一些疑問關於概率空間和實際應用？

01-04

1.兩個比較經典的例子說明概率為0一定就不發生的，如無限次投硬幣，全是正面的概率為0但不一定不發生。和連續情況某一個點的概率為0但不一定不發生。那麼問題是這兩種情況，它們兩個算是事件嗎，樣本空間如果是無窮的話，會有不可測集，那麼這兩種情況下到底是算概率為零呢還是根本就是不可測的（即不算是事件）。
2.如果樣本空間是可數無窮的，是不是所有樣本空間的子集都是事件（也即沒有不可測集）？
3.如果是markov問題的話，那麼如何定義樣本空間呢。進一步說在實際做概率應用題時是否需要考慮不可測集呢

謝謝大家解答疑惑

1. 這兩個集合（在自然的sigma代數下）都是可測的。

「一直投硬幣都是正面」可以看做「至少有一次不是正面」的補集，而後者是「第n次投正面」的可列並。如果你承認「第n次投正面」是可測的，那麼「一直投正面」也是。另外投無窮次硬幣這個樣本空間上sigma代數的存在性是由Kolmogorov extension theorem保證的。

「連續變數等於x」：單點集{x} 的補集是開集。所以在R上的Borel測度下是可測的。

2.一個集合可測與否，取決於樣本空間上定義的sigma代數和測度函數。所以單單給定樣本空間問這個問題是沒有意義的，因為如果我們令sigma代數為樣本空間的冪集，然後測度函數是計數測度，那麼所有的集合都是可測的。而如果我們令sigma代數為平凡的{空集，全集}，那麼很容易就能舉出不可測的集合。

這裡一個合適的假設應該是這個樣本空間上的sigma代數滿足「單點集是可測的」。那麼問題就又變成了第一個問題：因為sigma代數對可列交是封閉的，所以任意一個子集都可以看成：「第一個元素在集合里」 ∩「第二個元素不在」∩「第三個元素在」……這樣的一列可測集合的可列交，從而還是可測的。

一般來說離散時間馬氏鏈的樣本空間是可列個狀態空間的乘積空間。連續時間的話比如布朗運動是在連續函數的集合上，Levy過程是在cadlag函數的集合上，隨機積分還會有可積性/可導性的要求。但這種構造除非題主真的研究這些過程的很基礎的性質，一般做些應用題是用不到的。而且一般我們也不會特別的強調樣本空間，因為經常會需要一些額外的隨機性，比如定義一個停時什麼的或者需要一個和已有所有隨機變數獨立的硬幣什麼的，把樣本空間定死了會出bug的。

對隨機過程，一般用到不可測集的地方大都類似於「第三次扔正面」這個事件在「前兩次扔硬幣的結果」生成的sigma代數上不可測。因為此時我們考慮的是以時間為腳標的一整列sigma代數，也就是filtration，所以「不可測」指的也更類似於「未來是不可測的」。如果考慮連續時間隨機過程甚至隨機積分，那麼這樣的問題就更複雜了，也會有相關的一系列的定義，比如predicted, adapted, progressive measurable...…

但如果題主擔心的是「勒貝格測度下的不可測集」或者「Banach-Tariski定理」這種秀分析技巧的不可測集，那麼大概是用不到的吧。

不知道題主的知識背景，零碎寫了一些，希望有幫助。