題挺有趣。一般而言p-adic field都是totally disconnected，上面拓撲不大好（Tate"s Acyclicity Theorem），但是Berkovich發現上面居然可以構造出line和integral function（大概就幾年前的工作）。我開了個腦洞是不是能用這些東西構造出一個足夠自洽的世界，但是一切方程建立在 $widehat{overline{Q_p}}$ 上，然而限於智商沒繼續follow Berkovich……

吾生也有涯而知也無涯，此之謂也。

http://poisson.phc.unipi.it/~fidanza/matemusica/papers/Mazzola%20-%20Topos%20Of%20Music.pdf

【不要當真】

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上面鏈接失效了，可以到

http://link.springer.com/content/pdf/bfm%3A978-3-0348-8141-8%2F1.pdf

觀摩目錄。

有個量子信息相關的, 用代數幾何處理量子糾纏.

Jianxin Chen (陳建鑫), 現在在 QuICS@UMD 做 postdoc, 應明生的學生. QuICS 的網站(Using Mathematical Tools to Explore Quantum Information Theory)上也有一篇關於他的工作的介紹:

「There are pairs of quantum channels that individually cannot transmit information without error at all,」 he says, 「but when they are combined, they can transmit information perfectly.」
This research shows what Chen calls the 「remarkable phenomenon」 that entanglement between a sender and receiver allows perfect communication with a zero-capacity channel. He says he hopes these results will benefit practical optical communications as well as theoretical analysis.

後來一查, 幾年前他還在讀博士的時候就在做這個, PhD Thesis: 量子信息中的代數幾何觀點. 然而仍然下載不能, 國內的學位論文查詢系統真是感人. =_,=

本文致力於用代數幾何的觀點來理解量子信息中的概念,包括糾纏態,信道容量以及量子門分辨.研究發現,在量子信息中,很多核心概念有著自然的代數幾何對應.比如全部糾纏態的集合就是Segre簇的補集,全部Schmidt秩不超過 $r$ 的量子態的集合同構於行列式簇等等.這個新的觀點為解決量子信息理論中的一些重要問題提供了一條新的途徑,從而得到了一系列讓人驚訝的結果.下面是具體的說明:[1.] 普適糾纏子的存在性:普適糾纏子指的是作用在任意兩方乘積態上輸出都是糾纏態的量子門.直觀上很難相信這樣的普適糾纏子真的存在.本文證明了除了對於一些退化情形外,普適糾纏子總是存在的.並隨後將上述結果推廣到Schmidt秩以及多方的情形.[2.] 輔助系統能夠精確分辨的量子門數目:首先我們證明了當有一個 $r$ 維輔助系統的時候,我們最多可以利用該系統來輔助分辨 $rd$ 個作用在 $d$ 維Hilbert空間上的量子門.另一方面,我們考慮能分辨給定量子門所需要的最少的輔助系統維數,並給出了一個完整刻畫.[3.] 正規化最小輸出 $0$ -Renyi熵的不可加性: 量子信道經典容量可加性等價於正規化最小輸出 $p$ -Renyi熵當 $p$ 趨於 $1$ 時的可加性.很自然的會猜測是否對於任意的 $p$ ,正規化最小輸出 $p$ -Renyi熵都可加.當 $p$ 在 $0$ 附近的一個鄰域的時候,我們否定了上述猜想.這使我們更加相信量子信道的經典容量也是不可加的.後者到現在依然是一個沒有解決的問題.我們的結果是第一個比較深入考慮量子信道經典容量可加性猜想的非平凡結果.[4.] 量子信道經典無錯容量的超可激發現象:量子信道的經典無錯容量是它平均最多能夠精確傳遞的經典比特數.我們證明了存在兩個量子信道 $Phi_1$ 和 $Phi_2$ ,使得每一個 $Phi_{1,2}$ 的經典無錯容量都是 $0$ ,但是當使用 $Phi_1 otimes Phi_2$ 的時候,卻可以無錯的傳遞經典信息.這種現象被稱為超可激發現象.我們的結果第一次發現用量子信道傳遞經典信息的時候,也會發生超可激發的現象.

裝逼算不算應用

據說格羅滕迪克曾有個夢想，就是統一離散和連續，但後來他不做數學，做農夫去了。估計量子力學的概率化的深淵要用代數幾何完成，完成以後波和粒子就可以很好地是一個對象了。

上周剛在中科院理論所參加了School and Workshop in Scattering Amplitude in Beijing 2016。只上了School部分第一周，其中ETH的Yang Zhang就做了一個關於代數幾何的Lecture，有時間再詳細談。