幾何平均數的空間意義是什麼啊？

那個一個圓里，直徑上任取一點，分為a,b兩個線段後，在該點所得垂徑為根下ab，其實你何必非要取圓，條件應該不是圓，而是直角三角形吧，感覺是直角三角形的射影定理之類的延伸。

好的我的重點不是這個，那麼你把二個數字的幾何平均解釋為直徑和垂線，那麼三個呢？四個呢？他在空間上，幾何上有什麼意義啊。來一隻大學霸，我總覺得她應該有什麼意義。別跟我說三個可以想成二個先乘起來結合。QWQ。

我也不知道做統計學作業怎麼跑偏到這裡了，求解救。

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簡單地說，我不知道……不過，反正是開放的問題，我就辯解幾句不知道的理由。

首先，顯而易見，三個正數的幾何平均無非是那個和它們構成的直平行多面體體積相等的立方體的棱長；若干個正數的幾何平均無非是高維的推廣。但是，也許作為對於題主描述的回應，我們立刻注意到一般高維的幾何平均是沒有尺規作圖的實現的。眾所周知，倍立方體問題是三大作圖不能問題之一。從這個意義上說，假使我們要求證明的每一步都可以作圖完成（即古典意義上可構造），那麼尋求射影定理那樣的幾何解釋對一般的幾何平均來講是不可能的。

為幾何平均賦予一種意義或者解釋也許比想像中困難得多。一種可能的方式是利用對數函數把幾何平均的表達式轉化為算術平均，並且我們可以嘗試把取完對數的值理解為某些比如信息量之類的東西。那樣的話，原先的幾何平均無非變成運用指數表達式和乘法對某種信息量的統計期望作出的重新敘述。這多少有些矯揉造作，然而不論如何，這至少意味著高維的幾何平均也許更可能具有某種統計解釋而不是幾何解釋。

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來自【水星】看似尋常最奇崛——一些「簡單」的開放性問題與進展

n維均值不等式的幾何嘗試

學過高中數學的大家應該都聽說過均值不等式，也就是

這個不等式非常優美，而且證明也是簡明易懂，但是大家考慮過利用體積來證明嗎？

假如考慮成為n維空間里物體的體積話，很容易這個問題就變為

也就是說，我們能不能把n^n個a1,a2..a[n]為邊的高維長方體，放到一個(a[1]+a[2]+..+a[n])的正方體裡面呢？

二維的情況似乎瓷磚裝修工也非常明白：

但是三維的情況，也就是第一張圖片，就不甚清楚了，至少這樣放會導致上層余留出太多的空間，而有些磚塊無法放入。

對於n維呢？三維就如此複雜，就更別提4維以上的事情咯。自從1983年Berlekamp, Conway 和Guy在他們的Winning Ways for Your Mathematical Plays中提出，還沒有確切的解答。不過大家都認為三維以上都沒有方法放入。

更多請見：www.math.toronto.edu/~drorbn/projects/ArithGeom/

這裡面嘗試討論一下n=4的幾何情況，分析了n=3的困難之處

總之是一個open problem

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我對這個問題也很好奇，由於之前看了一個知乎牛人專欄 @Heinrich ，傅里葉分析的，將公式轉化為圖形，我就被這一過程深深吸引==現在凡是看到一個不太懂的公式，都會去搜一搜有沒有幾何意義==

本答案主要內容及圖片來自Geometric Mean，裡面講述的比較詳細，僅用中文將其翻譯一遍。如有版許可權制，可聯繫我將此答案中侵權部分刪除。

幾何平均數的定義是，所以當為非負數時才可以使用。一般來說幾何平均數算術平均數。

首先，以n=2和n=3舉例

當n=2時， =2，=18，那麼根據公式可得=6 在2維的平面內，將一個2*18的長方形轉化成面積不變，邊長相等的正方形，如圖：

當n=3時， =10，=51.2，=8，那麼根據公式可得=16 在3維的平面內，將一個10*51.2*8的長方體轉化成體積不變，邊長相等的正方體，如圖：

應用：幾何平均數在用於比較具有許多不同性質的物體，有重要的作用。

比如想要比較兩個照相機的性能。

相機一：200x放大，8個視野（此處不知道翻譯的對不對==）

相機二：250x放大，6個視野

如果是用算術平均值比較，那麼1=（200+8）/2=104；2=（250+6）/2=128，可以看出放大倍數由於其數值較大，對於整個參數評估有很大的影響

如果用幾何平均值比較，那麼G1=40 G2=38.7 使得放大倍數對於整體估計的影響減小，更能反映出相機的性質，視野大小對於相機也很重要。

再次聲明，本答案主要內容及圖片來自Geometric Mean，裡面講述的比較詳細，僅用中文將其翻譯一遍。如有版許可權制，可聯繫我將此答案中侵權部分刪除。

體會：對於幾何平均值，給我的感覺是有點像利用加權將所有的參數基準調成一致，再進行比較的過程。

如有疏漏，敬請指正。

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這兩天研究統計看到了幾何平均數 無聊在網上搜搜看 發現了寶圖

上圖~~~

結合均值不等式。。。

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